2014年高考山东理科数学19题的感想

冯淑丽

自2007年山东实施新课标高考以来，对数列的考查无一例外（当然除2009年略有不同）的采取了一种固定的考查模式：第一问求数列的通项公式;第二问求数列的前n项和.基本上所有的求和方法都有所涉及：乘公比错位相减法，裂项相消法，分组求和法，根据n的奇偶性分类讨论，并项求和法等.人们猜测2014年的高考数列会考哪种求和方法？我想在各种求和方法都训练到位的前提下，今年的数列题目应该不算是个难题.

题目 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;

（Ⅱ）令bn=（-1）n-14nanan+1，求数列{bn}的前n项和Tn.

该题目的新颖之处在于第二问，进行了绝妙的创新设计，要求考生准确掌握数列的基本思想，同时也对思维的灵活性提出了较高的要求.当看到通项公式bn=（-1）n-14nanan+1=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1），大部分同学会一下子想到“裂项相消法”，但是用传统的裂项法却很难办;又看到（-1）n-1也会联想到分类讨论或者是“并项求和”等思想方法.

解法1 裂项求和法.

裂项方法之一：在尝试了“裂差”的失败之后，同学们应该能够想到这样的一种“裂和”的方法：bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-1（12n-1+12n+1），然后写出Tn的表达式Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…+（-1）n-1（12n-1+12n+1）.

观察前几项的抵消规律：每一项中的第二个数与它后一项的第一个数相抵消，由特殊到一般，归纳出Tn的一般表达式.显然再由n的奇偶性决定了最后一项是“+”号还是“-”号，因此这个题目很自然地想到根据n的奇偶性去讨论：

①若n为偶数，则Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…-（12n-1+12n+1）

=1-12n+1=2n2n+1.

②当n为奇数，则Tn=（11+13）-（13+15）+（15+17）-（17+19）+…-（12n-3+12n-1）+（12n-1+12n+1）

=1+12n+1=2n+22n+1.

裂项方法之二：由传统的裂项方法想到：因为2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，所以bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）=（-1）n-1（12n-1-12n+1）2n=（-1）n-1（2n2n-1-2n2n+1），

所以Tn=（21-23）-（43-45）+（65-67）-（87-89）+…

=2-23-43+45+65-67-87+89+…

=2-（23+43）+（45+65）-（67+87）+89+…

结合着“并项求和法”，根据n的奇偶性，由特殊到一般的归纳出Tn的表达式.

在该解法中要求对通项进行裂项的灵活性比较高，其实在近几年的高考题中也给我们传递了这样一种信息：在传统的方法上不断的进行创新，达到知识与能力的完美融合.

裂项法求和关键在于拆项、消项.因而具有较强的技巧.在平时的解题训练中不应生搬硬套，而应灵活应用，常见代数式的裂项要适当的了解，例如：

an=2n-33n=n-13n-1-n3n;

1n×（n+1）×（n+2）=

121n×（n+1）-1（n+1）（n+2）;

1n×（n+1）×（n+2）×（n+3）=

131n×（n+1）×（n+2）-

1（n+1）×（n+2）×（n+3）2n+3n×n+1×n+2=2n+1×n+2+3n×n+1×n+2.

解法2 并项求和法.

bn=（-1）n-14n（2n-1）（2n+1），由代数式的结构特点：正负交替变换，不难想到并项求和法.

Tn=41·3-83·5+125·7-167·9+209·11-2411·13+…

=（41·3-83·5）+（125·7-167·9）+（209·11-2411·13）+…

=41·5+45·9+49·13+…

并项之后，认真观察该代数式具备了裂项相消法求和的条件，因此，可以得到：

Tn=41·5+45·9+49·13+…=（11-15）+（15-19）+（19-113）+…

当然，要对n的奇偶性进行讨论.

当n为偶数时：

Tn=41·3-83·5+125·7-167·9+209·11-

2411·13+…+4（n-1）（2n-3）·（2n-1）-

4n（2n-1）·（2n+1）

=

（41·3-83·5）+（125·7-167·9）+（209·11-2411·13）+…+4（n-1）（2n-3）·（2n-1）-4n（2n-1）·（2n+1）

=

41·5+45·9+49·13+…+4（2n-3）·（2n+1）

=

（11-15）+（15-19）+（19-113）+…+（12n-3-12n+1）

=11-12n+1=2n2n+1.

当n为奇数时：因为此时n-1为偶数，所以Tn-1可以用上当n为偶数时的结论直接得出，

Tn=Tn-1+bn=

2（n-1）2（n-1）+1+（-1）n-14n（2n-1）（2n+1）

=

2（n-1）2n-1+4n（2n-1）（2n+1）

=

4n2+2n-2（2n-1）（2n+1）=2n+22n+1.

在整个过程中，采取的是“先并项，再裂项”分类讨论的解题思路.

虽然上述两种解答方法有些细微的不同，但是方法并不陌生，都是可以与以往的解题方法联系起来，进行适当的创新，把多种求和方法联系起来.本题第（Ⅱ）问还可以用数学归纳法进行证明.因此在备考过程中一定要把每一种求和方法训练到位，体会求和过程中包含的数学思想方法.