相位凝固技术中干涉信号调制解调误差分析

张晓青，贾豫东，曹文娟

(1.北京信息科技大学仪器科学与光电工程学院测控技术与仪器系，北京100192;2.北京信息科技大学现代测控技术教育部重点实验室，北京100192)

引 言

激光反馈干涉是近年来兴起的一项精密测量技术，主要由一支内封装光电探测器的激光器和一个外部反射物构成简单的测量光路，适用于运动物体参量的测量，例如速度［1］、振动［2］以及位移［3-14］等，其中关于微位移测量系统的报道居多。

在激光反馈干涉测量微位移的系统中，测量分辨率和方向辨识是限制其发展的重要瓶颈。目前，提高测量精度采用的方法主要有:干涉条纹细分法［5-6］;快速傅里叶变换方法解调干涉信号［7-8］;采用外腔相位调制与傅里叶分析的方法［9-10］。在方向辨识方面，适度光反馈水平下的激光反馈干涉信号是非对称类锯齿波，倾斜方向敏感于外部反射物体的运动方向，为位移的方向辨识提供了新的途径［11］。

本文中基于相位凝固技术对干涉信号进行调制解调［12-13］，在提高位移测量分辨率的同时对外部物体的运动方向进行辨识，并分别对移相间隔、外腔反射面振动幅度［14］、重构拟合方法对微位移测量精度的影响进行了分析和处理，减小了系统测量误差。

1 测量系统及原理

相位凝固激光反馈干涉系统主要包括:集成光电二极管(photo diode，PD)的二极管激光器(laser diode，LD)及其驱动电路、电光相位调制器、准直透镜、外部反射物体、干涉信号调理电路、信号解调模块、微位移信号重构模块等，总体结构如图1所示。采用信号发生器在LD腔外的电光相位调制器上加载高频正弦信号，对激光进行两路相位调制，形成固定相位差，该两路相位差信号再次被外部物体微运动反射面调制，一部分光返回激光腔内与腔内光相互作用，形成干涉信号输出，探测器PD探测到的干涉信号经信号调理电路后导入到计算机中，编制计算机程序对干涉信号相同相位的点进行同步采样，可以分别得到多组具有固定调制相位的光功率信号，再由重构算法得到外部物体微位移曲线，实现微位移测量。

Fig.1 Configuration of laser feedback interferometer system based on phase freezing technique

干涉信号相位凝固解调的处理过程包括以下步骤:探测干涉信号→去噪→相位凝固采样→光功率信号整形→采集过零特征点→判向→构建台阶函数→重建微位移曲线。

设适度光反馈水平下光电探测器接收到的干涉光强［12-13］为:

式中，μ为反馈强度系数，ν为激光频率，L为激光器出射面到达被测物表面的距离，I0为激光器的出射光强，c为光速。设激光腔外总相位为Φ，则:

另设Φm为激光经过相位调制器产生的附加相位，Φr为外腔反射面运动光程差ΔL对应的相位，则有:

对于Φm，可利用相位调制器产生两路相位差为π/2的调制相位，即:

那么，在干涉信号中会有两个光功率数据点与外腔反射面某一位置相对应。随着外部反射面的位置改变，探测器可得到一个包含两组光功率信号的干涉信号。采用相位凝固技术同步采样将两组光功率信号P1和 P2分离，其中，P1对应调制相位 Φm，1，P2对应调制相位Φm，2。在P1和P2中寻找两个相同的光功率点，分别对应时刻t1和t2，它们的腔外总相位应该相同，即:

将(4)式带入，可得:

根据前面Φr的定义可知:

因此，在［t1，t2］时间内被测反射面光程差(位移)为:

实际上，此ΔL即为移相间隔为π/2时重构位移的分辨率R。利用相位凝固技术，若移相间隔进一步减小，则测量分辨率会进一步提高，所得重构误差会进一步减小。

2 测量误差分析

2．1 移相间隔误差分析

若 Φm，1- Φm，2= π/2，可重构得到分辨率为 λ/8的被测物体位移，依次类推，若 Φm，1- Φm，2= π/5，可重构得到分辨率为λ/20的被测物体位移。移相间隔、调制电压、采样时间点及分辨率的关系如表1所示，其中，Vπ是调制器半波电压，fm是调制频率，fs是采样频率。

根据表1中移相间隔与采样点的关系，对被测物位移进行重构，得到的是台阶位移曲线，与被测物实际位移曲线相比，台阶位移曲线存在明显的测量误差。随着分辨率的提高，台阶位移曲线与实际位移曲线的误差减小，如图2所示。

由图2和表2可以得出结论:移相间隔越小，则采

Fig.2 Reconstruction step displacements and error curves of different resolutions

设重构微位移信号为y1(见图2中的台阶曲线)，被测物的实际位移信号为y2(见图2中的平滑曲线)，则重构位移与被测物实际位移之间的绝对误差为e=，绝对误差最大值为emax(见图2中的a点);重构位移与被测物实际位移之间的峰峰值误差为ep，1=(见 图 2 中 的 b 点)，ep，2=(见图2中的c点)，则峰峰值误差的平均值为 ep=(ep，1+ep，2)/2，不同分辨率情况下的测量误差如表2所示。样次数越多，得到的重构目标物体微位移的分辨率就越小，相应地重构位移与被测物实际位移之间的绝对误差、峰峰值误差也就越小。

