多层项目反应模型的Gibbs抽样方法及应用

付志慧，彭毳鑫

（1.沈阳师范大学 数学与系统科学学院，沈阳 110034；2.吉林师范大学 外语部，吉林 四平136000）

0 引言

近年来，多层建模方法在项目反应理论中得以应用，Adams 1997讨论了将潜在特质变量看作回归分析中的因变量，构造了两层回归模型，第一层是项目反应模型（学生内部模型，描述了项目反应和被试能力之间的测量关系），第二层是学生能力总体分布模型（学生间模型，描述了被试个体之间的差异）[1]。相比于观测分数的多层线性模型方法，潜变量多层建模法最大的优点在于潜在变量（学生的能力）和测验是相互独立的，适用于不完全设计的测验。Fox(2001)提出了更一般的带有预测变量的多层正态卵形项目反应模型，并采用Gibbs抽样的方法进行分析，然而抽样过程要利用正态分布的共轭性，因而模型中参数的先验选取具有局限性。[2]

本文提出了多层Logistic项目反应模型，并在贝叶斯框架下，基于增加数据的Gibbs抽样法给出模型中参数的后验估计[3～6],通过模拟实例表明，计算简单容易操作,而且不受先验分布选取的限制，从而解决了由多层IRT模型中复杂的相依结构带来的多重积分问题。

1 多层项目反应模型

Bryk 1992[7]年提出了完整的包含预测变量的多层线性模型，将其推广到IRT框架下满足下式：假定有J个总体（学校），分别从第j个总体中抽取i个样本（学生），i=1，2，…nj，j=1，2，…J

θij=β0j+…+βqjXqij+…+βQjXQij+eij， eij~N(0， σ2) 第一层βqj=γq0+…+γqsWsqj+…+γqSWSqj+uqj， uqj~N(0， T) 第二层

其中 Xqij和 βqj，Wsqj和 γqS，q=0，…，Q 分别为第一层模型和第二层模型的预测变量和回归系数，注意此处θij为不可观测的潜在变量，下面给出具体的IRT模型和估计方法。假定Yijk为能力为θij的被试对第k个项目的反应变量，正确反应概率为Pijk，k=1，2，…K。

ak，bk分别为题目的区分度和难度参数

对应于反应变量Yijk，引入潜在变量Uijk,且Uijk服从均匀分布U(0，1)，Xik与Uik之间满足如下关系：

Yijk=1当且仅当Uijk≤Pijk

在贝叶斯框架下所有的参数都看为随机变量，则给定观测变量Yijk，预测变量Xqij和Wsqj，所有参数的后验分布为

综上，给定初值，由(1)～(7)即可抽取相应参数的样本，得到后验分布。

2 模拟研究

本节通过模拟实验来验证Gibbs抽样估计方法的准确性。假定每一层都有预测变量，

θij=β0j+β1jX1ij+eij

β0j=γ00+γ01W10j+u0j

β1j= γ10+ γ11W11j+u1j

图1 参数a1，a2，b9，b10的后验密度估计曲线，虚线由前2000次迭代值绘出，实线由后8000次迭代值绘出

3 结论

本文首先将多层线性模型与项目反应模型相结合，建立了多层Logistic项目反应模型，并通过引入潜在变量的方法，给出了该模型的Gibbs抽样方法，该方法操作起来很简单。最后通过模拟试验得出各个参数的后验估计，标准差，置信区间，验证了本文所提Bayes方法的准确性和估计精度的合理性。该模型和方法可以广泛应用于教育质量评估和跟踪测验中。

表1 参数的真值及估计值

[1]Adams R J,Wilson M,Wu M.Multilevel Item Response Models:An Approach to Errors in Variable Regression.Journal of Educational and Behavioral Statistics,1997,22.

[2]Fox J P,Glas C A W.Bayesian Estimation of A Multilevel IRT Model Using Gibbs Sampling[J].Psychometrika,2001,66(2).

[3]Fu Z H,Tao J,Shi N Z.Bayesian Estimation in the Multidimensional Three-Parameter Logistic Model. Journal of Statistical Computation and Simulation,2009,79(6).

[4]Fu Z H,Tao J,Shi N Z.Bayesian Estimation of the Multidimensional Graded Response Model with Nonignorable Missing Data[J].Journal of Statistical Computation and Simulation,2010,80(11).

[5]Patz R J,Junker B W.A Straightforward Approach to Markov Chain Monte Carlo Methods for Item Response Models[J].Journal of Educational and Behavioral Statistics,1999a,24.

[6]Patz R J,Junker B W.Applications and Extensions of MCMC in IRT:Multiple Item Types,Missing Data,and Rated Responses[J].Journal of Educational and Behavioral Statistics,1999b,24.

[7]Gelman A,Carlin J B,Stern H S,et al.Bayesian Data Analysis.[M].LondonUK:Chapman&Hall,1995.

[8]Raftery,A E Lewis S M.Implementing MCMC in Markov Chain Monte Carlo in Practice[M].Gilks,W R Richardson,S Spiegelhalter D J,eds.,London:Chapman and Hall,1996.