浅谈数学技能的教学——以“一次函数的图像（1）”的教学为例

☉广东省深圳市龙华新区教育科学研究管理中心林日福

浅谈数学技能的教学
——以“一次函数的图像（1）”的教学为例

☉广东省深圳市龙华新区教育科学研究管理中心林日福

在日常教学中，“简单模仿、大量训练”，仍是相当多教师进行技能教学时经常采用的教学策略.在一次学科主题教研活动上，一位教师展示“一次函数的图像（1）”的教学课例.该课是北师大版义务教育教科书数学八年级上册第四章第三节第一课时的内容.课后，笔者对该班学生进行随机抽样测试，并对部分参与测试的学生进行访谈，现整理成文，供大家深入研讨.

一、课堂简录

图1

环节一：定义学习

课堂引入后，教师组织学生朗读函数图像的定义.

环节二：画函数图像

例1画出正比例函数y=2x的图像.

（师生共同列表、描点，并用课件展示）

x……-2 -1 0 1 2……y=2x……-4 -2 0 2 4……

师：由这五个点你能猜想出这个函数图像的形状吗？

生：是一条直线.

师：一定是一条直线吗？如果是一条直线，那么满足关系式的点一定要在图像上.

（教师取点（3，6）、（4，8），课件展示这两个点也在该直线上）

师：这样，我们可以用一条直线把它们连接起来.也就是说，可通过“列表、描点、连线”三步来画出正比例函数的图像.

环节三：性质探索

探索1：函数y=2x的图像及性质

师：该函数图像经过哪些象限？

生1：经过一、三象限.

师：再观察，从左向右看，这个图像是下降的还是上升的？

生2：上升的.

师：当x的值增大时，y的值是如何变化的？为什么？

生3：看表格，当x=-2时，y=-4，当x=-1时，y=-2，当x= 1时，y=2，所以当x的值增大时，y的值也增大.也可以从图像看出，图像是斜向上的，故当x的值增大时，y的值增大.

生4：还可以由关系式看出，y是x的两倍，故x的值增大时，y的值增大.

探索2：函数y=-3x图像的性质

在学生画出正比例函数y=-3x的图像后，讨论并回答下述问题.

问题①：满足y=-3x的x、y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x的图像上吗？

问题②：正比例函数y=-3x的图像上的点（x，y）都满足关系式y=-3x吗？

问题③：正比例函数y=kx的图像有什么特点？

探索3：函数y=kx（k≠0）的性质

环节四：练习巩固

A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．以上都有可能

题2：关于函数y=-2x，下列判断正确的是（）.

A．图像必过点（-1，-2）B．图像经过一、三象限

C．y随x增大而减小D．不论x为何值，都有y＜0

二、测试结果及分析

随机抽测学生21人，测试时间为10分钟.测试试题如下所示.

请在图2所示的直角坐标系内画出函数y=-3x的图像．

请回答如下问题.

（1）写出该函数图像具有的性质（写两条即可）：

性质1：_________________ _______________；

性质2：_________________ _____.

（2）下列各点中，在该函数图像上的点有________.（填序号）

图2

①（1，3）；②（-1，3）；③（0.5，-1.5）；④（-3，1）

测试结果：

评价内容写步骤画图像（1）性质1（1）性质2（2）（3）比较（3）理由总分15 15 10 10 20 10 20平均分4.64 9．64 7.86 7.38 8.09 5.71 7.62 0分人数14 7 4 4 11 9 11

由表中数据可知：参与抽测的学生的平均分是50.94（满分为100分）.

1．操作技能失分较多

画函数y=-3x的图像时，有7位学生（占比33.33%）没能正确画出图像.与此同时，参与检测的21人中有14人（占比66.7%）没写出画函数图像的三个基本步骤.在描述函数y=-3x的图像的性质时，学生的得分率也仅为76.2%.对学生进行访谈时，失分的学生反映，忘记画函数图像的方法、步骤了，印象中函数图像是一条直线，因此就随意画一条直线；不知道函数图像的性质所指是什么，也不了解一次函数图像的性质都包含哪些方面的内容.

