经典试题魅力无穷——以一组中考试题为例

经典试题魅力无穷
——以一组中考试题为例

☉江苏省盐城市郭猛实验学校 刘瑞祥

2011年，中华人民共和国教育部颁布《义务教育数学课程标准》（以下简称《标准（2011年版）》.在新课标的指引下，各地的中考进行了相应的改革，各省市结合新课标推广使用新教材，故2012年至2014年南京中考试题是新课标下的智慧结晶，试题不仅能公平、公正地评价学生，也对学生的长远发展有促进的作用.本文立足于2012年至2014年南京中考试题，总结近三年中考试题特点的同时展望南京2015年中考.

一、近三年中考试题的回望

1.试题类型分析

2012年至2014年的试题题量、题型保持一致，共27题，分选择题、填空题、解答题三种题型，全卷满分120分，考试时间120分钟.选择题6道，填空题10道，解答题11道.考查的知识内容如下表所示：

题号考查内容题型2 0 1 2年2 0 1 3年2 0 1 4年轴对称图形、中心对称图形的识别2科学记数法的表示方式幂的运算幂的运算1负数的识别（绝对值、平方、平方根的意义）有理数的运算选择题3幂的运算无理数的概念、算术平方根的意义及估算无理数的大小相似三角形的性质4估算无理数的大小两圆的位置关系估算无理数的大小5一次函数、反比例函数的运用（交点问题）正比例函数、反比例函数的运用（交点问题）平方根的意义6图形变换、菱形的性质及解直角三角形图形的展开与折叠矩形的性质、点的坐标的表示

7相反数、倒数的意义二次根式的意义相反数、绝对值的意义8二次根式的化简函数自变量的取值范围科学记数法的表示方式9分式方程函数自变量的取值范围1 0众数、极差的意义1 1点与一次函数图像的关系多边形的外角和与补角的性质填空题科学记数法的表示方式反比例函数的性质1 2二次函数图像的平移图形的翻折、菱形的性质图形的旋转、矩形的性质等腰三角形、多边形内角的性质正多边形的性质、等腰三角形的性质1 3平均数与中位数的运用圆的相关性质一元二次方程的实际应用与圆有关的计算1 4锐角三角函数的计算平行四边形、等腰三角形、相似三角形的性质1 5不等式在生活中的应用1 6平移及规律探究二次根式的运算梯形的性质、点的坐标的表示用字母表示数二次函数图像的性质1 7解二元一次方程组代数式的化简解不等式组1 8代数式的化简及解不等式解分式方程代数式的化简、求值解答题1 9 2 0常见统计图的应用全等三角形的判定、旋转及尺规作图全等三角形的性质、正方形的判定三角形中位线的性质、平行四边形、菱形的判定等可能条件下的概率、树状图或列表格求概率、概率的实际应用等可能条件下的概率及树状图、列表格求概率

2 1等可能条件下的概率及树状图、列表格求概率抽样调查的要求、常见统计图的应用抽样调查的要求、常见统计图的应用2 2正方形的判定、等腰梯形、中位线的性质，菱形的判定三角函数的实际应用一元二次方程的实际应用2 3一次函数的实际应用（图像）三角函数的实际应用一次函数的实际应用（图像）2 4切线的性质、扇形面积的计算、解直角三角形及二次函数的最值问题二次函数的应用2 5一次函数的实际应用（图像）一元二次方程的实际应用直线与圆的位置关系、相似三角形、平行四边形的性质操作性问题与方程的结合二次函数的应用2 6 2 7不等式（组）在生活中的应用与圆有关的计算、圆与圆的位置关系圆的相关知识、勾股定理的逆定理（探究问题）相似三角形（新定义下的阅读题）全等三角形的性质及判定

2.试题特点分析

（1）注重能力的考查，凸显知识的灵活应用.

近三年试卷的全卷难度控制在0.7左右，试题中容易题、中等题和较难题的比例控制在7∶2∶1左右，符合全体学生考查的要求.试卷有一定的把关题，具有一定的区分度，每年都有一部分试题凸显知识的灵活应用，能选拔出较优秀的学生.贯彻《标准（2011年版）》对培养目标的要求：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.

例1（2013年江苏中考第16题） 计算的结果是

分析：本题作为填空题的压轴题有一定的难度，考查学生用字母表示数的能力.本题对普通学生而言，易于死算，耗时较长，但对于优秀的学生，能用简便的方法解决此题，让优秀的学生利用更少的时间解决此题，凸显出优秀学生的优势.

（2）注重课本的拓展，重视数学基本活动经验的考查.

《标准（2011年版）》明确指出：“数学在应用方面需要大力加强，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识的形成过程.”中考题很多源于课本、高于课本，考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力、数学创新意识等，这类题型是“用数学”的直接体现，必成为2015年中考数学的热点问题.

例2（2014年江苏中考第27题）【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一条边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E.然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.

（1）如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

图1

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.

（2）如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角.求证：△ABC≌△DEF.

图2

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等.

（3）在△ABC和△DEF中，AC= DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接填写结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF.

