柯西不等式变式的应用

覃发岗+宁纪献

摘要：对柯西不等式基本形式、推论作了归纳，然后给出了其推论的应用。

关键词：不等式;应用;柯西不等式

Abstract： This paper introduces the Cauchy inequality from its basic form ， deformation. Then reveals their application in inequality by series examples.

Key Words： Inequality; Application; Cauchy Inequality.

1.引言

柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。它的推论也比较多，本文主要介绍其四个推论及其应用。

2.柯西不等式的变式

2.1柯西不等式的基本形式[1]

柯西不等式：已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，则∑ni = 1ai bi 2≤∑ni = 1a2i ∑ni = 1b2i ，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n时等号成立。

2.2柯西不等式的变式[2]

柯西不等式有多种变式，下面只介绍一些常见的变形形式。

变式一

∑ni=1aibi≥∑ni=1ai2∑ni=1aibi（ai，bi同号且均不为0， 当且仅当b1=b2=…=bn时等号成立）， 在柯西不等式中令a2i  = ai bi ，b2i  = ai bi 即得。

变式二

在柯西不等式中令a2i  = a2i bi ，b2i  = bi 即得。

变式三

∑ni = 1ai b2i ≥（∑ni = 1ai bi ）2∑ni = 1ai （ai∈R+，bi∈R+，当且仅当b1=b2=…=bn时等号成立），在柯西不等式中令a2i  = ai ，b2i  = ai b2i 即得。

变式四

∑ni=1aibi12≤∑ni=1ai∑ni=1bi12ai∈R+，bi∈R+，当且仅当ai与bi成比例时等号成立，在柯西不等式中令ai  = a12i ，bi  = b12i 即得。

变式五

将柯西不等式两边开平方根即得。

3.应用柯西不等式的变式

3.1应用变式一

例1设a，b，c∈R+，求证：ab+c+bc+a+ca+b≥32

证明 由变式一可得，

ab+c+bc+a+ca+b≥a+b+c2ab+c+bc+a+ca+b

=a2+b2+c2+2ab+bc+ca2ab+bc+ca

≥ab+bc+ca+2ab+bc+ca2ab+bc+ca

=32

故原不等式成立。

3.2应用变式二

例2 设a1，a2，…，an是正数，且∑ni=1ai=pp为常数，试证明：

a21 a1  + a2  + a22 a2  + a3  + … + a2n-1 an-1  + an  + a2n a1  + an ≥p2

证明 由变式二得，

a21 a1  + a2  + a22 a2  + a3  + … + a2n-1 an-1  + an  + a2n a1  + an

≥a1+a2+…an-1+an2a1+a2+a2+a3+…+an-1+an+a1+an

=p22p=p2

故原不等式得证。

3.3应用变式三

例3 已知x+2y+3z+4u+5v=30，求W=x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值。

解：由变式三得，

W=x2+2y2+3z2+4u2+5v2

≥x+2y+3z+4u+5v21+2+3+4+5

=30215=60，

当且仅当x=y=z=u=v即x=y=z=u=v=2时等号成立，故W的最小值为60。

3.4应用变式四

例4 已知a，b，c，d∈R+，且a+b+c+d=1，求证：

4a+1+4b+1+4c+1+4d+1≤42

证明可利用变式四，令

a1=4a+1，a2=4b+1，a3=4c+1，a4=4d+1，b1=b2=b3=b4=1，

则原不等式左边=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4

≤a1+a2+a3+a412·b1+b2+b3+b412

=4a+b+c+d+412·412=42，

故原不等式成立。

（作者单位：云南大学数学系）

参考文献：

[1]谢跃进.柯西不等式应用探讨[J].铜仁职业技术学报（自然科学版）.2008，6（6）：59.

[2]王晓凤.对柯西不等式的探讨[J].通化师范学院报，2006，27（2）：23-25.endprint