8课时讲完几何光学

沈为民 郎婷婷 张 艳 沈常宇 李晨霞

（中国计量学院光学与电子科技学院，浙江杭州 310018）

8课时讲完几何光学

沈为民 郎婷婷 张 艳 沈常宇 李晨霞

（中国计量学院光学与电子科技学院，浙江杭州 310018）

为了彻底改变传统的几何光学教学方法，笔者借助计算机辅助教学手段对多媒体课件、课堂讲授、课外作业、网上辅导等教学环节进行精心设计，在8课时之内让学生掌握成像系统的初步设计方法，既能计算物像关系，又能初步判断成像质量．学生的学习手段与方法有较大改变，学习工具从以纸笔为主变为以电脑为主，课外作业从以公式推导为主变为以电脑操作设计为主，学生的学习效率、知识应用能力大大提高．

几何光学；计算机辅助教学；多媒休课件；微课

近年来，国家推出了卓越工程师计划、工程教育专业论证等措施，以期提高本科毕业生的工程实践能力．在强调实践教学的背景下，理论课学时不断被压缩．例如，电子科学与技术专业的“工程光学”简化为“物理光学”［1］，光学成像理论就不讲了．然而，在光电子技术领域光学成像是很重要的，在相关工程中常需要考虑光学成像问题；但现在受总学时限制，又不可能安排太多的学时讲光学成像，目前我们只安排了8个学时．按传统的教学方法，8学时最多讲授理想光学系统的物像关系，不可能再讲成像质量问题．而实际应用中，不知道成像质量的光学系统是没有实用价值的．所以，我们的教学目标确定为在8学时之内让学生掌握成像系统的初步设计方法，既能计算物像关系，又能初步判断成像质量．

1 以共轴球面系统成像规律为主线重组知识体系

要提高学生的学习效率，必须改变仅以纸、笔为工具的学习方式，更多用计算机为工具进行学习．因此，应当根据计算机应用的特点做好教学设计．

1.1 以可数值求解的问题为核心构建知识单元

计算机容易算出数值结果，而实际应用中最终需要的也是一些数据．将几何光学教学内容分解成若干个典型问题：单球面问题、多球面问题、理想成像问题、光阑问题、像差问题等，这些问题形成完整的知识链，循序渐进，而每个问题又都是单独可解，可计算出数值结果．

例如，单球面问题涉及球面参数（球面曲率半径r、球面两侧折射率n和n′）、入射光线参数（物方截距L、物方孔径角U）、出射光线参数（像方截距L′和像方孔径角U′）以及入射角I和折射角I′，这9个量借助图1表示的几何关系可导出4个

基本公式［2］：

上面4个公式涉及9个量，一般已知其中5个量即可求出其余4个量，而已知量和未知量可以有许许多多不同的组合．不同的组合就构成不同的求解问题，相应地公式就转换成多种不同的形式．根据式（1）～式（4），由入射光线参数（L、U）可计算出出射光线参数（L′和U′）．反之，也可由（L′和U′）计算（L和U）：先由式（4）求得sinI′＝，再由式（2）和式（3）改写为sinI＝和U＝U′＋I′－I，最后由式（1）得L＝．这相当于在式（1）至式（4）中将物方量与像方量互换，即L⇔L′、U⇔U′、I⇔I′、n⇔n′．类似这样的公式推导、变换、简化、说明等是当前教与学的主要内容．但是，在基于数值计算的计算机辅助教学中，不一定需要用公式的形式将未知量用已知量表示出来，也可以用数值搜索等办法找到满足一定精度要求的待求变量的值．对于搞理论研究的人来说，没有得到对问题解的直接公式是不完美的，而对于搞工程应用的人来说，需要的是实际可用的数据，公式等只不过是获得数据的工具．

由式（1）～式（4）可知，不同的U对应的L′是不同的，但画出L′与U的关系曲线，可以发现在U＝0附近L′变化很小，此L′记作l′，称为理想像距，此时图1中相应的A′点就是理想像点．在式（1）至式（4）中角度量用sinx≈x近似，可导出此式为理想成像公式．理想成像公式大大简化了计算，特别是对多个球面构成的复杂成像系统，不仅可以大幅度减少计算量，而且能引入基点（主点、焦点）和基面（过主点并与光轴垂直的平面）来描写系统的成像特性．用基点和基面表示的理想成像系统（称之为光组）具有线性组合的特点，即任意两个光组的组合可简化为一个光组．而两个实际球面的成像是不能简化为一个球面的．所以，常规的几何光学教学中是以理想成像为教学重点的，讲解的知识结构如图2所示．

