一例关于伯努利方程知识点的教学案例

李海宝 姜洪喜 张 琳 李 社

（黑龙江科技大学理学院，黑龙江哈尔滨 150022）

一例关于伯努利方程知识点的教学案例

李海宝 姜洪喜 张 琳 李 社

（黑龙江科技大学理学院，黑龙江哈尔滨 150022）

伯努利方程是“工程流体力学”“液压与气压传动”“土木工程结构抗风设计”“连续介质力学”等课程的核心基础，而这些课程又是机械类、土木工程类等专业的专业基础课．“大学物理”作为理工科专业的公共基础课，应该全部或部分讲授伯努利方程这一重要的知识点．文章通过对工程上有关伯努利方程应用的实例进行合理抽象，为大学物理课程中所讲解的“伯努利方程”知识点营造工程教育情境．通过这种教学设计，能够实现在加深学生对基础知识掌握程度的同时，增强学生工程背景阅历和工程实践意识．

伯努利方程；大学物理；教学设计；工程背景；3D打印

伯努利方程是“工程流体力学”“液压与气压传动”“土木工程结构抗风设计”“连续介质力学”等课程的核心基础，而这些课程又是机械类、土木工程类等专业的专业基础课．“大学物理”作为理工科专业的公共基础课，应该全部或部分讲授伯努利方程这一重要的知识点．不过，由于很多学生在中学阶段的学习中，或多或少接触了伯努利方程内容，在大学阶段讲解，要注意进行合理的教学设计，选择合适的教学方法［1］．为伯努利方程构建工程教育情境，可以让这一知识点的讲解，对学生具有足够的吸引力．

1 关于伯努利方程知识点的顶层设计

1.1 伯努利方程

伯努利方程是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，在重力场中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变，其本质在于揭示了流体在重力场中流动时的能量守恒［2］．其数学公式为

公式中的各个字母的含义为：p——压强；ρ——流体密度；y——流体元与零位势能面的高度；v——流体元的流速；g——重力加速度．

1.2 伯努利方程知识点的重点突出

基于某种原因，很多大学物理教材并没有将流体力学内容单独作为一个章节纳入教学内容的体系中．如果只讲授伯努利方程，可以以一个具体的例子融入到相关内容教学中．在马文蔚等改编、东南大学等七所工科院校编写的《物理学》（第5版）中，就是通过一个例题来完成讲解的［3］．

笔者在讲解这个例题的时候，对这个例题的内涵进行了拓展，并把讲解的重点放在了以下三个方面：

（1）突出物理本质．强调能量与物质的相互作用，将质点系的动能定理、机械能守恒定律、能量与物质相互作用规律等，运用到理想流体的定常流动这一模型中．

（2）营造工程背景．通过构建伯努利方程的工程背景，努力让学生在深入掌握基本知识后，对所涉及的工程应用背景有一定认识，以突出物理原理在工程技术中的应用．

（3）融入科研方法．引导学生树立运用计算机软件来对一个简单物理现象进行计算机仿真的意识，融科研方法在课堂教学中．

1.3 教学原则和教学手段

在教学原则的选择上，以建构主义思想为指导，强调学生的主动参与，注意利用已有的生活经验．在教学手段选择上，避免使用平铺直叙的方式，注意运用趣味性演示实验，激发学生的学习兴趣，按照从现象到物理、从物理到工程的思路来讲解这一知识点．适当引入Matlab等数学工具，对若干种伯努利效应现象进行仿真，融入科研方法．

2 伯努利方程知识点的教学过程

2.1 教学导入和准备知识处理

现象是物理学的根源，实验是物理学的基础．笔者在讲课时，先是通过屏幕为学生展示了伯努利悬浮球的演示装置［4］，如图1（a）所示．但是限于条件，无法在课堂上直接演示这个现象．笔者借助了一个漏斗和一个乒乓球来进行等效演示伯努利效应．

为了增加趣味性，笔者在演示的时候，没有直接将乒乓球约束在锥形扩展区的狭小空间内吹气，如图1（b）所示，而是选择表面比较粗糙的硬纸板将锥形漏斗的开口端表观封闭，乒乓球放在硬纸板上如图1（c）所示．这样处理后，当通过漏斗的细颈向封闭空腔内吹气时，乒乓球会离开纸板平面，而被吸附在锥形扩展区的狭小空间内．教师操作后，请学生代表重复上述操作．这种小球跃升的效果，学生感到十分惊奇．此时，讲解现象背后蕴含的规律——伯努利方程，就自然而然了．

由于伯努利方程的学科背景是流体力学或连续介质力学，因此有必要介绍一些基本模型和数学工具．如理想流体、定常流动等概念，连续性方程等数学工具．

2.2 突出伯努利方程知识点基本要求

在教学中注意引导学生摆脱中学时代为了解题而学习知识点的惯性思维，从物理学的内在要求，以更高的系统性思维、体会和体验式的方法来重新认识伯努利方程．

物理学的研究对象可谓包罗万象，但归结起来，可划分为三个大类：物质、能量、物质与能量的相互作用［5］．伯努利方程知识点虽然微小，但却可以分别体现三个大类所涉及的内容．首先，定常流动的理想流体，即为我们所研究的“物质”；而后，位势能、压力势能、动能，即我们所研究的“能量”；最后，三种能量相互转化，正是能量与物质相互作用的结果．

