弱混合与混沌

王立冬，曹红光，梁建华

(1.吉林大学 数学学院，吉林 长春130012;2.大连民族大学 理学院，辽宁 大连116605)

长期以来，轨道渐近性质的研究是动力系统的中心问题。20 世纪60 年代以前，确定论是科学研究的主导思想，但是随着气象学和生态学中许多自然现象的出现，学者们意识到随机性与不可确定性的重要性。

然而，很长一段时间内，数学界并没有一个明确的混沌的定义。直到1975 年，李天岩和Yorke［1］第一次用数学语言给出了混沌的定义。D被称作f 的一个Li-Yorke 混沌集，如果对D 内任意不同的两点x，y 满足d(fn(x)，fn(y))＞0，(fn(x)，fn(y))=0。f 被称作Li -Yorke 混沌的，如果存在一个不可数的混沌集。

从此，混沌的研究对动力系统产生了重要的影响。根据迭代映射在度量空间上的不同性质，人们给出了很多种混沌的定义。传递性和敏感性在这些定义中是很重要的性质。映射f 是传递的当且仅当对X 中任意非空开集U，V，存在正整数n 使得fn(U)∩V≠φ。称点v∈X 为f 的一个传递点，若v 的轨道orb(v，f)={fn(v):n∈N}在X 中稠密，称映射f 为敏感的，若存在ε ＞0 使得对每个非空开集U⊂X，存在x，y∈U，n∈N 使得d(fn(x)，fn(y))＞ε，其中ε 叫做f 的一个敏感常数。

1989 年，Devaney［2］给出另一种混沌的定义。在文献［3］中，Ruelle 和Takens 定义了一个新的混沌，被称作R -T 混沌。1996 年，Kato［4］称f 是混沌的，若f 满足可达性和敏感性。1999 年，Martelli［5］称f 是混沌的，如果存在x0∈X，使得x0的轨道在X 中稠密且x0的轨道是不稳定的。为了研究分布混沌和Li-Yorke 混沌之间的关系，王立冬［6］在2007 年引入了“按序列分布混沌”的概念。

近年来，人们加强了一些混沌定义的条件，又提出了许多新的混沌的定义，如强Kato 混沌、强Li-Yorke 混沌、强按序列分布混沌等。

本文把传递性和弱混合性推广到拓扑群上，并定义了紧致度量空间上群作用的强Kato 混沌。证明了弱混合是动力系统(X，G)为强Kato 混沌的一个充分条件。

1 基本定义

假设X 是一个完备的度量空间，度量为d，G是一个拓扑交换群。任意非空开集Y⊂X，x∈X，r＞0，B(x，r)={y∈X:d(x，y)＜r}，d(x，Y)=inf{d(x，y):y∈Y}。

集合S⊂X(包含至少两点)叫做一个δ-混沌集，如果对某个正常数δ，∀x，y ∈S，x ≠y 使得(fn(x)，fn(y)) ＞ δ，(fn(x)，fn(y))=0。映射f 是强Li-Yorke 混沌的，如果它有一个δ-混沌集。

设S 是X 的一个子集，包含至少两个点，x，y∈S，x≠y，{pk}是一个正整数序列。对∀δ ＞0，令

Fxy(δ，{pk})=#{k | d(fPk(x)，fPk(y))＜δ，1≤k≤n}，

其中#A 是A 的基数。

集合S⊂X 叫做按正整数序列pk的分布混沌集，如果对任意不同两点x，y∈S，

(1)对某个ε ＞0，Fxy(ε，{pk})=0;

(2)对所有δ ＞0，F*xy(δ，{pk})=1。

映射f:X→X 是按序列分布混沌的，如果它有一个不可数的按序列分布混沌集。如果存在ε ＞0 使得对不同的x，y∈S 有Fxy(ε，{pk})=0，则称按序列分布混沌是强的。

映射f 是Ruelle-Takens 混沌的，如果

(1)f 是传递的;