Table 1 Relations among intervals of phase shifts ΔΦ，resolutions R，modulating voltages V and sampling numbers n

Table 2 Measurement errors of different resolutions

2．2 外腔反射面振动幅度的选择误差分析

外腔反射面振动幅度的不同使重构位移的误差大小有所不同。在分辨率为λ/16的情况下，设外腔反射面振动幅度为d0，不同外腔反射面振动幅度所得的重构位移和误差曲线如图3所示，其中，台阶曲线为重构位移，平滑曲线为实际位移，a点绝对误差最大值为emax，b 点峰峰值误差为 ep，1，c 点峰峰值误差为 ep，2，则峰峰值误差的平均值为 ep=(ep，1+ep，2)/2。

不同振动幅度情况下所得的误差如表3所示。由表3可知，外腔反射面振动幅度越大，得到的重构位移与被测物实际位移之间的绝对误差最大值越大，二者之间的峰峰值误差越大。这主要是因为在调制干涉信号的过程当中外腔长度在变化，也就是说外腔反射面振动幅度越大，在同样的采样时间内，外腔长度变化的就越多，导致误差越大。为方便观察输出信号条纹，本实验中选择外腔反射面振动幅度为1550nm。

Table 3 Measurement errors of different vibrating amplitudes

Fig.3 Reconstruction step displacements and error curves of different vibrating amplitudes

2．3 拟合方法误差分析

重构位移信号为台阶曲线，它与外腔反射面实际位移之间有一定的误差，当选定外腔反射面的振动频率为f0=10Hz，外腔反射面的振动幅度为d0=1550nm时，对干涉信号5次采样，并得到重构位移与被测物实际位移之间的误差曲线，如图2h所示，重构位移与被测物实际位移之间绝对误差最大值为91.13nm，两个峰峰值误差均为0.0074nm。为了减小重构位移与被测物实际位移之间的误差，可采用拟合的方法对重构位移进行处理。

2.3.1 1阶线性插值拟合误差分析 为了进一步减小位移测量误差，选取台阶函数的折点作为特征点，使用MATLAB中的interp函数进行1阶线性插值，得到重构位移曲线2，如图4所示。曲线2与图4中的被测物实际位移曲线1很接近，二者的误差曲线如图5中的曲线2所示，未进行1阶线性插值所得的误差曲线即为图5中的折线曲线1。可以看出，1阶线性插值后的误差曲线有了一定程度的减小。

Fig.4 Actual displacement curve and reconstruction displacement curve based on the first-order linear interpolation

Fig.5 Error curves before and after the first-order linear interpolation

由图5可知，经1维线性插值拟合后的重构位移与被测物实际位移之间的绝对误差最大值为62.11nm(见图5 中 a 点)，b点峰峰值误差 ep，1=48.12nm，c点峰峰值误差ep，2=29.11nm，峰峰值误差平均值 ep=38.615nm。拟合后绝对误差最大值较未拟合情况变小，因此，1维线性插值拟合方法可以有效地减小重构位移与被测物实际位移之间的绝对误差;但因为选择重构位移曲线的折点作为拟合时的特征点，使得二者之间的峰峰值误差明显增加。

2.3.2 多项式拟合误差分析 为了进一步减小信号解调及重构所得的台阶曲线与被测物实际位移曲线之间的误差，对台阶曲线进行多项式拟合逼近，得到多项式重构位移曲线2(即图6中的实线曲线2)。可以看出，曲线2与被测物实际位移曲线1(即图6中的虚线曲线1)重合度较好，二者的误差曲线如图7的光滑曲线2所示，相比未进行多项式拟合所得的误差曲线1(即图7中的折线误差曲线1)，误差明显减小了。

Fig.6 Reconstruction displacement after polynomial fit and actual displacements

Fig.7 Error curves before and after polynomial fit

由图7所示可知，多项式拟合后的重构位移与被测物实际位移之间的绝对误差最大值为47.98nm(见图7中 a点)，b点峰峰值误差 ep，1=0.0019nm，c点峰峰值误差 ep，2=1.1760nm，峰峰值误差平均值 ep=0.5889nm。多项式拟合后绝对误差最大值较未拟合和1维线性插值拟合情况都变小，峰峰值误差也都减小了，因此，采用多项式拟合方法可以有效地减小重构位移与被测物实际位移之间的绝对误差。

3 结论

分析了激光反馈干涉系统采用相位凝固技术测量微位移的主要误差来源，包括移相间隔、外腔反射面振动幅度以及重构位移的拟合方法等。分析得出:减小移相间隔并增加采样次数使重构位移分辨率减小;适当减小外腔反射面振动幅度使测量的绝对误差和峰峰值误差减小;采用多项式拟合重构位移曲线较未拟合或1维线性插值拟合进一步减小了测量误差。系统实验表明了相位凝固技术在激光反馈干涉测量中能够实现准确判向，设置移相间隔灵活简便，配合多项式拟合重构位移曲线，有效提高了系统的测量精度。

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