磁场中三维各向异性谐振子哈密顿量的对角化

李凤敏

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

磁场中三维各向异性谐振子哈密顿量的对角化

李凤敏

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

当三维各向异性谐振子处在一个任意方向的磁场中后，谐振子之间出现耦合．这些耦合谐振子的海森伯运动方程能够写成类似于薛定谔方程的形式．通过一定的变换可以使海森伯运动方程解耦合，利用这些结果也可以使哈密顿量对角化，进而得到系统的能量本征值和体系的本征态．同时给出了坐标和动量的矩阵元以及量子涨落．

量子力学；谐振子；磁场；海森伯运动方程

在量子力学中，求解薛定谔方程时往往需要将哈密顿量对角化．例如对于耦合谐振子体系，许多文献中就进行了相关的研究［1－6］．在这些研究中，直接运用一些变换使哈密顿量对角化．但是对于复杂的耦合情况，寻找变换的形式有时比较困难．哈密顿量的对角化意味着运动方程的对角化．因此，我们也可以从量子力学的海森伯运动方程出发，研究体系的对角化问题．先将耦合的运动方程解耦合，然后再对哈密顿量对角化．与直接对哈密顿量进行数学变换使之对角化的方法相比，这种手段会更加突出处理问题的物理图像，并且手段也会变得比较普适．谐振子势在许多方面都有重要的应用，例如低温下的玻色爱因斯坦凝聚［7，8］，分子振动［9］，量子光学［10］等．除了谐振子之外，带电粒子在磁场中的运动也是十分重要和基本的问题．带电粒子在磁场中的运动会产生霍尔效应，以及量子霍尔效应［11］．本文讨论磁场中的三维各向异性带电谐振子．磁场的存在可以使谐振子之间产生耦合，形成耦合体系．

1 磁场中的三维各向异性谐振子

考虑磁场中3个质量相同，频率不同，各向异性带电谐振子量子系统．其哈密顿量表达式为

式中，A＝（A1，A2，A3）＝B0×r／2；r＝（x1，x2，x3）是磁场的矢势；B0是均匀磁场的磁感应强度；q是粒子所带的电荷；m，ωj（j＝1，2，3）分别是谐振子的质量和频率．这里p1，p2，p3是正则动量算符．坐标算符与正则动量算符之间的对易关系为（j，k＝1，2，3）：［xj，xk］＝0，［pj，pk］＝0，［xj，pk］＝ihδjk．为简化计算，引入符号P1＝p1－qA1，P2＝p2－qA2，P3＝p3－qA3，得到的对易关系

由于各量P1，P2，P3之间非对易，由此看出磁场的存在形成非对易空间．当势能不显含时间，由海森伯运动方程［12］dF／dt＝［F，H］／（ih），可得

显然海森伯运动方程可以写成矩阵形式．引入符号：y1＝mω1x1，y2＝mω2x2，y3＝mω3x3，矩阵的具体形式如下

可以看出该方程与薛定谔方程形式类似，其中矩阵

不难看出A为厄密矩阵，即满足A†＝A．设A的本征值方程为：Aχ＝λχ．本征值λ满足：，其中I为单位矩阵．根据线性代数理论，通过解下列行列式即可求得本征值λ的数值，

经过一定的运算，得到本征值满足的方程

当磁场不存在，即B0＝0时，可得本征值λ1＝－λ2＝ω1，λ3＝－λ4＝ω2，λ5＝－λ6＝ω3，即系统退化为3个自由谐振子．而当ω1＝ω2＝ω3＝0时，由方程（7）可得λ＝±qB0／m，此即为带电粒子在磁场中的回旋频率．

令β＝λ2，方程（7）能够写成

其中，常量a，b，c的取值分别为

由代数知识可知其解［13］为

其中，j＝1，2，3．根据式（7）、式（9）得到矩阵A的6个本征值为：．下面分别求出对应于λj，j＝1，2，3，4，5，6的本征矢．设矩阵A的本征矢为：＝（A1j，A2j，A3j，A4j，A5j，A6j）．将χj代入本征值方程Aχj＝λjχj，得到各系数之间的关系