(2)存在ε ＞0，使得对每个x∈X，任意δ ＞0和每个B(x，δ)，存在y∈B(x，δ)，n ＞0 使得d(fn(x)，fn(y))＞ε。

映射f 是可达的，如果对于每个ε ＞0 和每对X 中的非空开集U，V，存在x∈U，y∈V，n∈N 使得d(fn(x)，fn(y))＜ε。

映射f 是Kato 混沌的，如果f 是敏感的并且可达的。

映射f 是Martelli 混沌的，若存在x0∈X 使得

(2)x0的轨道是不稳定的，即存在r ＞0 使得对于每个ε ＞0，存在y∈X，n≥1 满足两个不等式d(x，y)＜ε，d(fn(x)，fn(y))＞γ。

如果φ:G×X→X 是连续的并且满足条件:

(1)对任意x∈X，φ(e，x)=x，其中e 是群G的单位元;

(2)对任何x∈X，g1，g2∈G，φ(g1，φ(g2，x))=φ(g1g2，x);

则(X，G，φ)叫做一个拓扑动力系统，记为(X，G)。为了方便起见，φ(g，x)用gx 来表示。

系统(X，G)是拓扑传递的，如果对于每对X的非空开集U，V，存在g∈G 使得g［U］∩V≠Ø，其中g［U］={gxx∈U}。对于任意的x∈X，x 的轨道为orb(x，G)={gxg∈G}。点v∈X 被称为(X，G)的一个传递点，如果v 的轨道orb(v，G)在X 中稠密。

系统(X，G)是弱混合的，若对X 中的任意四个非空开集U1，U2，V1，V2，存在g∈G 使得g［U1］∩V1≠Ø，g［U2］∩V2≠Ø。

设N≥2 是一个整数。λ ＞0 是g 的一个N -敏感系数，若对于每个非空开集U⊂X，存在N 个点x1，x2，…，xN∈U，n ＞0 使得min{d(gxi，gxj)|i，j∈{1，2，…，N}，i≠j}≥λ。g 的所有N -敏感系数的上确界记为λN，叫做g 的N -临界敏感系数。

对∀x1，x2，…，xN∈X，记r(x1，x2，…，xN)=min{d(xi，xj)|i，j∈{1，2，…，N}，i≠j}。令rN=(x1，x2，…，xN)。显然，λN≤rN，且均单调递减趋于0。

设(X，d)为一个至少包含两个点的紧致度量空间，φ:G×X→X 是连续的。若λN=rN，(X，G)叫做N-最大敏感的。若对每个N ＞0，λN=rN，则(X，G)叫做一致最大敏感的(简记为TMS)。

动力系统(X，G)是强可达的，如果对任意ε ＞0，X 中的非空开集 { Ui}，存在点xi∈Ui，i=1，2，…，N，g∈G 使得d(gxi，gxj)＜ε，i≠j。

如果(X，G)既是TMS 的，又是强可达的，动力系统(X，G)叫做强Kato 混沌的。

2 主要定理

定理1 设(X，d)是一个没有孤立点的紧致度量空间，G 是作用在X 上的一个拓扑交换群。若拓扑动力系统(X，G)是弱混合的，则(X，G)是强Kato 混沌的。

证明 第一步，证明对于∀N≥2，如果(X，G)是弱混合的，则(XN，G)是传递的。

由(X，G)是弱混合的定义得到，(X ×X，G)是传递的。假设对某个N≥2，(XN，G)是传递的。设U1，U2，…，UN，UN+1，V1，V2，…，VN，VN+1是X 中任意2(N+1)个非空开集。(X×X，G)是传递的，则存在g1∈G 使得

因为(XN，G)是传递的，则存在g2∈G 使得g2［Ui］∩Vi≠Ø，i=1，2，…，N-1;g2［U］∩V≠Ø;g2［UN+1］∩VN+1⊃g2［g1［U］］∩g1［V］⊃g1［g2［U］∩V］≠Ø。从而，(XN+1，G)是传递的。由归纳法，对∀N≥2，(XN，G)是传递的。