对于多个球面组成的复杂成像系统，每个球面的成像关系都是类似的，只要将数据整理有序，则大量计算就变成一些重复性过程，而重复性工作最适合计算机做．所以在计算机辅助教学中单球面作为成像基本单元，式（1）～式（4）反复被应用，而光组及理想成像公式是辅助工具，讲解的知识结构如图3所示．

1.2 8课时任务分配

8课时分为4讲，每讲两课时．第一讲讲单球面成像，内容有：物与像的基本概念、符号规则、光路计算公式、应用软件进行计算与画图及制作动画的方法、物像反转与光路可逆性、单球面的球差与色差；第二讲讲多球面成像与理想成像，内容

有：各球面成像时的过渡公式、球面参数的排列方式与界面设计、理想像点与理想光线、基点和基面、高斯公式、两光组的组合、透镜；第三讲讲光阑与像差，内容有：孔径光阑、视场光阑、渐晕光阑、像差的基本概念、球差、色差、慧差、场曲、畸变；第四讲是典型光学系统简介，内容有：人眼的光学模型、放大镜、显微镜、望远镜．

从上面列举的讲课内容看，与传统的几何光学教学没有大的区别，但实际讲课的重点与方法有很大的不同——从重视对像的描述转变为重视对光线的描述．常规的几何光学教学中较多关注中间像的特征如像的位置、大小、虚实等，我们则更多关注光线的轨迹（如光线的投射点、方向偏转关系等），画出从最初的物到最后的像之间的光线，而中间像并不重要，重要的是成像光束受到的限制．说到底“像”是由“光线”形成的，光线的特征决定了像的特征．“实际像”是由实际的光线形成的，在共轴球面系统中，光线依次在各球面转折，变换关系由式（1）～式（4）决定．光线在小角度范围所成的完善像对应于“理想像”，但我们常常在大角度范围讨论成像问题，所以应该引入“理想光线”的概念，它能用于任意角度范围的讨论（图4）．

单球面折射理想光线满足：

（1）光线在通过球面顶点并垂直于光轴的平面上折射；

（2）折射关系：l tanu＝l′tanu′，其中l为轴上物点的物距，l′为理想成像公式l′＝确定的像距．

上述理想光线的定义虽然只涉及轴上物点，但同样能用于轴外物点：由轴外物点引一光线与光轴相交，此交点可看作轴上物点，故可求出对应的折射光线，并且可以证明，同一轴外物点引出的不同理想光线，在像方交于同一点．因此，无论对轴上点还是轴外点，理想光线的成像过程严格遵循点物成点像，与光线角度无关．理想成像时的物像关系、基点、基面、光阑对成像光束的限制等都应该用理想光线来画图，目前教材中的孔径、视场、渐晕系数的计算也只适用于理想光线．最重要的是，追踪实际光线与理想光线的轨迹，很容易理解各种像差，使学生掌握像差概念和像差计算更加简单．

2 “以学为主”设计解决方案

教学改革的方向之一是“以教为主向以学为主转变”．上课学时大幅减少但学习内容减少不多，教师应更多从“学”的角度设计问题的解决方案．

2.1 选择较简单的应用软件

要让学生学得轻松，应当选用学生学过的软件工具来计算和画图，如许多学校必修的程序设计课程用Matlab或VB，这都是合适的软件工具．本专业和其他工科专业一样，为方便与硬件打交道选择C语言程序设计为必修内容，但C语言用于画图、做动画等很不方便．Excel是微软公司Office办公软件的一个组件，可以用来制作电子表格，完成许多复杂的数据运算及分析，具有强大的图表功能，也能用来制作动画等多媒体课件．Office软件是最常用的软件，学生比较熟悉，所以我们选择Excel用于辅助教学，其方法也具有较强的适用性．

Excel也可用来做动画，实际上Excel是根据表格数据画曲线或图形，当表格中的参数连续变化时图形跟着变化，就形成了动画．所以，Excel文档也可用于多媒体教学．设置数值调节钮来改变参量的取值是比较方便的办法，例如表1中就用两个数值调节钮分别调节L和U的取值，每次点击调节钮引起的变化量可自行设置，表中长度量的单位是mm，角度量的单位是ral．

数值调节钮在做动画或数值搜索法求解中都很有用，其做法很简单：在“视图”菜单上，指向“工具栏”，再单击“控件工具箱”；出现“控件工具箱”后，单击数值调节钮的图标，再在页面中适当的位置上画出；在“控件工具箱”中，单击“属性”图标，设置Max＝2，Min＝0，Value＝1；双击“控件”会自动跳出代码窗口，在自动生成的“Private Sub SpinButton1＿Change（）”和“End Sub”之间插入两行代码，Range（"D10"）＝Range（"D10"）＋Range（"C10"）＊（SpinButton1．Value－1）和SpinButton1．Value＝1．这里假设"D10"单元格存放变量（如物距L），而"C10"单元格存放每次变化的步长．

