基于图像复原的规整化方法研究

杨 薇

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

基于图像复原的规整化方法研究

杨 薇

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

图像降噪与图像去模糊方法研究在众多专业领域都具有重要的研究意义.去模糊问题是一个图像估计问题，处理这个问题的一般框架是规整化，本文研究了图像复原问题的典型规整化方法.

图像复原；规整化；Bayes估计

在图像成像、复制、扫描、传输、显示等过程中，不可避免地要产生图像的退化，如，模糊、有噪声等.实际应用中往往需要清晰、高质量的图像，因此，研究图像降噪与图像去模糊具有重要的意义.去模糊问题是一个图像估计问题，处理这个问题的一般框架是规整化，这需要给解附加其它的约束.例如，解不应该过多地带噪声(平滑性要求)；图像的每个像元值是非负的；求解过程不应该给解添加寄生波纹等[1～4].本文将介绍典型的规整化方法.

规整化方法最初用于解决第一类Fredholm方程

Ku=g.

(1)

这里，K是从Hilbert空间H1映射到Hilbert空间H2的有界的线性算子.方程(1)的病态性表现为方程的解不连续依赖于数据，可以通过引入附加限制定义，在原本的解空间与这个紧密的交集中去求解，通过这么做，得到的解会是连续地依赖于已观测到的数据；另外的解决方法是修改第一类Fredholm方程，尝试转变成第二类Fredholm方程u-αKu=g(α为标量)，这里，修改之后问题的解一定是要接近原本的所研究问题的真实解.由于物理方面问题的多样性和人类对于先知的认识以及利用上的差别，不同的研究人员得到的方法也不同，常见的有:

(1)修改问题的解的定义.把原问题变成一个迭代或滤波过程或者变成一投影迭代问题，以及将求解问题变成模型估计问题等.

(2)修改空间或拓扑.包括限制定义域，给解构造一个合理的限制，使之属于一个紧集.

(3)修改算子.例如使用规整化算子的概念.

可以看出，规整化方法是依问题而定的，而对于一个问题常常是多个规整化措施一起使用.

1 Tikhonov规整化

Tikhonov从算子论的角度详细分析和讨论了第一类Fredholm积分方程的病态性及其规整化求解方法.将Tikhonov规整化理论应用于反卷积问题，考虑如下泛函极小问题

(2)

其中，λ为一非负的规整化参数，R为规整化算子.H通常为一高通滤波器生成的卷积核矩阵.例如，对于一维反卷积问题，H可取D(1)或D(2)，其中D(1)、D(2)分别为一阶和二阶梯度算子[1，-1]、[1，-2，1]生成的卷积核矩阵.

式(2)的解为

f*(λ)=(HTH+λRTR)-1HTg.

(3)

2 保存图像细节的规整化方法

Tikhonov规整化的基本理念：限制解自身就可以看作一个平滑解.但在通常我们为图像恢复时并不想看到平滑解.另一方面，图像的特征细节常常难于和噪声相区别.通过引入其它符合物理事实的限制.这些想法己经取得一定的进步，主要包括[5]：

2.1 基于图像建模和估计的方法

将图像作为一个Markov随机场.应用Markov随机场与Gibbs随机场的等价关系，可以得出关于随机场的联合概率分布.随机模型中可以进一步引入所谓的“线过程”来描述像元之间灰度的跳变，并将这类过程体现在电位函数中.

2.2 总变差()最小化方法

在图像复原领域，总变差最小化是一种以保存图像细节为目的的规整化复原方法.总变差受限制的函数可以是任何一个有界变差函数.图像退化过程可表示为

g=Ku+ξ，

(4)

其中，g为观测图像，K是降晰算子，u是待求的原始图像，ξ是图像噪声.

(5)

(6)

而ux=∂u/∂x,uy=∂u/∂y，Du是图像u的支持域.β>0是可调参数.它的作用是避免总变差JT(u)在ux=uy=0处不可微.α是拉格朗日乘子的倒数，它的取值应保证等式约束

‖Ku-g‖2=‖ξ‖2

(7)

得到满足.此处‖ξ‖2是图像噪声功率.利用变分法，最小化J(u)的问题转化为解带有Neumann边界条件Euler-Lagrange方程

T(u)=K*(Ku-g)+αL(u)u=0,

(8)

(9)

其中，K*是K的伴随算子；T(u)事实上是泛函J(u)的梯度J(u)；L(u)是一个椭圆型偏微分算子，它作用于函数w定义为

L(u)w=-w).

(10)

(11)

条件(9)限制了在边界上解的法向梯度为零.如果解为有限支撑域，这个条件自然得到满足.在应用数学文献中关于方程(8)的求解方法有许多报道[1].

