N个并联直流电源的等效电源的3种推导方法——并联交/直流电源的一个等效定理及其推广

周国全

(武汉大学物理科学与技术学院，湖北 武汉 430072)



N个并联直流电源的等效电源的3种推导方法
——并联交/直流电源的一个等效定理及其推广

周国全

(武汉大学物理科学与技术学院，湖北 武汉 430072)

本文运用等效电压源定理(戴维宁定理)，等效电流源定理(诺尔顿定理)以及直流电路的叠加原理，并结合数学归纳法，总结出3种途径用以推导N个并联直流电源的等效电动势与等效内阻，并以定理形式表达，最后对这一定理的适用范围作了推广；并对其能否向交流电路推广作了前瞻性的思考.

等效电压源定理(戴维宁定理)；等效电流源定理(诺尔顿定理)；线性元件；叠加定理；并联电源；电导

稳恒的直流电路除了满足欧姆定理、基尔霍夫回路定理及节点定理之外，还满足线性叠加定理与等效电源定理等[1-4].等效电源定理的教学研究与应用，是电磁学与电路原理教学的重要内容之一[5,6].两个电路等效是指它们的对外电输出特性相同.两个电路内部的几何结构及参数都已发生变化，因此内部并不等效.在电路中用等效电源互相置换后，不影响外电路的工作状态，例如图1、图2所示的含内阻的电压源与电流源之间的等效变换.

若干个含源支路作串联、并联、混联而构成的二端网络，可以等效为一个电压源.这可总结为等效电压源定理，亦称戴维宁定理，表述如下:两端有源线性直流网络可等效于一个电压源，即一个电压源和电阻串联的二端网络，其电动势等于网络的开路端电压，内阻等于从网络两端看除源(将电动势短路)网络的电阻.这个二端网络又可以等效为一个电流源，并可总结为等效电流源定理，亦称诺尔顿定理.表述如下:两端有源线性直流网络可等效于一个电流源，即一个电流源和电阻并联的二端网络，其电流等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻.

值得注意的是等效电源定理只适用于由线性元件组成的有源二端网络.如果网络中含有非线性元件时，则该定理不再适用.

由于稳恒的直流电路中，各支路的电流对任一直流电源的响应是线性的，因此由线性元件构成的直流网络还应服从叠加定理[1，3，4].

本文基于等效电源定理以及线性直流电路的叠加定理，尝试运用3种不同的方法，推导出一条有关N个并联直流电源构成的二端网络的等效电源的定理:N个并联电源的等效电动势是诸电源的电动势以其内电导为权重因子的加权平均值，其等效内阻是诸电源的内阻的并联总电阻，即等效内电导是诸电源的内电导之和.本文还在更广泛的意义上对其应用范畴进行了合理的推广,尤其适用于如下3种推广的情形:(1)当诸电源极性存在不同取向，即存在反向并联时，须对诸电动势的符号作适当的规定；(2)将只有电阻存在的并联无源支路看作电动势为零的有源并联支路;(3)由并联的交流电源(和复阻抗)构成的线性二端网络.

为讨论方便和表达简洁起见，我们用(ε,r)表示电动势为ε，内阻为r的直流电压源;用(I0,r0)表示电流为I0，内阻为r0的电流源;用R12=r1//r2(或R1,2,…,N=r1//r2//…//rN)表示两个(或N个)电阻的并联及其总电阻；并用g=1/r表示与电阻r相应的电导.根据文献[1]，首先我们给出电压源和电流源之间等效变换的一条引理，作为后文讨论的基础.如图1、图2所示，电压源(ε,r)与电流源(I0,r0)在满足式(1)所示的条件时可以相互等效而转化,

这就能使电压源与电流源两者对外的输出效果完全等效.但是必须注意，理想电压源和理想电流源之间是不能互相等效的.

