一道高考解析几何题引申出的几个结论

张焕云

一、题目

（2014年四川理科20）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;

（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）;

（ⅱ）当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标.

解题过程略，（Ⅰ）x26+y22=1，（Ⅱ）中（ⅱ）的点T坐标为（-3，±1）.

二、推广结论

笔者对第（Ⅱ）问中的第（ⅰ）小问给出了推广.

推广一 T为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的准线上任意一点，过准线对应的焦

点F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q，则OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）.

证明 不妨设F为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点，如图，则F（c，0），右准线方程为x=a2c.

当直线PQ斜率不存在时，易得OT平分线段PQ.

当直线PQ斜率存在时，设PQ：y=k（x-c）（k≠0），由x2a2+y2b2=1

y=k（x-c）可得（b2+a2k2）x2-2k2a2cx+a2（k2c2-b2）=0，必有Δ=4a2b4（1+k2）>0，有xP+xQ=

2k2a2cb2+a2k2，yP+yQ=k（xP+xQ-2c）=-2kb2cb2+a2k2，所以线段PQ的中点为（k2a2cb2+a2k2，-kb2cb2+a2k2）.直线FT：y=-

1k（x-c），x=a2c时，y=-b2kc.则T（a2c，-b2kc），直线OT：y=-b2ka2x，x=k2a2cb2+a2k2时，y=-b2ka2·k2a2cb2+a2k2=-kb2cb2+a2k2，

所以线段PQ的中点（k2a2cb2+a2k2，-kb2cb2+a2k2）在OT直线上，即OT平分线段PQ.

推广二 T为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的准线上任意一点，过准线对应的焦点T作TF的垂线交双曲线C于点P，Q，则OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）.（证明方法与推广一相似，略）

推广三 T为圆锥曲线C：λx2+μy2=1（λμ≠0且λ≠μ）的准线上任意一点，过

准线对应的焦点F作TF的垂线交圆锥曲线C于点P，Q，则OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）.（证明过程略）

推广四 T为抛物线C的准线上任意一点，过焦点F作TF的垂线交抛物线C于点P，Q，则过点T平行于抛物线对称轴的直线平分线段PQ.

证明 以抛物线C：y2=2px（p>0）为例，则焦点F（p2，0），准线方程为x=-p2.设直线PQ方程为：x=my+p2.

由y2=2px，

x=my+p2得y2-2pmy-p2=0，必有Δ=4p2（1+m2）>0，有yP+yQ=2pm，xP+xQ=m（yP+yQ）+p=2pm2+p，所以线段PQ的中点为（pm2+p2，pm）.

直线TF的方程为：y=-m（x-p2），当x=-p2时，y=pm，所以T（-p2，pm），则过点T平行于抛物线对称轴x轴的直线为y=pm.

显然线段PQ的中点（pm2+p2，pm）在直线y=pm上，即过点T平行于抛物线对称轴的直线平分线段PQ.

三、推广反思

高考试题是许多专家、学者、优秀教师集体智慧的结晶，具有很高的研究价值.研究高考题目是高中教师必做的功课，最大限度地发挥高考试题的指导价值是这门功课的重中之重.波利亚说：“当你找到第一个蘑菇或做出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长的.”这告诉我们教师，在平时的课堂教学中，不仅要得到问题的答案，还要让学生知道问题的一般规律，这样才能使学生举一反三，触类旁通，以不变应万变.