2014年全国新课标试题取值范围特色

王承宣

2014年高考渐渐远去，仔细翻阅试卷，发现2014年全国新课标试卷有关取值范围的试题几乎是以点的特征确定范围，可谓特色明显.类型如下，供教学参考.

1以极值点定范围

此类试题是赋予极值点以一定的条件，通过对条件的数学表达而求得某字母的取值范围.

例1（新课标Ⅱ理科）设函数f（x）=3sinπxm.若存在f（x）的极值点x0满足x20+[f（x0）]2

A.（-∞，-6）∪（6，+∞）

B.（-∞，-4）∪（4，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）

D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

图1分析如图1，f（x）的周期为2m，试题提供的式子x20+f（x0）2的几何模型可以是图1中Rt△OAB（也可以在紧挨原点的其它象限）斜边的平方，图中清晰知道：OB=m24+3，OA=m2符合题意，故不等式可翻译成m24+32，故选C.

抓住具有普遍性的图像模型快速实施突破是此类试题的特点.

2以零点定范围

此类试题将函数的零点与函数的单调性相联，再结合函数极值的情况控制零点个数，从而确定某字母的取值范围.

例2（新课标Ⅰ理科）已知函数f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（）.

A.（2，+∞）B.（-∞，-2）

C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

分析f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-2a），选原点作为参照点讨论如下.①当2a<0时，有a<0.若x∈（-∞，2a），则f′（x）<0；若x∈（2a，0），则f′（x）>0；若x∈（0，+∞），则f′（x）<0.从而f（x）在（-∞，2a）上单调递减，在（2a，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，并且在x=2a取极小值，在x=0处取极大值，如图2，若要存在唯一零点x0且x0>0，则必须f（2a）=-4a2+1>0，注意到a<0，解得a<-2.作为单选选择题，此时已知答案为B.（-∞，-2），但作为对试题的深赜索隐，继续分析如下.

图2图3②当2a>0时，有a>0.若x∈（-∞，0），则f′（x）>0；若x∈（0，2a），则f′（x）<0；若x∈（2a，+∞），则f′（x）>0；根据单调性和极值，示意图3的曲线（1）和曲线（2）均不能满足：唯一零点x0且x0>0的条件.结合图像得启示：变换有关零点的限制条件可以求取a的不同取值范围.

以区间端点的变点与区间端点的定点进行比较，找到讨论的突破点是解答此类试题的妙法.

3以范围点确定范围

此类试题以某范围内的点的函数值设置限制条件，仍要借助函数的单调性解读限制条件，最终求出某字母的取值范围.

例3（新课标Ⅰ文科）设函数f（x）=alnx+1-a2x2-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0.（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）

分析（1）b=1.（2）f（x）=alnx+1-a2x2-x（a≠1），故f′（x）=1-ax（x-a1-a）（x-1），（a≠1）.这里有一个难点是讨论区间的确定.经探索发现从1-a的正负入手，脉理清晰易懂，试看：（Ⅰ）若1-a>0，则a<1.（ⅰ）由a1-a≤1知a≤12.此时，当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增.存在x0≥1使f（x0）1知a>12，又a<1，故120，在区间（1，a1-a）上，f′（x）<0，在区间（a1-a，+∞）上，f′（x）>0.从而在x1=1时取得极大值，在x2=a1-a取极小值.存在x0≥1使f（x0）aa-1，不合题意.（Ⅱ）若1-a<0，则a>1.（ⅰ）由a1-a≤1解得a≥12，此时在（1，+∞）上由f′（x）<0知f（x）单调递减，且f（1）=-a-121解得a<12，这与a>1矛盾.

综上所述，a的取值范围是：（-2-1，2-1）∪（1，+∞）.

先确定含待求取值范围字母的系数的符号，再对区间端点变动情况进行讨论是解答此类试题的重要参考程序，思路自然流畅，不至于对试题的解答束手无策.

4以动点定范围

以图形上的动点设置限制条件，要求确定某字母的取值范围.此类题目常常需要定出极端点或极限点，以窥见结果.

例4（新课标Ⅱ理科）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是.

图4分析如图4，确定出满足题设条件的几个极端点M0、N0、M1使∠OM1N0=∠OM0N0=45°，仔细观察M、N的位置变化知：只有x0∈[-1，1]时才有∠OMN=45°的可能.适当利用图形使这道填空题轻松得解.