基于Matlab的势垒贯穿透射系数研究

柯常青 丁益民

（湖北大学物理与电子科学学院，湖北 武汉 430062）

1 问题的提出

解薛定谔方程能很容易地得出这样一个结论：当粒子透过势垒时，其透射系数与势垒宽度、粒子能量E和势垒高度U存在着一定的比例关系.若粒子能量与势垒高度保持恒定，粒子穿过势垒时对同样宽度的势垒进行两种透射方式：直接透射和n重依次透射（即让粒子直接透射宽度为n＊a的势垒和让粒子依次透射n个宽度均为a的势垒）.那么在这两种方式下透射系数有怎样的差别呢？

2 问题的分析

对于以上两种方式下势垒贯穿透射系数的研究用常规的解析方法比较复杂，且随着透射重数n的增加计算的复杂程度会很明显地加大，这就使得到的结果会出现明显的偏差，不方便对最后结果的比较，为此我们采用Matlab来模拟.

从Matlab模拟出的透射图形中可以通过直观地对比得出单重势垒贯穿和多重势垒贯穿的规律.

由势垒透射系数D的公式[1]：

可知：（1）当E＞U时，若满足k2a＝nπ，则D＝1，此时入射波完全透射，称为共振透射.（2）透射波的振幅在势垒中的衰减并不是线性的，即透射波振幅随势垒宽度的增大呈非线性关系，由此容易看出直接透射和n重透射的透射系数一般情况下并不相同，用数学解析的方法很难比较两种透射方式的透射系数，而用 Matlab则很容易解决.

3 原理与实现

我们知道，在研究势垒贯穿透射系数时，粒子能量与势垒高度的关系可分为以下两种情况：

（1）粒子能量高于势垒高度

先设定入射波函数的振幅为1，此时的透射系数等于透射波振幅｜C｜2.反射波振幅为A，透射波振幅为C，则A和C满足以下关系式

通过键盘输入，在程序中可设定为m＝5.因为下面对于m值的应用都体现在k值上，而k又是与x（x为水平坐标）以积的形式出现，若假定粒子为电子，且其能量以eV形式表述，则k值约为10的9次幂，而在程序中的x是以nm为单位的，刚好产生一个10的-9次幂.ka量纲之积在转化为国际单位制时前面系数刚好为1.

（2）粒子能量低于势垒高度

反射波的振幅C满足以下方程

由透射振幅易知：透射系数随势垒的加宽或加高而急剧减小.

4 程序设计

（1）设置手动输入量：

e＝input（'请输入粒子能量（E／U0）＝'）；

a＝input（'单个势垒宽度（＊10^-9）＝'）；

n＝input（'势垒的重数n＝'）；

（2）当粒子能量等于势垒高度时，则利用语句if e＝1e＝1-eps；

将其转化为粒子能量低于势垒高度的情况进行计算.

（3）利用式（1），式（2），式（3）运算得出经过宽度为n＊a的单个势垒时的透射波振幅C1和n个宽度为a的势垒时的透射波振幅C2.

5 模拟结果

1）粒子能量大于势垒高度的情况

（1）由透射系数的表达式很容易看出：若k2a＝nπ时则会出现透射系数为1的情况，即共振透射.运算 Matlab程序：输入e＝E／U＝2，a＝π／5，n＝10时，C1＝C2＝1，即两种情况都出现了共振透射现象.

（2）当k2＊n＊a满足共振透射条件而k2a不满足时，输入e＝2，a＝π／50，n＝10时，C1＝1，C2＝0.9424.输出如图1所示.

图1 输出图像

此时可看出其透射系数就存在着明显的差别：n＊a势垒仍为共振透射，而n重a势垒并不完全透射.

（3）随机输入两组数据e＝3，a＝0.1，n＝20；e＝1.5，a＝1，n＝25时；得出透射波振幅分别为C1＝0.9798，C2＝0.840 03和C1＝0.972 96，C2＝0.549 22.

对于上述粒子能量大于势垒高度的3种情况的结果：在E／U＞1的情况下，宽度为n＊a的势垒的贯穿系数一般较n重宽度为a的势垒的贯穿系数大.

2）粒子能量小于势垒高度的情况

运算 Matlab程序，输入e＝0.5，a＝0.1，n＝10时，得到C1＝0.058 237，C2＝0.542 05.

输入e＝0.5，a＝0.5，n＝10时，得到C1＝4.2045e-8，C2＝1.161 52e-5.

输入e＝0.1，a＝0.1，n＝10时，得到C1＝0.010 451，C2＝0.076 23.

对于上述粒子能量小于势垒高度的几种情况的结果：在E／U＜1的情况下，宽度为n＊a的势垒的贯穿系数一般较n重宽度为a的势垒的贯穿系数小（此时透射系数随势垒的加宽或加高而急剧减小）.

6 结语

一般情况下，宽度为n＊a的势垒贯穿透射系数与n重宽度为a的势垒贯穿透射系数不同：在E／U＞1的情况下，宽度为n＊a的势垒的贯穿系数较n重宽度为a的势垒的贯穿系数大（当两者都满足共振透射条件时相等）；在E／U＜1的情况下，宽度为n＊a的势垒的贯穿系数较n重宽度为a的势垒的贯穿系数小.

[1]周世勋.量子力学教程[M].2版.2012：36-38.

[2]周群益，候兆阳，刘让苏.Matlab可视化大学物理学[M].2011：501-506.