2.2 制作教、学、用三位一体课件

在高校多媒体教学已是课堂教学的主要形式，但教学效果很不理想．特别是对理工科学生，专业理论包含大量的数学，需要许多定量分析，但目前多媒体课件制作时，往往过分追求多媒体课件的外观，在图形、色彩、声音、动画等方面化上很多精力，而在结合数学问题的处理方面用心不够，结果是课件华而不实，对学生的分析计算没有太多的帮助．

以Excel文档为基础的教学课件，虽然多媒体形式不够丰富多彩，但能够以定量的方式分析问题、解决问题．每一类典型问题至少给学生一个示例文档，它对应于此问题的一种解决方案，学生能用它预习、复习、做作业等．教师上课时的多媒体素材也是来源于示例文档，或者是示例文档的升级版．

例如，一个物点实际的像是一个弥散斑，移动观察屏则像斑的大小会变化，实验观察时需要将观察屏置于像斑最小的位置．下面做一个动画来演示调节的过程．

第一步，在Excel工作表中由式（1）～式（4）计算不同入射角度的光线的轨迹参数，每个角度计算的物理量排成一列，由于各列的计算公式是相同的，故在一列输完公式后其他列可复制完成，在Excel中只需拉动一下鼠标即可完成复制．

第二步，根据计算的光线参数画出各条光线，如图5所示．由于折射面对称于光轴，对于轴上点A发出的任一条光线，可以表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线的光路，显然这些光线在像方应交光轴于同一点，而在观察屏上形成一个圆，如图6所示．

第三步，设置一个数值调节钮调节观察屏位置，改变代表观察屏坐标的单元格的数值，则观察屏会向左或向右移动．图5或图6（a）中观察屏处在U＝0的像点位置，观察屏向角度较大光线与光轴交点的位置移动时，大角度对应的圆半径减小而小角度对应的圆半径增大，整个弥散斑的半径会减小．弥散斑有一个最小位置，如图6（b）所示．

在动画演示时，只要鼠标点住数值调节钮的右端或左端，观察屏就会向右或向左移动，代表不同角度光线的圆就会相应变大或缩小．当然，这种动画与实验时拍摄的视频录像是不同的，说不上逼真，但学生能够理解，重要的是它来源于理论计算，将理论和实验关联起来．

几何光学中许多难理解的概念及相关计算，如光阑问题、像差问题，学生都可以通过演示动画及相应的课件来掌握，学生课后在此课件文档基础上适当修改，能完成相关问题的分析计算．

3 “学用结合”布置实验作业

我们将基于计算机应用程序完成的作业称之为“实验作业”，学生完成实验作业需要有一定的操作（计算机操作）和设计，与做实验相似．实验作业的内容通常以手写形式难以表达，主要有数据表格、曲线、图形、动画等．这种实验作业与教师上课时所用课件是紧密相关的，可让学生进一步体会教师的教学意图，消化课堂内容．

3.1 实验作业的设计

我们是按问题为核心来组织教学的，每类问题涉及一组物理量，这些量中有的作为已知量，有的作为未知量，但已知量和未知量可以有多种安排，示例文档只是对某种安排有一个解法，其他情况可以作为作业留给学生解决．即使同样的已知量和未知量的安排，也可以设计出不同的实验作业，例如由入射光线参数L、U求出射光线参数L′、U′，可以只算若干个典型数值，也可以画出若干条曲线，或者设想有一观察屏，画出一定入射光束时观察屏上的光斑形状，甚至制作一个动画演示观察屏移动时光斑形状的变化．

编制实验作业是一项费时费力的工作，因为没有可参考的资料，且结果常常与预想的不一致，需要反复调整才能编制出合适的题目．实验作业有一定的综合性，涉及界面设计、动作设计、算法设计，还有少量的代码要编写，也可能有少量的公式推导以及必要的文字解释，等等．另外，需要按因材施教的原则设计实验作业，作业难度与学生水平相适应．而难度的控制也可以通过示例文档的设计来实现，示例文档越简略则学生能参考、模仿的内容就越少，做作业的难度就增加．