2.3 棱边保持规整化

因为从数值优化的角度，稳定化泛函是一种惩罚函数，所以有人将Tikhonov规整化称为“惩罚最小二乘”(PenalizedLeastSquares).复原或重建的规整化泛函或代价函数一般地写成

J(f)=J1(f)+αJ2(f),

(12)

3 图像复原的Bayes框架

(13)

称为后验期望.f的Bayese估计定义为

(14)

在许多实际情况下，计算f的条件均值比较困难，用它的后验概率极大值代替，称为最大后验(MaximumaPosteriori,MAP) 估计，写成

(15)

利用Bayes规则

(16)

后验概率密度可以表示成

(17)

(18)

(19)

对于图像复原问题，上述各种估计量中，由于最大后验估计可以方便地将未知量的先验信息加以融合利用，因而应用广泛.式(19)中的第一项表示观测数据g的似然概率，第二项可以看成是对未知量f的粗糙度惩罚，若真实图像的特征与我们关于解的先验知识相符，则p(f)较大，此时惩罚项的取值就小.

4 数字图像复原的基本方法

过去的研究中，出现了许多图像复原算法，这些算法从不同角度了解了未知图像所能提供的先验信息，并以数学模型形式表现出来，作为反卷积病态问题的规整化项.不同的应用领域由于图像特性的不同，将会导致不同的图像模型，也就导致了不同的图像复原算法.本节将着重分析频域复原算法反映的图像模型.

4.1 频域复原算法

(20)

使用f和ξ的统计模型需要知道它们的统计先验知识.得到一个线性估计

(21)

由于Rff和Rξξ为循环矩阵，当H可用循环矩阵近似时，可得频域估计公式为

(22)

其中，F，H和G分别是真实图像f，降晰函数h以及观测图像g的离散傅立叶变换.Sξξ和Sff分别是噪声和真实图像的功率谱.和简单的逆滤波器G/H相比，Sξξ/Sff起到了规整化的作用.Wiener滤波算法能够以很低代价获得较好的复原效果，直到现在它仍然是一种常用的算法.

从Bayes估计角度来看，经简单推导，可以证明Wiener滤波假定了噪声和未知图像在频域的各系数服从零均值的独立高斯分布，并且傅立叶系数F(u,v)的方差为Sff(u,v)，ξ(u,v)的方差为Sξξ(u,v).

4.1.2 约束最小二乘算法 约束最小二乘算法在最小二乘法的基础上，对解强加了一个平滑限制，即认为大多数图像相对平滑，高频能量有限.其规整化泛函形式为

(23)

其中，C为某一高通滤波器生成的规整化卷积核矩阵，Cf为图像的高频分量.最常用卷积核矩阵由二阶差分算子生成.

最小化泛函(23)将导出如下方程

(HTH+αCTC)f=HTg,

(24)

当矩阵H,C可用循环矩阵近似时，利用循环矩阵的对角化技术可将式(24)写成等价的频域形式，即

(25)

式中，C(u,v)是c(m,n)填零扩充后的离散傅立叶变换.

正如文中第3部分的讨论，从Bayes框架来看，这一选择假定了Cf为一均值为零的高斯独立同分布向量.

[1]BanhamMR,KatsaggelosAK.DigitalImageRestoration[J].IEEESignalProcessingMagazin,1997，14(2)：24-41.

[2]KangMG,KatsaggelosAK.FrequencyDomainAdaptiveIterativeImageRestorationandEvaluationoftheRegularizationParameter[J].OpticalEngineering,1994,33(10):3222-3232.

[3] 杨薇,王楠.一种新的四阶偏微分方程的图像降噪算法[J].鞍山师范学院学报,2012,14(2):5-7.

[4] 王相海，刘颖男，张冲.一种基于曲率驱动的四阶PDE图像去噪模型[J].辽宁师范大学学报：自然科学版，2014,37(3)：346-351.

[5] 邹谋炎.反卷积和信号复原[M].北京:国防工业出版社,2001.

YANG Wei

(SchoolofMathematicsandInformationScience，AnshanNormalUniversity,AnshanLiaoning114007,China)

(责任编辑：张冬冬)

Research on regularization method based on image restoration

Image denoising has important research significance in many professional fields.The fuzzy problem is an image estimation problem.The general framework of this problem is regularization.This paper briefly introduces the theory and method of image restoration. Key words image restoration;regularization;Bayes estimation

2015-09-22

杨薇(1983-)，女，回族，辽宁鞍山人，鞍山师范学院数学与信息科学学院讲师.

O175.2

A

1008-2441(2015)06-0021-04