两不动点构造一个分布混沌系统

王立冬，欧小平，王一伊

(1.大连民族学院 理学院，辽宁 大连116605;2.北方民族大学数学与信息科学学院，宁夏 银川750000)

在著名的文献［1］中，Li 和Yorke 首次在数学领域引入了“混沌”的概念，此后混沌在动力系统研究中占据了重要的地位，现在已经有很多种混沌的定义，比如Devaney 混沌、分布混沌、ω -混沌等。其中由文献［2］引入的分布混沌，是一种和Li-Yorke 混沌相似但是更为复杂的混沌，这两种混沌都是通过某种混沌集定义的，所以对于这些混沌集的大小和性质的研究一直是混沌研究中一个很重要的部分。在文献［3］和［4］中，作者研究了传递分布混沌集、极值分布混沌集、不变分布混沌集，结果分别给出了一些具有特殊性质的分布混沌集。

符号空间和移位映射构成的符号动力系统在混沌动力系统领域占有极其重要的地位，这是因为它作为一个简单的数学模型，却包含着几乎所有典型的复杂动力性态，并且能通过拓扑共轭或拓扑半共轭推广到一般空间而动力性质保持不变。本文也是在符号动力系统中进行讨论，在混沌研究时考虑到，怎样才能比较简单地构造一个分布混沌系统;能否够通过不动点构造出一个分布混沌系统，如果可以，那么这个系统有什么性质和特点，其不可数分布混沌集又是怎样的呢?

本文针对上述问题进行了研究，并通过两个不动点构造了一个极值分布混沌的动力系统，这个动力系统只包含两个极小集，即由两个不动点分别构成的两个极小集，并且存在不可数的且只包含其中一个不动点的分布混沌集。

1 定义

总设X 是一个具有度量d 的度量空间，f:X→X 是一个连续映射。

和通常一样，用ωf(x)来表示x(关于f)的ω-极限集。如果非空子集M⊂X 满足f(M)⊂M，则称M 是(关于f 的)不变集。

定义1 子集S⊂X 为一个分布混沌集，如果S 至少包含两个点，并且任意两个不同的点x，y∈S 都满足:

(b)存在ε ＞0 使得φxy(ε)=#{i;0≤i≤m-1，d(fi(x)，fi(y))＜ε}=0，这里的#C 表示集合C 的基数，具有上述性质的点对{x，y}称为分布混沌点对。称f 是分布混沌的，如果它具有不可数的分布混沌集。

在上面定义中，如果f(S)⊂S，称S 是一个不变分布混沌集;如果对任意两个不同的x，y∈S，都有φxy(b)=0，这里b=Diam(X)(X 的直径)，称S是一个极值分布混沌集;如果S 在X 中稠密且任意点x∈S 的轨道都在X 中稠密，称S 是一个传递分布混沌集。

定义2 如果f(x)=x，则称x 为f 的不动点。

定义3 设(∑k，σ)为符号系统，称D⊂∑K为σ 的准混杂集，如果对任何不同点x=x0x1…，y=y0y1…∈D，存在无穷多n 使得xn=yn，且存在无限多个m 满足xm≠ym。

2 构造分布混沌动力系统

用∑表示由0 和1 这两个符号构成的单边符号动力系统，∑中的度量d 定义如下:

对x=x0x1…，y=y0y1…∈∑，如果 x=y如果 x≠y 则m=min{i;xi≠yi}。易见Diam(∑)=1，移位映射σ 定义为σ(x)=x1x2…，x=x0x1…∈∑。众所周知，σ 连续且(∑，σ)是一个紧致系统。

假设x=x0x1…∈∑，对0≤i≤j，用x［i，j］来表示x 的第i+1 个符号到第j +1 个符号的这一段有限序列，亦即x［i，j］=xixi+1…xj。如果C 是一个有限序列，用来表示它的符号个数。设C，D 是两个符号序列，如果存在0≤i≤j，使得D［i，j］=C，那么称C 出现在D 中，记作C≺D。

下面构造这个极值分布混沌系统。

给定两个不动点e=000…，v=111…∈∑2，令An为符号{J0J1…Jn-1;Ji∈{e2i2，v2i2}，0≤i ＜n}中所有成员的一个有限排列，其中ei=e［0，i -1］，vi=v［0，i-1］，令a=A1A2…，M=ω(a，σ)⊂∑2，则有σM:M→M 为一子移位。