2.3 营造伯努利方程知识点工程背景

融入工程教育素材于课堂．由于课堂上所讲授的内容因其丰富并带有工程实践的色彩，将增强课堂的吸引力，有助于培养和提高学生的学习兴趣［6］．能反映伯努利方程应用的工程背景和案例，数目众多．在选择过程中，应优先选择能与学生所学习的专业紧密联系的例子，并从日常生活实例开始，最终过渡到预期目标．笔者选取了从喷雾器过渡到3D打印机中的喷头设计这一例子．

喷雾器利用的是体现伯努利效应的空吸原理，在液体向外喷出时，由于喷头内部压强远高于喷头外部的压强，液体自喷头喷出后，压强突然降低，雾滴从喷头中心轴对称向四外均匀发散，如图2所示．联想到现在的3D打印机喷头，如图3（a）所示，为了保障粘滞系数较大的液滴（如金属液滴）从喷口喷出，喷头内部将被设计成比较高的压强，但是根据伯努利效应，如果喷头外部压强突然降低，造成雾滴关于喷头中心轴对称向四外均匀发散而影响喷涂的精度．这时我们就为学生介绍美国Optomec公司气流喷印技术中利用环形气流控制打印精度的专利技术［7］，来启发学生思维．

如图3（b）所示，气流环绕在喷射液体的周围，呈360°均匀对称．这样液体喷射后，由于周围气压仍然很高，且存在流体的表面效应，使得在液体飞向承载物表面的过程中，能够实现液体流的径向尺寸远小于喷头的口径，从而提高喷印的精度．2.4 伯努利方程知识点的有关计算机仿真模拟

使用Matlab等工具编写程序，来模拟伯努利方程中各参量变化与其他变量的因变关系．有以下三个方面的目的：第一是通过各参量变化的制约关系，以图形化予以充分展示，从不同角度加深学生对知识点的掌握．第二是培养学生利用计算机仿真处理物理问题的意识，使一部分计算机运用能力较强的学生参与到计算机仿真设计当中．

笔者在讲授时，利用Matlab为学生现场展示了仿真程序和仿真结果，学生反映很好，跃跃欲试．此时，笔者又适时将课外素质教育活动的内容，自然渗透，还达到了课内外教学环节的紧密结合．图4展示了漏斗内气体压强与漏斗内到达距端开口距离的关系曲线．

3 结语

通过整理学生反馈意见发现，学生对笔者这样的教学处理很有感触，意识到对教材中的每一道例题进行深入挖掘十分必要而且有意义．一个看似很小的知识点，背后可能蕴藏着一个丰富的理论世界和财富世界．对教师来说，要引导学生去发现这个世界．物理学中的每一个知识点，实际上都是人类认识和改造物质世界的智慧结晶，每一个知识点都直接或间接地同工程背景联系在一起．只要我们肯去挖掘，并积极融入到课堂教学中，将使课堂教学工程情境色彩浓厚，学生学习兴趣提高．最终目的是学生学习的基础理论知识更加扎实，工程和实践意识得到强化．

［1］ 郑海务，康缈，任凤竹，等．大学物理课程和中学物理课程近代物理部分的衔接研究［J］．物理与工程，2011，21（5）：45－48．

［2］ 张德良．计算流体力学教程［M］．北京：高等教育出版社，2010．

［3］ 马文蔚改编，东南大学等七所工科院校编．物理学（上册）［M］．5版．北京：高等教育出版社，2010．

［4］ 中国数字科技馆．伯努利原理悬浮球［DB／OL］［2014－04－02］．http：／／www2．cdstm．cn．

［5］ 吴国玢，Herrmann F．试论一种新的能量观［J］．物理与工程，2010，20（6）：3－6．

［6］ 李海宝，任常愚，金永君，等．课堂教学中物理工程教育素材的开发与融入［J］．物理与工程，2011，21（4）：61－64．

［7］ Essien M，King B H．Multiple Sheath Multiple Capillary Aerosol Jet：U．S．Patent Application 12／247，909［P］．2008－10－08．

A TEACHING CASE FOR THE KNOWLEDGE POINT OF THE BERNOULLI EQUATION

Li Haibao Jiang Hongxi Zhang Lin Li She

（College of Science，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin，Heilongjiang 150022）

Bernoulli equation is the core foundation of the courses，such as“Engineering Fluid Mechanics”“Hydraulic and Pneumatic Transmission”“Civil Engineering Structural Wind Resistant Design”“Continuous Medium Mechanics”，and these courses are also the professional basic course of Mechanical Engineering，Civil Engineering and other professional．“University physics”as public basic courses in science and engineering，should all or part of teaching Bernoulli equation which is an important knowledge point．The engineering education scene was constructed in the process of university teaching about the knowledge point of the Bernoulli equation，through a reasonable abstract of the engineering application examples about the Bernoulli equation．This teaching design can deepen students'mastery of basic knowledge，as well as enhance students'consciousness of engineering background and engineering practice．

Bernoulli equation；university physics；teaching design；engineering background；3Dprinting

2014－03－06

黑龙江省教育科学“十二五”规划课题资助（课题编号：GBD1211055）；黑龙江科技大学2014年教学研究项目资助（课题编号：JY14—129）；黑龙江科技大学青年才俊计划资助．

李海宝，男，副教授，主要从事物理教学、纤维集成光学研究工作．lihaibao1978＠126．com