图1 电压源图2 电流源

图1 电压源图2 电流源

1 推导方法之一——电压源与电流源之间等效代换法

采用这种方法，一种思路如图3所示，按照前述等效引理，对于其中的每一个直流电压源(εi，ri),i=1,2,3,…,N，我们均可将其等效地代之以电流源，于是得到如图4所示的N个并联的等效电流源(Ii,ri)，并满足如下等效条件:

图4所示的N个并联的等效电流源又可看作如图5所示的一个等效的电流源(Ie,re),并有如下等效条件:

图3 N个并联电压源图4 等效的N个并联电流源图5 等效电流源图6 等效电压源

图3 N个并联电压源图4 等效的N个并联电流源图5 等效电流源图6 等效电压源

图3 N个并联电压源图4 等效的N个并联电流源图5 等效电流源图6 等效电压源

图3 N个并联电压源图4 等效的N个并联电流源图5 等效电流源图6 等效电压源

根据等效条件(1)，该电压源的等效内阻即为式(7).

2 推导方法之二——数学归纳法

将数学归纳法与物理结合起来，然后再将N=1，2情形的特殊结论推广到任意整数N的情形，是一种很好的科学思维方法；对于培养和提高学生的科学归纳能力与素养也是一次很好的锻炼.现在我们考虑运用数学归纳法，再结合等效电压源定理，来证明N个并联电源(εi,ri),i=1,2,…,N，的等效公式(2)～式(4)；它需要我们具有一定的数学直觉和推理能力.

公式对N=1情形是自然成立的，对N=2情形可作如下证明.如图7所示，运用等效电压源定理，a、b之间的开路端电势差即为其等效电动势，可据下式计算:

若a、b之间处于开路情形，其内部电流I可按下式计算:

图7 N=2情形图8 N个并联电源情形

图7 N=2情形图8 N个并联电源情形

于是根据式(9)和式(10)，a、b之间的等效电动势为

它确实是两个电源的电动势以其内电导为权重因子的加权平均值.又按等效电压源定理，其等效内阻等于a、b之间除源网络的电阻，即为两直流电源之内阻并联的结果:

而其等效内电导则为

设当N=k时公式(2)～(4)成立，当N=k+1时，即等效电压源(εek，rek)再并联一个直流电源(εk+1,rk+1)时，按公式(11)和(12)的结论，我们有

而按等效电压源定理，此k+1个并联直流电源的等效内阻，等于a、b之间除源网络的电阻，即为k+1个直流电源之内阻并联的结果，即

故结论对于N=K+1情形也成立，根据数学归纳法原理，等效公式(2)～(4)对于任意n个并联直流电源都成立．定理获证．

3 N个并联直流电源的等效电压源的推导方法之三——线性叠加定理

线性叠加定理可表述为[1,3,4]：对于由线性元件(如直流电阻)和直流电源构成的复杂电路,若电路中有多个电源,则通过电路中任一支路的电流等于各个直流电源单独存在时,在该支路产生的电流之和.文献[1,3,4]给出的这种表述实际上还可以进一步引申为如下推论：在复杂的线性直流电路中,任意两节点间的电势差,等于各个直流电源单独存在时,在该二节点间引起的电势差的代数和.这是叠加定理应用于线性直流电路系统的应有之义.我们可以利用线性叠加定理的这一推论,来推导N个并联直流电源的等效电动势与等效内阻.如图8所示,按照等效电压源定理,N个并联直流电源在a、b两端的对外等效电动势,等于a、b两端对外开路电压,等效内阻则等于从a、b两端看除源网络(内阻保留)的电阻.而依据线性叠加定理,a、b两端的对外等效总电压,等于其中每一个直流电源单独存在时在a、b两端所造成的电势差的代数和.

其次,按照线性叠加定理的思想,第i个电源(εi,ri)单独存在时,(其他直流电源仅留下N-1个内阻ri,r2,…,ri-1,ri+1,…,rN,它们并联之后再与ri串联),它在a、b两端所造成的电压Ui,按照串联电阻的分压原理,应为

于是N个直流电源同时存在时，在a、b间造成的电压的代数和为

按等效电压源定理，a,b之间的这个开路电压式(19)，就是等效电压源的电动势式(2).再来算出等效内阻，从图8的a、b两端看，除源网络(内阻保留)的电阻为N个并联的直流电源的内阻，它就是等效内阻式(3).再结合式(19)，定理获证.

4 定理之应用范畴的合理推广

我们从3个方面将本定理之应用范畴进行合理的推广.

