丢番图方程x3±1=3qPy2的整数解

杜先存

(红河学院 教师教育学院 云南 蒙自 661199)



丢番图方程x3±1=3qPy2的整数解

杜先存

(红河学院 教师教育学院 云南 蒙自 661199)

丢番图方程； 整数解； 奇素数； 同余； 递归序列

0 引言

丢番图方程

x3±1=3Dy2(D是无平方因子的正整数),

(1)

是一类基本而重要的三次方程．当D不含6k+1形素因子时，文[1]已解决；但当D含6k+1形素因子时，方程的求解较为困难，目前还只有一些零散的结果：文[2]对D为6k+1形素数的情况进行了研究；文[3-4]分别对D含一个6k+1形素因子，同时含一个6k-1形素因子的情况进行了研究；文[5]对D含一个6k+1形素因子，又含1个或2个6k-1形素因子的情况进行了研究；文[6]对D含一个6k+1形素因子，同时至少含1个6k-1形素因子的情况进行了研究；文[7]对D含2个6k+1形素因子的情况进行了研究．在此基础上，本文主要对D含1个6k+1形素因子，同时至少含1个6k-1形素因子的情况进行探讨．

1 相关引理

引理1[8]若p=3t(t+1)+1,t∈N，则px2-3y2=1的最小解为(2,2t+1)．

引理2[9]设p是一个奇素数，则丢番图方程4x4-py2=1只有正整解p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3．

引理3[9]设p是一个奇素数，则丢番图方程x4-py2=1只有正整解p=5,x=3,y=4和p=29,x=99,y=1 820．

2 主要结论

x3+1=3qPy2,

(2)

在下列条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)下仅有平凡解(x,y)=(-1,0)：

(ⅰ) q=27t2+1,t∈N，且P满足下列①,②,③任一条件.

① 3P≢q mod 8; ② P≢4-q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24).

(ⅱ) q=12t2+1, t∈N，且P满足下列①，②，③中任一条件.

① 3P≢q mod 8; ② P≢4-q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24).

(ⅲ) q=3(3t+1)(3t+2)+1, t∈N，且P满足下列①,②,③中任一条件.

① 3P≢q mod 8; ② P≢4-q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24)．

x3-1=3qPy2，

(3)

在下列条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)下仅有平凡解(x,y)=(1,0)：

(ⅰ) q=27t2+1, t∈N，且P满足下列①,②,③中任一条件.

① 3P≢-q mod 8; ② P≢4+q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24).

(ⅱ) q=12t2+1，t∈N，且P满足下列①,②,③中任一条件.

① 3P≢-q mod 8; ② P≢4+q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24).

(ⅲ) q=3(3t+1)(3t+2)+1,t∈N;且P满足下列①,②,③中任一条件.

① 3P≢-q mod 8; ② P≢4+q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24)．

3 定理证明

定理1的证明.

证明设(x,y)是方程(2)的整数解，故gcd(x+1,x2-x+1)=3，x2-x+1≢0 mod 9．

又ri≡-1 mod 6 (1≤i≤s)是彼此不相同的素数，故x2-x+1≢0 mod ri(1≤i≤s)，所以方程(2)可分解为下列Ⅰ，Ⅱ两种情形.

情形Ⅰx+1=9Pu2，x2-x+1=3qv2，y=3uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅱx+1=9qPu2，x2-x+1=3v2，y=3uv，gcd(u,v)=1．

下面先证明情形Ⅰ.

证明将x+1=9Pu2代入x2-x+1=3qv2，整理得

q(2v)2-3(6Pu2-1)2=1,

(4)

则(2v,6Pu2-1)是方程qx2-3y2=1的一组解．

对于条件(ⅰ)，因为(1,3t)是方程qx2-3y2=1的最小解，则方程(4)的全部整数解可表示为

(5)

对于条件(ⅱ)，因为(1,2t)是方程qx2-3y2=1的最小解，则方程(4)的全部整数解可表示为

(6)

对于条件(ⅲ)，由引理1知，(2,2t+1)是方程qx2-3y2=1最小解，则方程(4)的全部整数解可表示为

(7)

综上,知情形Ⅰ下方程(2)无整数解．

下面证明情形Ⅱ.

证明将x+1=9qPu2代入x2-x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(6qPu2-1)2=1,

(8)

6qPu2=yn+1,

(9)

所以yn≡-1 mod 6．

容易验证式(10)～(14)成立：

xn+2=4xn+1-xn;x0=1;x1=2,

(10)

yn+2=4yn+1-yn;y0=0;y1=1,

(11)

x2n+1≡2 mod 3; x2n≡1 mod 3,

(12)

x2n+1≡2 mod 4; x2n≡1,7 (mod 8),

(13)

y2n≡0 mod 4; y2n+1≡1,7 (mod 8).

(14)

对递归序列(11)取模6,得周期为6的剩余类序列，且仅当n≡-1 mod 6,有yn≡-1 mod 6，故式(9)成立需n≡-1 mod 6，即n≡-1 mod 12或n≡5 mod 12．

3qPu2=x6m-1y6m.