选取不可数准混杂集E(存在不可数准混杂集在文献［5］已有证明)，定义映射φ:E→∑，使得对∀x=x0x1…∈E，φ(x)=J0J1…，其中Ji=对i=0，1…。

设D=φ(E)，由于对每个固定的i，不论Jj(0≤j≤i)怎样选取总有J0…Ji≺Ai+1≺a，因此存在k≥0，使得σk(a)的前mi个符号为J0…Ji(J0…Ji=mi)，这表明对每个x∈E，φ(x)∈ω(a，σ)=M，因此D⊂M，由于E 不可数且φ 为单射，所以D 也是不可数集;另一方面，两不动点e，v不可能同时包含在一个不可数准混杂集中，否则将不是准混杂集;若e∈E，则e∈D 中，若v∈E中，则v∈D。

令b=B0B1…，c=C0C1…，为D 中不同点，其中Bi∈{v2i2，e2i2}，Ci∈{v2i2，e2i2}，据φ 的定义可知，存在正整数序列pi→∞，qi→∞，使得对每个i，Bpi=Cpi，Bqi≠Cqi，令δbc(j)=d(σj(b)，σj(c))，j=1，2…，因为对固定的pi＞0，当mpi-1≤j ＜mpi-mpi-1，σj(b)与σj(c)前mpi-1个符号必定相同，因此对这样的j，δbc(j)＜，于是对任意给定的t，只要pi足够大，就有δbc(j)＜t，进而(t)=δbc(j)＜t，0≤j ＜mpi-mpi-1}≥δbc(j)＜ t，mpi-1≤j ＜mpi-mpi-1}=≥1 -→1，所以有(t)=1。

另外，对固定的qi＞0，当mqi-1≤j ＜mqi时，σj(b)与σj(c)第一个符号必不相同，因此对这样的j，都有δbc(j)=1，于是对ε=1 有

φxy(1)={jδbc(j)＜1，0≤j ＜mqi}={jδbc(j)＜1，0≤j ＜mqi-1}≤→0，所以φxy(1)=0。这表明b，c 为σM的分布混沌点对，由b，c 的任意性，可得D 为不可数分布混沌集，且σM是极值分布混沌的。

证明 (σ，M)是一个只包含两个极小集的动力系统，没有其他的的极小集。

显然，在动力系统(σ，M)中两个不动点e，v就是两个极小集。

假设Q 是另外一个极小集，那么ρ=min{d(Q，e)，d(Q，v))＞0，存在正整数n0使得＜。由σ 的连续性，对任意的正整数N，存在δ ＞0，当d(x，Q)＜δ 时，就有对任意的i，0≤i≤N，d(σi(x)，Q)＜;另一方面，Q⊂M=ω(a，σ)，因此对任意的δ ＞0，存在m≥0 使得d(σm(a)，Q)＜δ，所以对任意的正整数N，存在m≥0 使得对任意的i，0≤i≤N，d(σm+i(a)，Q)＜，那么min{d(σm+i(a)，e)，d(σm+i(a)，v))＞。这就意味着对任意的正整数N，存在m≥0 使得对任意的i，0≤i≤N，序列a［m +i，m +i +n0-1］不包含在任意en或vn(n≥n0)中，如果a［m+i，m+i+n0-1］被包含在某个en中，那么会得到d(σm+i(a)，e)≤;类似的对vn也一样。

此外，存在正整数j 使得2j2＞n0，当N=2sms，由a 的构造形式可知，对任意的m≥0，必定存在i，0≤i≤N，使得a［m+i，m+i+n0-1］是包含在e2j2或v2j2中的，从而得出矛盾，故假设不成立，所以动力系统(σ，M)值只包含两个极小集。

［1］LI T Y，YORKE J A. Period three implies chaos［J］.Amer. Math. Monthly，1975，82:985 -992.

［2］SCHWEITZER B，SMITAL J. Measures of chaos and spectral decomposition of dynamical systems of the interval［J］. Trans. Amer. Math. Soc，1994，344:737 -754.

［3］OPROCHA P. Distributional chaos revisited［J］. Transactions of the American Mathematical Society，2009，361:4901 -4925.

［4］OPROCHA P.Invariant scrambled sets and distributional chaos［J］. Dynamical Systems，2009，24:31 -43.

［5］廖公夫，王立冬，范钦杰. 映射迭代与混沌动力系统［M］. 北京:科学出版社，2013.