2．心智技能得分不理想

在检查学生运用数形结合法分析函数图像及性质等方面，得分也并不理想.如在解决（3）时，有9位学生（占比42.9%）在比较y1与y2的大小时出错，有11位学生（占比52.4%）没能对比较的结果给出合理的解释.访谈中还发现，在能正确写出y1与y2的大小关系的学生中，仍有部分学生是靠运气的.

进一步分析课堂教学过程，在教学画函数图像时，教师的讲解是清晰的，学生的练习是充分的（共练习画五个函数的图像）.在进行函数及图像的性质探索时，学生的回答是正确的，思维是活跃的.与此同时，测试题中的函数y=-3x也是学生课堂上所练习过的，但为什么测试的结果并不理想呢？

三、教学思考

对于本课的知识技能目标，《义务教育数学课程标准》指出：“能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况.”由此可知：让学生在正确理解函数图像的概念的基础上，依照画图像的基本步骤正确画出正比例函数y=kx（k≠0）的图像，然后从数（表达式）与形（图像）两个方面，探索并理解k＞0和k＜0时，图像的形状、位置、变化情况等性质，并在此过程中感悟研究函数图像及其性质的一般策略与方法（数形结合法），获得研究函数图像及其性质的基本经验，应是本课的教学目标与教学重点，也是经过本课教学后学生需掌握的数学技能.“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理.”［1］教学数学技能时，需要在学生理解与技能相关的数学概念的基础上，按照技能执行的程序进行操作，并在操作的过程中进行数学思考，感悟蕴含的数学思想方法，进而促进技能的形成与自动化.

1．理解概念，促进技能的自然形成（1）充分理解概念的内涵与外延．

“掌握概念、原理等知识是形成技能的必要前提.”［2］对于函数图像的定义，教材在本节开章中便明确给出，“把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像.”由定义可知：因变量的值由自变量的值及它们之间的对应关系求得，点的坐标由自变量的值与因变量的值组成的数对来确定，其中自变量的值为点的横坐标，因变量的值为点的纵坐标.也就是说，函数图像上每一个点的坐标中，横坐标的值与纵坐标的值符合特定的相依关系.同时，这个定义还给出了画函数图像的基本步骤及方法，即：第一步，根据自变量的取值范围确定自变量的值，并由对应关系求出其对应的因变量的值；第二步，把自变量的值作为点的横坐标，把对应的因变量的值作为点的纵坐标，组成有序数对；第三步，在平面直角坐标系内描出相应的点.这些都是在教学这个概念后，学生所需要理解的.分析本课例，任课老师仅仅是组织学生朗读一遍概念后便直接进入概念的应用教学，这样，概念的理解是教师的而不是学生的，因而画函数图像的技能也就是教师的而不是学生的.

另一方面，教材例题中，把画正比例函数y=2x的图像分成“列表、描点、连线”三步，其中“列表、描点”由定义都可以直观得到，那么“连线”这一步呢？定义中并没有明示，这就形成疑惑：怎么连线？是用尺子画吗？……对此，教材给出这样的描述，“把这些点依次连接起来，得到y=2x的图像，这是一条直线.”可以知道，教材指出的是把所有点依次“连接”起来，但为什么可以“连接”？用“直线”连接还是用“曲线”连接呢？也没有明示.而事实上，函数图像的定义中也给出了“连线”的方法，“在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像.”也就是说，函数的图像是由所有满足函数关系的点组成的集合，如果这些点组成的集合是直线型的，才可用直线连接.

教材在给出图像的定义后，还指出“如图4-1（本章第一节的图）就是摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间函数关系的图像.”这个例题告诉我们：函数的图像也可能是曲线.但由于任课老师并不重视挖掘函数图像概念的内涵与外延，再加上其后在教学一次函数及其图像时的不断强化，这就让学生形成经验：函数图像应都是直线型的，或者应直接用直线把所描出的点连接起来.