(15)

由式(10)知,对于任意整数m，均有x6m-1≠0．又由式(11)知,仅当m=0时，y6m=0，所以仅当m=0时，x6m-1y6m=0．

当m=0时，由式(15)得u=0，此时得出方程(2)的平凡解(x,y)=(-1,0)．

因为gcd(x6m-1,y6m)=gcd(2x6m-3y6m,y6m)=gcd(2x6m,y6m)=2．又由式(12)得，x6m-1≢0 mod 3，而x6m-1≢0 mod ri,1≤i≤s，则式(15)给出两种可能的分解：

x6m-1=2a2；y6m=6qPb2；u=2ab；gcd(a,b)=1,

(16)

x6m-1=2qa2;y6m=6Pb2;u=2ab;gcd(a,b)=1．

(17)

当n≡5 mod 12时，令n=12m+5，m∈Z， 则由式(9)得，

6qPu2= y12m+5+1=x12m+4+2y12m+4+1=

2x6m+2(x6m+2+2y6m+2)=2x6m+2y6m+3，

即

3qPu2=x6m+2y6m+3.

(18)

因为gcd(x6m+2,y6m+3)=gcd(x6m+2,x6m+2+2y6m+2)=gcd(x6m+2,2y6m+2)=1，又由式(12)得x6m+2≢0 mod 3，而x6m+3≢0 mod ri,1≤i≤s，所以式(18)给出两种可能的分解：

x6m+2=a2;y6m+3=3qPb2;u=ab;gcd(a,b)=1,

(19)

x6m+2=qa2;y6m+3=3Pb2;u=ab;gcd(a,b)=1．

(20)

出现式(20)时，由式(14)得y6m+3≡1 mod 2，所以由y6m+3=3Pb2知b为奇数，则b2≡1 mod 8．因为q为奇素数，故由x6m+2=qa2及式(13)知a为奇数，则a2≡1 mod 8．

将x6m+2=qa2，y6m+3=3Pb2代入y6m+3=x6m+2+2y6m+2，得3Pb2=qa2+2y6m+2，则有2y6m+2=3Pb2-qa2，两边取模8，得

2y6m+2≡3P-q (mod 8).

(21)

由式(14)得y6m+2≡0 mod 4，故2y6m+2≡0 mod 8．又条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)的①满足3P≢q mod 8，则3P-q≢0 mod 8，故式(21)不成立，所以条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)的①均不满足式(20)．

将x6m+2=qa2，y6m+3=3Pb2代入x6m+2=2x6m+3-3y6m+3得，qa2=2x6m+3-9Pb2，则有2x6m+3=qa2+9Pb2，两边取模8，得2x6m+3≡qa2+9Pb2(mod 8)，则有

2x6m+3≡qa2+Pb2(mod 8).

(22)

由式(13)知x6m+3≡2 mod 4，则2x6m+3≡4 mod 8．又条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)的②满足P≢4-q (mod 8)，则q+P≢4 mod 8，故式(22)不成立，所以条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)的②均不满足式(20)．

对y6m+3=3Pb2两边取模8，得

y6m+3≡3Pb2(mod 8).

(23)

由式(14)知y6m+3≡1,7(mod 8)，则由y6m+3=3Db2知,b为奇数，故b2≡1 mod 8．又条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ) 的③满足P≡1,7,17,23(mod 24)，则P≡1,7(mod 8)，故3Pb2≡3,5(mod 8)．所以式(23)为1,7≡3,5(mod 8)，显然矛盾.所以条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ) 的③下式(20)不成立．

综上，条件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)下式(20)均不成立，所以式(20)下方程(2)无整数解．

综上有，情形Ⅱ给出方程(2)的平凡解(x,y)=(-1,0)．

综上所述，定理1成立．

仿定理1的证明可证定理2．

4 小结

[1] 柯召，孙琦．关于丢番图方程x3±1=3Dy2[J]．四川大学学报：自然科学版，1981,18(2)：1-5．

[2] 韩云娜．关于Diophantine方程x3-1=3py2[J]．科学技术与工程，2010,10(16)：3924 - 3925．

[3] 张淑静．关于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J]．高师理科学刊，2009,29(2)：16-18．

[4] 张淑静，杨雅琳，贾晓明．关于Diophantine方程x3±1=3pD1y2[J]．山西师范大学学报：自然科学版，2009，293(4)：31-33．

[5] 杜先存，孙映成，万飞．关于丢番图方程x3±1=3·2αpD1y2[J]．数学的实践与认识，2014，44(6)：255-258．

[6] 曹玉书，郭庆俭．关于丢番图方程x3±1=3Dy2[J]．黑龙江大学自然科学学报，1989, (4)：68-71．

[7] 杜先存，管训贵，万飞．关于不定方程x3-1=3pqy2的整数解[J]．郑州大学学报：理学版，2014，46(3)：44-47．

[8] 杜先存，史家银，赵金娥．关于不定方程x3-1=Py2[J]．西南民族大学学报：自然科学版，2012， 38(5)：748-751．

[9] 曹珍富．丢番图方程引论[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012：180-187．

On Integer Solution of the Diophantine Equationx3±1=3qPy2

DU Xian-cun

(CollegeofTeacherEducation，HongheUniversity，Mengzi661199，China)

Diophantineequation;integersolution;oddprime;congruence;recursivesequence

2014-09-16

国家自然科学基金资助项目，编号11371291；云南省教育厅科研基金资助项目，编号2014Y462；江苏省教育科学“十二五”规划课题项目，编号D201301083；喀什师范学院校级课题项目，编号(14)2513.

杜先存(1981-),女,云南凤庆人，讲师,硕士,主要从事初等数论及数学教育研究，E-mail:liye686868@163.com.

O156.1

A

1671-6841(2015)01-0038-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.008