解上述联立方程组（11）可得

矩阵Λ是对角化的形式，Λ的矩阵元是矩阵A的本征值．将该式代入方程（4），可以使运动方程解耦合．应用式（14），海森伯运动方程（4）成为如下形式

各算符a†j，aj之间已经没有耦合，换句话说原来的海森伯运动方程已经解耦合．经过一定的运算，哈密顿量H可以写成

其中，量子数nj取值为：nj＝0，1，2，3，…．算符a＋j，aj作用在相关本征态上的结果为

计入时间演化因子后，体系的本征态为

其中能量本征值为

接下来，利用得到的本征态计算坐标和动量的矩阵元，并且讨论相应的经典近似．

2 坐标和动量的矩阵元及经典近似

在讨论量子与经典的对应问题时，常用到玻尔对应原理及海森伯对应原理．玻尔对应原理指出，当量子数很大时，量子体系的行为过渡到经典体系的情况．而海森伯对应原理则指出，在大量子数极限下，量子力学的矩阵元是经典物理量的傅里叶展开系数．换句话说，物理量可能矩阵元之和给出经典运动方程的解，即如果定义一个量那么该量在经典近似下应当给出经典解．式中，F是物理量所对应的厄米算符．下面应用海森伯对应原理讨论磁场中的三维各向异性谐振子的坐标和动量的矩阵元及量子经典对应关系，同时计算坐标和动量的量子涨落．

对方程（14）两边左乘矩阵S可得如下结果：

由此容易得到

下面计算坐标算符y1和动量算符P1的可能矩阵元之和

由于y1（t）和P1（t）是厄米算符，所以有ak1＝a＊k2，ak3＝a＊k4，ak5＝a＊k6，k＝1，2，3，…，6．利用此关系，式（26）可以简写为

显然当n1，n2，n3→∞时，坐标y1和动量算符P1可能的矩阵元之和变成如下形式

同样可以得出当n1，n2，n3→∞时，y2，y3和P2，P3可能的矩阵元之和的表达式．从式（27）、式（28）可以看出，当量子数n有限时，坐标和动量的矩阵元均为复数．但是，当n→∞时，二者都变成实数，即体系从量子态过渡到经典谐振子系统．经过一定的运算可以验证，经典近似的结果满足经典运动方程．

对于本征态式（22），相关物理量的量子涨落为

作为特例，当磁场不存在时，即B0＝0，由方程（11）及可求得当λ1＝ω1时，＝（2n1＋1）／2，同样可以算出其他两个坐标和动量的涨落．由此看出当外磁场不存在时，谐振子之间的耦合消失．

3 结语

对于任意方向磁场中的三维各向异性谐振子，得到了对角化的哈密顿量形式以及体系的能级和本征态．磁场的存在使得3个谐振子耦合了起来．求解耦合谐振子的薛定谔方程时，很多做法是直接将哈密顿量对角化．为了突出物理图像，本文从运动方程出发对哈密顿量对角化．耦合谐振子的海森伯运动方程能够写成类似于薛定谔方程的形式．然后采取一定的变换使海森伯运动方程解耦合，进而实现哈密顿量的对角化，最后得到薛定谔方程的解．文章同时对体系的量子和经典对应问题进行了讨论．在经典近似情况下，量子力学的矩阵元给出经典解．

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［2］ 徐世民．三模坐标动量耦合量子谐振子哈密顿量对角化的新方法［J］．大学物理，2008，27（3）：11－13．

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［4］ 雷啸霖．关于二次型哈密顿量的对角化定理［J］．低温物理，1983，5（3）：264－266．

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［6］ 逯怀新，王晓芹．n模二次型哈密顿量对角化的一种简单方法［J］．大学物理，2000，19（11）：7－9．

［7］ 闫珂柱，谭维翰．简谐势阱中具有吸引相互作用原子体系的玻色－爱因斯坦凝聚［J］．物理学报，2000，49（10）：1909－1911．

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［11］ 张礼．近代物理学进展［M］．北京：清华大学出版社，1997．

［12］ 曾谨严．量子力学卷二［M］．3版．北京：科学出版社，2000．

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DIAGONALIZATION OF THE HAMILTONIAN FOR THREE DIMENSIONAL ANISOTROPIC HARMONIC OSCILLATOR IN A MAGNETIC FIELD

Li Fengmin

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222）

When the three dimensional（3D）anisotropic harmonic oscillators are exposed to a magnetic field，coupling appears among the harmonic oscillators．The Heisenberg equations of motion for these coupled oscillators can be written as the form similar to Shrödinger equation．Through certain transformations，these Heisenberg equations of motion can be decoupled，and the Hamiltonian can be diagonalized by using these results．Furthermore，the energy eigenvalues and eigenstates of the system are obtained．Meanwhile，the matrix elements of the coordinate and momentum are given．The quantum fluctuations are also calculated．

quantum mechanics；harmonic oscillator；magnetic field；Heisenberg equation of motion

2014－10－10

天津市科委资助项目（11JCYBJC26900）．

李凤敏，女，教授，主要从事物理教学．leemsy＠sina．com