分析：本题是学生在三角形全等学习过程中遇到的疑惑的探索，是学生自主学习的延伸，题目解决了教与学过程中教师与学生均“意犹未尽”的问题，即“边边角”能否说明两个三角形全等.此题的设计打破常规，分四个小问呈现，层次分明，综合程度高，探索性强，有较好的区分度，而且答案有开放性，有利于区分不同层次学生的学习水平，题目的考查也符合学生的认知规律，从特殊到一般、从易到难.

（3）注重思维的发展，题目中渗透数学思想.

数学思想是数学的本质、精华所在，初中阶段，常见的有四大思想：数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程的思想、类比和化归思想.教师在平时的数学教学中教给了学生一些数学的思想和本质，但往往学生并不会自己归纳，只会“被学”，不会“去学”，而一份有价值的试卷往往要突出数学的本质，让学生在比较、分析、归纳、类比、抽象中体现数学思想.

例3（2013年江苏中考第27题）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似.例如，如图4，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此，△ABC与△A′B′C′互为顺相似；如图5，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此，△ABC与△A′B′C′互为逆相似.

图3

图4

图5

（1）根据图6、图7、图8满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABG；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ.其中，互为顺相似的是______；互为逆相似的是______.（填写所有符合要求的序号）

图6

图7

图8

图9

（2）如图9，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A、B、C重合）.过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似.请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由.

分析：本题以相似三角形为生长点，题干给予相似中顺相似、逆相似的新定义，融概念辨析、画图、说理为一体，让学生在探索中形成分类的标准，全面展现了新情境下的学习过程，蕴含了转化、分类等基本思想.本题对以往学习过程中积累的方法与经验进行考查，也是对学生继续学习能力的考查，对教学的引导作用明显.

（4）注重数学的应用意识，让题目更现实化.

《标准（2011年版）》特别强调数学背景的“现实化”、“数学化”.倡导能用数学的眼光认识世界，并能运用数学知识和数学方法处理解决周围的实际问题.近些年来中考多次考到数学以生活为背景的考题，逐年呈上升趋势，主要体现在方程与函数、概率统计等内容.

例4（2013年江苏中考第20题） （1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个，这些球除颜色外都相同.求下列事件的概率：

①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；

②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球.

（2）某次考试有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的，如果小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么6道选择题小明全部选择正确的概率是（）.

分析：本题的第（1）问实际上是一个典型的摸球实验，概率比较好求，第（2）问等同于：一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，连续摸球6次，均为红球的概率.若考生在做题的过程中发现第（2）问就是第（1）问的一个变形、延伸，便会快速而正确地解决问题.概率问题在南京以往的中考中主要以单一的形式出现，此题以概率的问题拓展到生活中属于创新，此类问题值得关注.

二、反思与建议

中考，肩负着导向教学和选拔人才的重要功能.在当今教学过程中，普遍存在着重教轻学、重训练轻理解、重知识轻思想、重结果轻过程的现象.这些教学中的不良价值取向都将严重遏制学生的数学发展.所以笔者认为教师要在教学后反思、中考后归纳，要让学生知道，如何去思考和解决一个数学问题，才算得上高效，才对中考有作用.

1.以课本为载体，注重“双基”的训练

纵观近三年的中考题，不难发现，很多考题来源于课本，只是进行了适当的修改，故建议教师在教学的过程中重视课本的教学，要以课本为载体，让学生熟练掌握基本知识、基础技能的同时，逐步提升难度，以保证所有的学生在数学上都有所发展.与此同时，在教学的过程中教师还要与学生一起研究近几年的中考试题，共同归纳出中考的必考题，比如笔者预测南京2015年的必考解答题可以归纳为：“数与代数”部分5道：2道计算，1道一次函数的应用，1道二次函数的应用，1道一元二次方程的实际应用；“图形与几何”部分4道：1道特殊四边形的性质与证明，1道圆的相关知识，1题三角函数的应用，1道几何综合（新定义题型）；“概率与统计”部分2道.这样学生就会形成有针对性的复习策略，在考试中也会胸有成竹.

2.突出课堂的提炼，注重数学思想的生成

心理学研究表明：“教师要重视概括、抽象、归纳和总结.应用同质不同形的各种问题的变式来突出本质特征，加强对不同类型的问题的区分与辨别，提高学生对所学内容的理解水平.通过提供多种变式，促进学生深刻领会和理解，这样掌握的知识才能被牢固地记忆和有效地应用.”故教师在课堂教学的过程中应将相类似的问题进行整合、环环相扣地进行提问，渗透数学思想，发展学生数学的思维，如此才能提高学生的数学能力.

3.感受过程，注重数学活动经验的获得

近几年的中考试卷的趋势是数学活动经验的考查越来越重要，故让学生自己去探索数学问题的过程肯定是以后中考的趋势.所以教师在教学的过程中，应该注重这方面的培养，让学生多去经历知识的形成过程，让学生会从“被学”到“会学”.对于水平较高的学生使用“放”，为他们提供更为广泛的独立思考的时间和空间；对于中等生采取“激”，为他们提供难度适中的问题，逐步养成探究问题的习惯；对于学习能力较差的学生则采用“诱”，为他们提供适度的帮助，多给一些鼓励和启发，促进他们经验的获得.H