（2）亲身体验技能的形成过程．

皮亚杰认为，学习是一种能动的建构过程，是在同化或顺应的过程中逐渐获得知识.布鲁纳认为，学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者.在学习本课之前，学生已学习了数轴等知识，理解了实数与数轴上的点之间的转换过程，学习了平面直角坐标系等知识，掌握了根据数对在平面直角坐标系内描出对应的点的方法，学习了函数的概念及函数的三种表示法，知道了函数既可用关系式表示，还可用表格或图像来表示等，这些都为画函数图像技能的形成提供了经验.

这样，在学生对函数图像的概念已有较好理解的基础上，教学例1时，可以让学生根据函数图像的定义，亲自动手尝试画出函数y=2x的图像，教师再根据学生的操作情况，引导学生根据图像的概念反思从数到形的思维与操作过程.于是，学生在尝试根据定义对画函数y=2x的图像的操作步骤作出解释的过程中，加深了对定义与操作程序的体验性理解，从而帮助学生自主建立画函数图像操作过程的亲身体验，进而形成画函数图像的技能.

2．遵循程序，促进技能的强化

认知心理学认为，熟练基本技能的获得需要经过三个阶段：认知阶段、联系阶段、自动化阶段.其中联系阶段是技能的运用与强化阶段，在这一阶段，需要学生按技能的操作程序依次完成每一个步骤.分析本课例，为了能让学生掌握画正比例函数图像这个技能，在例题讲解后，也组织学生多次练习.但课堂观察发现，在学生练习画函数图像时，任课老师欠缺明确要求学生按画函数图像的基本步骤来进行每一步的操作，也没组织学生之间互帮互学、相互检查，不少学生就直接跳过“列表”这步，甚至有部分学生还跳过“描点”这一步，这对于初学画函数图像这个新技能来说，是非常不合适的.

在分析学生的答卷时也发现，不少学生在画函数y=-3x的图像时，并没严格按画函数图像的步骤进行，部分学生甚至不列表、不描点而直接在坐标系内随意画一条直线就当作该函数的图像.其中也有部分学生无法根据函数关系式y=-3x进行列表，也就是说，这部分学生在“从关系式到数对”的转化过程中是有困难的.这说明，课堂上虽然进行了大量的练习强化，但由于要求不明确、不具体，检查落实不到位，或给学生的支持不够，学生难免对技能的操作程序“偷工减料”.

另一方面，让学生严格按照画函数图像的基本步骤来画图像，不仅可以强化画函数图像的技能，培养从数到形转化的数学基本活动经验，在操作过程中还可进一步帮助学生感悟函数的性质，感悟数形结合的数学思想方法，从而促进本节课技能的强化.

3．数学思考，促进技能的自动化

画出函数的图像，关键在于从数到形、化数为形的转化过程.本节课是学生首度学习画函数图像的知识，怎样从数到形，怎样化数为形，这对于学生来说，都是非常困难的，都需要学生在思维上的积极参与.也就是说，教学中需要让学生理解“关系式→数对→点的坐标→点→图像”的思维过程，才能真正有助于本课技能的自动化.

（1）经历从关系式到数对的数学思考过程．

在从数到形、化数为形的思维过程中，由关系式到数对是其中第一个环节，也是学生经验较为缺乏的思维环节，但由于其操作难度小，此环节也往往最易被教师忽视.当然，单纯从解题来说，取定自变量x的值，然后代入函数关系式求出对应的因变量y的值，得到一组数对，这是不难的.但不难求解不等于容易理解，检测的结果也反映出仍有部分学生无法正确获得数对.

认知心理学告诉我们，学习的难度不仅取决于学习材料的本身，也取决于学习者是否具有可供迁移的经验，取决于学习者对材料是否真正理解.怎样从表达式到数对呢？“回到概念中去”，从函数关系式y=2x到数对（1，2）、（2，4）、…，其依据是函数的概念：“一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.”概念不仅解释了自变量与因变量之间的相依关系，而且给出了根据自变量的值及对应关系来确定因变量的值的方法，即先需确定自变量的取值范围，然后在取值范围内给自变量赋一些值，再根据对应关系计算出因变量的值，进而获得数对.在从表达式到数对的转化时，不仅要让学生知道其中的“术”，更要引导学生回到函数的概念中去，明白其中的“道”.