其一，如果我们将一个纯电阻看成一个电动势为零的等效直流电压源(0，R),或将其视为电流为零且有一并联内阻的等效电流源，则前述定理的适用范围还可推广为任意多个直流电源与若干电阻并联而构成的复杂直流二端网络.即公式(2)～(4)对于存在电动势为零的并联电阻(0，R)照样成立.这可以帮助我们处理大量直流电路的问题，如文献[1～4]中的部分习题.

其二，假如并联直流电源之间的正负极性的取向不相一致，则只须规定电源正极指向某端时电动势为正，(譬如规定在图7和图8中，电源的正极与a端相连时，其电动势为正值)，反之为负，(如图7和图8中，正极与b端相连时电动势取为负值)，则公式(2)～(4)对于任意多个直流电源并联且正负极性任意联接而构成的复杂直流网络依然成立.这正是前述定理中“代数和”一词的应有之义.

其三，本文的结论是否能向并联交流电源构成的二端线性的网络推广？值得我们认真地思考和进一步研究.复电压、复电流、复电动势及复阻抗、复导纳等概念的引入，建立和恢复了流经线性交流元件的复电流对其两端复电压的线性响应关系，为在交流电路中建立如稳恒直流电路一样的欧姆定理、基尔霍夫回路定理及节点定理奠定了基础[1,2].尤其关键的一点是，能否建立交流电流源的概念？答案是肯定的[3,4]；一个交流电压源能否等效于某个交流电流源？交流电路中能否建立相应的戴维宁定理与诺尔顿定理？答案也是肯定的[3,4]！解决了这些疑问，则将本文的结论推广应用于并联的交流电源与复阻抗构成的二端交流网络，是一件合理并且简单易行的事情.

5 结论与前瞻

本文不仅给出N个并联直流电源(电阻)的等效电源的一个定理及其公式(4)～(6)，而且给出了有关等效电源定理和直流网络电路的线性叠加定理的一个很好的教学范例；同时有望为电磁学与电路原理的教学提供新的视角，开拓新的思维，注入新的活力.第二种方法——数学归纳法的引入，为在物理教学与研究中激发和锻炼学生的科学归纳能力提供了一次难得的机会.另一方面，将与电源并联的直流电阻视为电动势为零的直流电源的举措，以及对电源的正负极性的不同接法的符号规定，这两种处理方法扩大了本文的定理与公式的应用范畴；尤其是向并联的交流电源与复阻抗构成的二端线性交流网络的推广，更是大胆和富有意义的一种尝试.在作这种推广时会有一些新的问题、特性与新的规律出现，这尚有待于学者们作进一步的研究.

[1] 赵凯华,陈熙谋.电磁学[M].3版.北京:高等教育出版社，2011:206-210.

[2] 张三慧，臧庚媛，华基美.电磁学(第三册)[M].北京:清华大学出版社，1991:145-156.

[3] Nilsson J W,Riedel S A.Electric circuits[M].Fifth ed.Addison-wesley publishing company.Inc.1996:132-143;151;383.

[4] 胡翔骏.电路分析[M].2版.北京:高等教育出版社,2007.

[5] 林再发.等效法在直流电路问题中的应用[J].物理教师,2000,21(6):18-20.

[6] 刘珮仙,黄东泉.含源多射线星形变多角形的等效变换[J].电子学报,1989,17(04):107-108.

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THREE APPROACHES TO DERIVE THE EQUIVALENT POWER SOURCE FORNPARALLEL DIRECT POWER SOURCES

Zhou Guoquan

(School of Physics and Technology,Wuhan University,Wuhan,Hubei 430072)

The equivalent voltage source theorem and the equivalent current source theorem,the principle of superposition for a linear direct current circuit,and the mathematical induction method were applied in this paper to conclude three approaches to derive the equivalent electromotive force and the equivalent inner resistance forNparallel direct power sources.These results were expressed in the form of theorems.At last,we extended our theorem to the case of parallel powers mixed with parallel resistors,and did forward thinking of whether this theorem can be extended to the alternating current circuits.

equivalent voltage source theorem(Thevenin’s theorem);equivalent current source theorem(Norton’s theorem);linear components;superposition theorem;parallel power;electric conduction

2015-01-16

国家级教学团队基金项目(202276003).

周国全,男，副教授,兼任湖北省中学生物理竞委会领队和主教练.研究方向为非线性可积方程与场论.zgq@whu.edu.cn