超稳球形光学腔的设计

廖洪清 陈 豪 刘贵文 曹云玖

（上海工程技术大学基础教学学院，上海 201620）

超稳腔在科学研究和实际工程中都有广泛应用，例如稳频激光器[1]、标准光学频率的测量[2]、重力波检测[3]和基本物理量的测量[4].每个腔都有相应的共振频率，该频率由光程决定，腔长不变化光程也就确定了，通常光学腔的腔体是用低热膨胀的材料制成，外界的振动、温度以及压力等因素都会引起腔体的形变，使得腔镜之间的光程发生改变，腔的共振频率也就发生改变[5].由腔长变化与频率变化的关系可知，式中L是腔长；ΔL是腔长变化量，ν是腔的共振中心频率；Δν是腔长变化引起的频率漂移，波长为1064nm的激光频率，要使得中心频率漂移小于10MHz，腔长变化率至少要达到10-7.球形光学腔具有高度对称性以及方便的移动性能，得到广泛的应用.通过有限元数值分析模拟的方法对光学腔进行模拟使其光程对振动不敏感，可以得到稳定的频率输出.这样不仅可以弥补振动隔离系统技术上的困难，而且能够有效地降低成本.文章采用有限元数值模拟的方法，对球形腔由于重力等因素引起的弹性形变进行分析，优化腔体的支撑位置，补偿由于外界环境引起的光程差，使得光程变化达到最小.

1 有限元理论方法

当弹性物体受到作用发生形变，物体上的任意两点A（x，y，z）和B位置随之发生改变，用A′（x′，y′，z′）和B′表示，如图1所示.物体上任意一点在形变前后的形变位移可以用形变前后的坐标相减得到.例如x与x′分别表示物体上A点形变前后x轴的坐标，x轴方向上位移大小可表示为Δx＝x′-x，同理y轴方向位移大小表示为Δy＝y′-y，z轴方向位移大小表示为Δz＝z′-z.通过分析形变前后位移变化能够得到物体受到作用后的形变大小.

图1 物体弹性形变图

光学腔体在外界作用下发生形变，可看成弹性物体处理.通常外界的作用主要是振动的影响，在振动影响分析中，主要分析较低频率振动的作用，因为高频振动可通过常见的隔振装置来消除，而低频振动很困难.当外加的振动频率远低于腔的共振频率时，这个作用可以等效看成一个静力施加在腔体上，这样就可以把复杂的动态分析简化成简单的静态分析，振动引起的加速度可以用作用在腔体上的重力加速度等效替代[6].为了探测球形腔形变对光程差的影响，在两边的腔镜上取过腔镜中心且互相垂直的两条直径，并分别在直径上取关于中心对称的点作为探测点，通过探测点之间的位移可以描述腔体的光程变化.

2 球形腔的结构

球形腔结构示意图如图2所示，腔体半径为10cm，通光孔半径1.5cm，腔长19.596cm，镜片半径2cm.在镜片上选取直径线1、2和直径线3、4，在每条线上对称地选取5个点作为探测点，对应探测点之间距离变化，即为形变前后的光程差.为了尽量减小温度的影响，腔体通常用低膨胀材料制成.本文球形腔体采用超低膨胀玻璃材料（ule）材料，密度ρ＝2.21×103kg／m3，杨氏模量E＝6.67×1010N／m2，泊松比ν＝0.17.

图2 球形腔的结构示意图

3 数值模拟分析

对于球形腔，有多种支撑方式，此处采用水平支撑方式，即在腔体下方开一凹槽，以此作为支撑面.两凹槽处于同一水平位置，关于xOy面对称，通过调节凹槽的位置来弥补振动造成的光程变化.取凹槽宽1cm，水平方向上凹槽内侧距球心为z，如图3（a）所示，图3（b）为z＝2cm的腔体在竖直向下的方向加上大小为9.8m／s2的加速度下的变形图.

凹槽宽度不变，取1cm，改变凹槽位置z，经过有限元模拟计算，光程变化量与支撑位置有关.当腔体受到外界环境影响时，探测点会发生相应的位移，导致光程L也发生变化，ΔL＝z1-z2（z1为z轴正半轴处镜面中心处z坐标，z2为z轴负半轴处镜面中心处z坐标）.通过模拟不同支撑位置处探测点的位移，得到相应的ΔL，如图4所示.从图4看出，随z的变化，ΔL也发生相应变化.由此可见，通过改变腔的支撑位置，能够改变球形腔对振动敏感的敏感度.对于本文所采用的球形腔来说，在z＝7cm左右时光程变化达到最小，即此时该腔体对振动的敏感度最低.

图3 球形腔支撑方式

图4 不同支撑位置处光程变化

为了研究其形变规律，取z＝6cm、z＝7cm、z＝8cm时的模拟结果作探测点位移图，如图5所示.其中（a）图为水平x轴方向探测点位移图，（b）图为竖直y轴方向探测点位移图.

图5 探测点位移图

由图5可以看到，两腔镜水平方向（x轴）与竖直方向（y轴）的平行度随支撑位置z变化而变化.图5（a）反映了支撑位置变化，x轴方向上对应探测点位移随支撑位置变化关系，可以看到，当z增大时，水平x轴方向各对应探测点位移改变.因为x轴方向腔体结构和所受y方向上施加的作用是关于y轴两边对称的，所以腔镜x轴方向上两边关于y轴对称的各组探测点的形变量是相等的，所以两腔镜在x轴方向平行度基本没有变化，但是腔镜中心点光程会随位置变化，在支撑位置z＝7cm时光程变化量最小，支撑位置增大和减小光程变化量都增加.图5（b）反映了随着支撑位置变化，腔镜y轴方向上对应探测点位移随支撑位置变化关系，当z＝6cm时，两腔镜在竖直方向呈现上凹下凸形状，当z＝8cm时，竖直方向两腔镜呈现下凹上凸形状，当z＝7cm时，两镜在竖直方向基本保持平行.因此，考虑两腔镜之间光程改变以及平行度的变化，当z＝7cm时，其光程变化量最小且平行度良好，所以z＝7cm为该种腔体的实际最优支撑位置.在z＝7cm时，单位加速度下光程变化量为ΔL＝14.527×10-8m，腔长变化率ΔL／L为7.413×10-7.

4 结语

本文利用有限元的方法，对水平支撑球形腔进行了模拟研究，对该水平支撑方式的支撑位置进行优化选取，可以使得球形腔在外界振动下两端腔镜保持平行且光程变化趋于最小，使得球形腔的光程对振动不敏感.该方法可用于高稳腔的设计，以此减小环境振动变化对腔体的影响.

[1]Young B C，Cruz F C，Itano W M，et al.Visible lasers with subhertz linewidths[J].Phys.Rev.Lett.1999（82）：3799-3802.

[2]Oskay W H，Diddams S A，Donley E A，et al.Single-atom optical clock with high accuracy[J].Phys.Rev.Lett.2006（97）：020801.

[3]Willke B，Danzmann K，Frede M，et al.Stabilized lasers for advanced gravitational wave detectors[J].Class.Quantum Grav.2008（25）：114040.

[4]Rosenband T，Hume D B，Schmidt P O，et al.Frequency ratio of Al＋and Hg＋ single-ion optical clocks；metrology at the 17th decimal place[J].Science，2008（319）：1808-1812.

[5]刘敏，崔小虹，钱进.利用稳频激光稳定F-P腔腔长的研究[J].光学技术，2010，36（3）：361-364.

[6]曹云玖，季涛，刘烨，等.环形腔振动敏感度的研究[J].光学技术，2012，38（3）：332-335.