（2）经历从点到线的数学思考过程．

由函数图像的定义可知：函数的图像是指满足特定关系的所有点的集合，从点到线，是从集合的角度来定义的.其中有两个基本概念：“所有点”及“集合”.能描出所有的点吗？显然不能.那么，当我们描出一些点后，为什么用“直线”把这些点连接起来，就可以说它是函数y= 2x的图像呢？而对于函数或y=x2，当描出一些点后，却为什么不能用直线而只能用光滑的曲线把这些点连接起来呢？为让学生明白这个道理，教材在让学生完成“做一做：画出正比例函数y=-3x的图像”后，还安排了“想一想：（1）满足关系式y=-3x的x、y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x的图像上吗？（2）正比例函数y= -3x的图像上的点（x，y）都满足关系式y=-3x吗？……”，可见，教材编写者的意图是通过“任意”来解释“所有”这个概念，我们在教学时应该让学生理解这种思维方法，而不是仅仅简单地作出判断“是”或“不是”.

另一方面，在之前的学习中，学生已具有了“点动成线”的经验，那么，函数的图像是不是“点动成线”所形成的呢？显然不是，它是由满足相同的对应关系的点组成的集合，而不是某一个点的运动轨迹，因此，有些老师运用几何画板工具，通过“追踪点的运动轨迹”来解释函数y=2x的图像的形成过程，笔者认为这是不妥当的.

实际教学时，我们应让学生在平面直角坐标系内描出尽可能多的点，这些点不仅包括整数点，还应有分数点.我们也可以借用绘图工具，在坐标系内描出尽量多的点，以帮助学生在观察这些“密密麻麻”的点的过程中，逐渐获得函数图像的直观形象，进而形成“点集合”成“图像”的思维经验，培养从直观到抽象的思维能力.

（3）经历获得性质的数学思考过程．

“函数是研究运动变化的重要数学模型，函数概念的实质就是运动变化.”［3］在初中阶段，函数是研究变化过程中两个变量之间的一种相依关系，这种由常量数学到变量数学学习的转变，欠缺经验支撑.因而在研究当k＞0和k＜0时，函数值的变化情况时，一方面需要引导学生运用研究常量数学的经验来探索变量之间的关系，另一方面，更需要引导学生从变量数学的角度来感悟变量之间的关系，这是帮助学生建立新的认知结构所必不可少的.具体来说，正如本课例中任课老师的教学那样，在组织学生思考讨论函数y=2x的增减性性质时，既要从关系式的倍数关系直观感受变量的变化关系，或从表格中具体数据的变化情况进行猜想推理，更要从函数图像的特点，迁移以往的经验，去直观观察、感受、分析，进而获得结论.

（4）建构研究函数及其图像的性质的认知结构．

我们知道，从图像中获取两个变量的关系，在经过七年级的学习后，学生已经具备了相关的知识经验.因此，在研究具体函数的图像及其性质时，除了顺应、迁移这些经验来获取新知，还应该引导学生建构起研究函数及其图像的性质的认知图式，让学生了解应从图像的形状、位置、增减性、对称性等诸多方面来研究函数及其图像的性质.为此，教材在议一议中编排了如下问题，“正比例函数y=kx的图像有何特点？你是怎样理解的？”但本课例仅是让学生答出结果，却没能在讨论的基础上对结果进行归纳、分类、概括，形成认知图式.测试与访谈中，在让学生写出函数y=-3x的两条性质时，不少学生不知道问题所指，甚至回答“两点确定一条直线”“k＜0”“函数关系式的点与函数图像上的点一一对应”等.

数学技能的教学，既可通过讲授模仿来让学生获得技能，也可通过探究发现让学生在尝试过程中形成技能.但基于“数学技能是学生的而不是老师的”这个基本观点，笔者认为，数学课堂教学，我们既要帮助学生获得数学基本技能，更要引导学生在技能学习过程中，体会技能获得的方法，感悟蕴含的数学思想，形成基本数学活动经验，提升数学素养.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2012．

2.曹才翰，章建跃．数学教育心理学［M］．北京：北京师范大学出版社，2007．

3.崔恒刘．借几何画板突破教学“一次函数图像”的难点［J］．中学数学（下），2013（1）．Z