第二步，证明动力系统(XN，G)的传递点的集合{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，g∈ G }是一个Gδ集。

X 是一个紧致度量空间，因此X 有可数拓扑基 { Bn}。 { Bn}N是XN的一个拓扑基。显然有{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，

由(XN，G)是传递的，得到对XN中任意开集U1×…×UN和V1×…×VN，存在g∈G 使得g-1［U1×…×UN］∩(V1× … × VN)≠φ。-1［U1× …UN］是XN中的一个稠密子集。由式(1)，(XN，G)的传递点的集合是一个Gδ集。

第三步，证明(XN，G)是TMS 的。

由rN的定义，对N≥2，0 ＜ε0＜rN，存在点x1，x2，…，xN∈X 使得

综上，得到对XN中的任意开集U1×U2×…×UN，存在(y1，y2，…，yN)∈(U1×U2×… ×UN)∩{(x1，x2，…，xN)∈XN=XN，g∈G} 和g∈G 使得max d(xi，gyi)|i，j∈{1，2，…，N}{，i≠j，xi∈Ui}＜。

故对上述g∈G，对每个i，j∈{1 ，2，…，N }，i≠j，得到

从而，rN-ε0是g 的一个N -敏感系数。由N，ε0的任意性，(X，G)是TMS 的。

最后，证明(X，G)是强可达的。

由(XN，G)是传递的，对∀ε ＞0，N≥2 和X 中非空开集U1，U2，…，UN，V，存在g∈G 使得g［Ui］∩V≠φ，i=1，2，…，N，其中diam(V)＜ε。从而，存在xi∈Ui使得gxi∈V，i=1，2，…，N，i.e.d(gxi，gxj)＜ε，i≠j。所以，(X，G)是强可达的。

综上，(X，G)是强Kato 混沌的。

推论1 设X 是一个紧致度量空间，度量为d。f:X→X 是一个连续映射。若f 是弱混合的，则

(1)f 是强Kato 混沌的;

(2)f 是强Li-Yorke 混沌的;

(3)f 是强按序列分布混沌的;

(4)f 是R-T 混沌的;

(5)f 是Martelli 混沌的。

证明 (1)设G={fi:i∈N+}，则G 是一个加法交换群。由定理1 的证明，f 是强Kato 混沌的。

(2)因为f 是强Kato 混沌的，故f 是Kato 混沌的。由文献［4］，f 是强Li-Yorke 混沌的。

(3)参见文献［7］。

(4)根据R-T 混沌的定义，显然成立。

(5)参见文献［8］。

［1］LI T Y，YORKE J A. Period three implies chaos. Amer［J］. Math. Monthly，1975，82:985 -992.

［2］DEVANEY R L. An introduction to chaotic dynamical systems［M］. Reading:Addison-Wesley，1989.

［3］RUELLE D，TAKENS F. On the nature of turbulence［J］. Comm. Math. Phys.，1971，20:167 -192.

［4］KATO H. Everywhere chaotic homeomorphisms on manifields and k -dimensional menger mainfolds［J］. Topol Appl.，1996，72:1 -17.

［5］MARTELLI M. Introduction to discrete dynamical systems and chaos［M］. John Wiley ＆ Sons，2011.

［6］WANG L，HUANG G，HUAN S. Distributional chaos in a sequence［J］. Nonlinear Anal，2007，67:2131 -2136.

［7］LI J，TAN F. The equivalence relationship between Li-Yorke δ - chaos and distributional δ - chaos in a sequence［J］. Journal of South China Normal University，2010，3:34 -38.

［8］WANG L，CHEN Z，LIAO G. The complexity of a minimal sub-shift on symbolic spaces［J］. Journal of mathematical analysis and applications，2006，317:136 -145.