场域中填充多介质且存在3种以上介质公共点或公共线的电磁场边值关系及其应用

王礼祥 蔡 书

(西南民族大学预科教育学院，四川 成都 610041)



场域中填充多介质且存在3种以上介质公共点或公共线的电磁场边值关系及其应用

王礼祥 蔡 书

(西南民族大学预科教育学院，四川 成都 610041)

文章分析讨论了场域空间填充有多介质且存在3种以上介质公共点或公共线上的电磁场边值关系一般形式，就简单可解的多介质分界面与电场线重合和多介质分界面与等势面重合的特殊情况举例说明其应用.结果表明多介质公共点或公共线上的边值关系并非是简单的两、两介质分界面边值关系的组合，多介质公共点或公共线上的边值关系确有必须遵循的特殊形式.

麦克斯韦方程；电磁场边值关系；静电场；电介质；多介质公共点；多介质公共线

众所周知，由电磁场积分形式的麦克斯韦方程组

可以导出电磁场的边值关系

说明电磁场边值关系只是积分形式的麦克斯韦方程组在两介质分界面上的特殊形式，它是因为介质性质的突变(ε和μ突变)或分界面上存在自由电荷面分布与电流面分布从而导致电磁场的场量突变而必须遵循的客观规律.我们在文献[2]、[3]中给出了它的推广应用形式，即在场域内任意选取的任何曲面上式(2)同样成立，因为普遍适用的积分形式麦克斯韦方程组在人为选取的任意曲面两侧场量可能连续也可能突变，它取决于曲面上有无点电荷、线电荷与线电流.本文分析讨论给出场域内填充多种分区均匀介质时出现多介质公共点或公共线上的电磁场边值关系的具体形式，并就特殊可简单求解情况举例说明其重要应用，为便于行文仅以静电场边值关系为例阐述分析.

1 多介质填充场域时公共点或公共线上的静电场边值关系

静电场的基本特征是其分布不随时间变化，描述静电场力的性质的物理量电场强度矢量和描述静电场能量性质的物理量电势都只是空间点的函数，在两介质分界处静电场的场量点点对应边值关系是

或者以电势表达为

式(3)或式(4)阐明了两种介质分界面上点点对应的静电场场量突变关系，是介质性质突变导致场量的突变，点点对应或点点趋近对应是极限关系.

场域空间总是由点、线、面构成，当静电场空间内填充多种分区均匀介质时不可避免地要出现3种或3种以上介质相邻的公共点或公共线，这时多介质公共点或公共线上的边值关系到底是什么样的？各类型文献资料中都没有具体阐明，原因可能是:① 认为分别应用两两介质分界面上的边值关系即可解决问题；② 是此类问题只有特殊情况下有简单解(介质分界面与电场线重合或介质分界面与等势面重合)，一般情况下不一定存在解析解.本文应用宏观电磁场理论中的宏观小微观大思想，将点、线放大分析讨论多介质公共点或公共线之边值关系并以极限方法给出简明结论.

图1 多介质公共点P图示

如图1所示，设静电场空间内填充有N种分区均匀电介质(ε1，ε2，ε3，…，εi,…,εN)，各介质内的电场强度矢量分别是E1，E2，E3，…，Ei,…,EN；电势是φ1，φ2，φ3，…，φi,…,φN；它们存在一个公共点P，以P为球心作一半径为r(r→0)的球面，应用静电场高斯定理可得

式中S=S1+S2+…+SN.

且两两介质分界面上的边值关系照样成立，即ε1与ε2分界面上有

ε2与ε3分界面处有

εN与ε1分界面处有

注意以上N个式子分别是N个介质分界面上非公共点外的边值关系，是空间点坐标函数关系(每个关系式为一个界面上同一点处的场量关系)，结合式(5)即得N种介质公共点P处的边值关系:

即多介质公共点处的静电场边值关系

当多介质公共点处存在点电荷Q时，其静电场边值关系为

多介质场域存在3种以上介质公共线时类似于多介质公共点分析，只是要在放大公共线呈直线段后取包围直线段的圆柱面为高斯面讨论，同样可得到相应静电场边值关系:

(1)公共线上无线电荷分布,公共线上的边值关系为

(2)公共线上存在线电荷λ，取包围线电荷λ的圆柱高为h，公共线上的边值关系为

特殊情况下，当介质分界面与电场线重合时[4]，如点电荷Q位于多介质锥公共顶点P的静电问题或无限长直线线电荷λ位于多介质公共线上的静电问题，都有下面简单电势解:

① 点电荷Q位于N种介质锥公共点P的简单球对称电势解[5]

② 无限长直线线电荷λ置于N介质无限公共直线上的柱对称电势解[6]

3 应用实例——点电荷非对称双介质锥问题

设图2所示为非对称双介质圆锥公共顶点O处放置点电荷Q，两介质圆锥公共线为y轴正半轴，真空对O点的立体角为Ω3.验证三介质公共点和公共线边值关系成立.

图2 点电荷非对称双介质锥

由“带电导体球与介质锥静电问题解及推广应用”[7]给出该问题的球对称解

去证明三介质公共点和公共线上的边值关系成立:

① 坐标原点(公共点)O的边值关系

把式(13)代入式(7)得

注意点电荷是理想化模型并非真正意义的r=0而r→0，所以(式(16)、(17))说明三介质公共点处的边值关系成立.

② 三介质公共线y轴正半轴上的边值关系

[1] 科学出版社名词室合编.物理学词典(上册)[M].北京： 科学出版社,1988：2-3～2-5.

[2] 王礼祥.电磁场边值关系的一种证明及其推广应用[J].西南民族学院学报(自然科学版)，1993(02):150-155.

[3] 王礼祥.电磁场边值关系的推广应用[J].大学物理，1994(11)，8-12.

[4] 胡友秋,程福臻,叶邦角,等.电磁学与电动力学(上册)[M].2版.北京： 科学出版社,2014： 57-61.

[5] 曲世光.点电荷位于多种介质锥公共顶点时的势[J].大学物理，1998(04)： 45-46.

[6] 曲世光.共顶(轴)多介质锥(楔)中球(轴)对称静电场及其一般公式[J].哈尔滨电工学院学报,1987(02)：176-181.

[7] 王礼祥,蔡书.带电导体球与介质锥静电问题解及推广应用[J].西南民族学院学报(自然科学版),2004(02):166-169.

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ELECTROMAGNETIC FIELD BOUNDARY VALUE RELATIONS ON PUBLIC POINT OR LINE OF THREE OR MORE MEDIA AND ITS APPLICATIONS

Wang Lixiang Cai Shu

(School of Preparatory Education,Southwest University for Nationalities,Chengdu,Sichuan 610041)

In this paper,we analyzed and discussed the general form of electromagnetic field boundary value relations on the public point or line of three or more media.We illustrated its applications by two simple solvable special examples,which are the superposition of multi-media interface with electrostatic field lines and the superposition of multi-media interface with equipotential surface.The results showed that boundary value relations on multi-media public point or line were not the simple combinations of the boundary value relations of two or more media interface,and there were special forms that must be followed.

Maxwell’s equations;electromagnetic boundary value relation;electrostatic field;dielectric;electrostatic field boundary relation;multi-media public point;multi-media public line

2015-02-08

王礼祥，男，西南民族大学预科教育学院副教授，主要从事物理教学、计算机基础教学和科研.ykbw@163.com