例如，单球面问题的示例文档就是画图1的Excel文档．物方截距L和物方孔径角U作为输入变量（有数值调节钮，如表1所示），像方截距L′和像方孔径角U′作为输出变量，而球面参数作为设定参数，入射角和折射角作为计算参数．动画演示是L、U变化引起L′和U′变化．布置给学生的作业有多种变化，如：（1）画不同孔径角的多条光线；（2）同时画理想像点与实际像点；（3）搜索法求解球面参数；（4）由像求物；（5）计算球差曲线；（6）计算色差曲线；（7）反射问题；（8）用光线投射高度表示入射光线；（9）轴外点光线轨迹；（10）球面参量转为变量的设计（新的数值调节钮）；（11）模拟观察屏移动弥散斑的变化；（12）光斑亮度分布等．将作业编成不同的序号，学生要完成的必做题是指定的（学号尾数与作业序号有对应关系），若指定题做不出来可做备选题（备选题是最简单的一道作业题）．每道题对应的学生数不多（少于10人），结合学生提交作业的时间顺序，可以判断谁是原创、谁是模仿、谁是抄袭，准确评定作业成绩．每道作业都有一个评分表，记录学生完成情况，学生的作业文档和评分表可以作为存档材料，方便教学检查．

实验作业是教学改革的关键，精心构思的实验作业不仅与教学内容密切相关，而且能够拓宽学生的思路，提高分析问题解决问题的能力．通过学生完成的实验作业，教师能够及时了解学生学习的真实情况（实验作业是电子文档形式，完成后即可提交，并有时间记录），不仅很好检验了教学效果，也为“以结果评价为主向结果与过程评价结合转变”创造了条件．

3.2 作业课外辅导

学生常常认为听懂了、理解了，但一做作业又不会了，这时就需要有合适的课外辅导．微课录像是学习指导的新形式，用10分钟左右的时间讲解1个知识点，1种工具应用，1种解题技巧，1种实验设计，等等．教学改革的重要方向是以教为主向以学为主转变、以课堂教学为主向课内外相结合转变，“微课”将在这种转变中起重要作用．

我们的示例文档都是用Excel编写的．学生对Excel有一定的了解，但用来画图形、做动画、解方程等不熟悉，课堂上没有时间讲计算机应用方面的问题，只能课外辅导．所以，每个示例文档至少配一个微课录像，不仅让学生知道示例文档如何使用，而且还知道它是如何做出来的，掌握一些设计技巧，消除神秘感，增加学习兴趣．另外，学生学习中还可能遇到各种问题，如果问题具有普遍性，则也可用微课录像来辅导．

4 结语

常规几何光学教学方法主要用公式来讨论物像关系以及像的特点，教材中有编号的公式就有数百个．这是因为几何光学涉及许多烦琐的计算，为了适应各种情况简化计算的需要引入了许多公式，但这些公式本身没有太多的物理意义．采用计算机辅助教学，电脑计算速度很快，不必在简化公式方面花太多时间．教学中也主要用图形和动画说明问题，所以用到的公式数大大减少，学生只需要关注最基本的公式．学生学习方式有较大改变：纸笔用得少了，电脑用得多了；听课时间少了，练习时间多了；推导公式少了，动手操作多了．

用8课时讲完几何光学，每周课时数不能太多，最好每周两课时，让学生有充分的练习时间，也有利于教师根据学生的做作业的情况调整教学策略．当然，如果有更多课时则更好，毕竟教学内容很多，学生消化不容易．适当增加课时，可以有更多的课堂讨论，可以举更多实际例子，这样学生的理解会更透彻．

［1］ 教育部电子科学与技术教指委分委．电子科学与技术专业教学规范［Z］．2010．

［2］ 郁道银，谈恒英．工程光学［M］．北京：机械工业出版社，2009：5－13．

TEACH GEOMETRICAL OPTICS IN 8LESSONS

Shen Weimin Lang Tingting Zhang Yan Shen Changyu Li Chenxia
（College of Optical ＆Electronic Science and Technology，China Jiliang University，Hangzhou，Zhejiang 310018）

In this paper，the teaching reform of geometrical optics is introduced．By employing the computer assistant instruction to elaborately create and design multimedia courseware，classroom teaching，homework and on－line study，an innovative 8lessons teaching of geometrical optics is proposed to revamp the traditional way．Within 8lessons，students are able to master the preliminary design procedure of imaging systems．They can not only calculate the mathematical relationship between objects and images，but also judge the quality of imaging．The learning technique of students is greatly changed．Pens are replaced by computers as learning tools while formula derivation is replaced by computer programming as homework．The learning efficiency and knowledge application skill are both improved．

geometrical optics；computer assistant instruction；multimedia courseware；mic－rolecture

2015－01－23

浙江省高等教育教学改革项目（jg2013071）．

沈为民，男，教授，主要从事光学与光电子技术的教学与研究．swm＠cjlu．edu．cn