抓住定义，事半功倍——例谈高中数学教学中圆锥曲线定义的运用

☉江苏省如东县掘港高级中学 葛益平

抓住定义，事半功倍
——例谈高中数学教学中圆锥曲线定义的运用

☉江苏省如东县掘港高级中学 葛益平

圆锥曲线是高中数学非常重要的学习部分，在高中数学课堂上，关于圆锥曲线的定义由来，数学教师可以通过几何画板形象地展示，但是关于定义的具体应用，老师们研究较少.对照新旧考试大纲，在新课标高考中，对圆锥曲线的考查做了重大调整，删去了椭圆与双曲线的准线定义，淡化了复杂烦琐的变形和一些焦半径公式的使用，而对于它们的第二定义也只以例题的形式出现.转而对圆锥曲线的基本定义、基本量的关系、简单几何性质和基本方法加深了考查，特别是对定义的考查，所以把握好圆锥曲线的基本概念和处理圆锥曲线问题的基本方法，就能很好地解答圆锥曲线有关题目.因此笔者从圆锥曲线的定义出发，按照类型进行整理和归纳，进而探索如何运用圆锥曲线的定义解决各类问题.

一、深刻理解圆锥曲线的定义

平面上不同种类圆锥曲线的定义都受一定条件的限制.

椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.即|PF1|+|PF2| =2a（2a>|F1F2|）.这个定义中一定注意两点：一是描述的是动点与两定点的距离和；二是距离和为常数，常数大于两定点的距离.前一点说明椭圆上点的特点；后一个则说明了轨迹是椭圆的条件.当距离和这一常数等于两定点F1、F2间距离时，动点轨迹是以F1、F2为端点的线段；当距离和这一常数小于|F1F2|时，动点轨迹则不存在.

双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点的轨迹叫做双曲线.即||PF1|-|PF2||=2a.这个定义注意三点：一是动点到两定点的距离差：描述动点的特点；二是距离差的绝对值：绝对值便说明了点的轨迹的另一特点——“双”性；三是差的绝对值这个常数一定小于|F1F2|.当常数等于两定点距离时，动点轨迹为以两定点为端点的两条射线；如果常数大于|F1F2|，则动点轨迹不存在.

抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线.

圆锥曲线的第二定义：到一定点F的距离和到一条定直线l的距离（定点F不在定直线l上）的距离比是一个常数e的点的轨迹，当01时，轨迹为双曲线；当e=1时，轨迹为抛物线.其中为离心率，F为焦点，l为准线.

每种圆锥曲线的内涵都深刻地揭示了该曲线的本质特征，其中的每一点都具备着共同的特点，无论是其上的已知点还是未知点都具有相同的几何意义.

案例1证明：以过椭圆的焦点的弦为直径的圆，必和椭圆相应的准线相离.

分析：此题与椭圆的焦点和相应准线有关，比较适合利用椭圆的第二定义来思考.

证明：设椭圆焦点为F，过焦点的弦为AB，曲线的离心率为e，A、B两点到准线的距离分别为m、n，则AB的中点M到准线的距离

根据椭圆的定义可得|AM|=e·m，|AN|=e·n.

类似地，我们可以得到双曲线和抛物线的相似结论.以过双曲线的焦点的弦为直径的圆，必和双曲线相应的准线相交；以过抛物线的焦点的弦为直径的圆，必和抛物线的准线相切.

二、圆锥曲线定义运用的广泛性

圆锥曲线的定义运用十分广泛，利用圆锥曲线的定义解题比较灵活，一看解答简单漂亮.自己思考一筹莫展，对不同题型进行归类，把其中的特点加以提炼，从而更好、更深刻地理解圆锥曲线的运用.

1.求轨迹方程

求曲线方程是解析几何的两大基本问题（由圆锥曲线求方程，由方程求圆锥曲线）之一，将形的直观与数的严谨有机地结合起来是每年高考常考的内容，常考常新.利用定义求满足条件的曲线方程是优化解题的有效方法.

案例2求以F（2，0）为焦点，以L：x-2y+4=0为相应准线，且过点A（3，2）的曲线方程.

分析：题干中给出焦点F和相应准线方程，显然其结果应该为圆锥曲线，但其准线不平行于坐标轴，这样用常规解法，设标准方程或平移状态下的标准型均解决不了，因此应想到用第二定义.第二定义中的常数应该用已知点A来解决.

解：设所求曲线上任一点M（x，y），其离心率为e.由第二定义得，即①.由于此曲线过A（3，2），因此代①式中解得

第二定义深刻地描述出曲线上的点到焦点F与到相应准线的距离比为一常数这一特点，而已知点A也应具备这一特点，从而求出这一常数，再用这一定义求出曲线方程.

2.求值

圆锥曲线中的求值问题具有多方法、技巧强、运算量大等特点.能灵活运用圆锥曲线的定义解题可达到化繁为简的效果.

（1）运用定义求与长度有关的问题.

解析：由双曲线的定义知|MF2|-|MF1|＝4，|NF2|-|NF1|＝4，所以|MF2|＋|NF2|-|MF1|-|NF1|＝|MF2|＋|NF2|-|MN|＝8.

本例题难度不大，思路也比较清晰，是求圆锥曲线上的相关长度问题，涉及曲线上的点到焦点的距离，我们就可以尝试运用圆锥曲线的定义来求解这一类问题.

（2）运用定义求与面积有关的问题.

案例4已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，P点在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积S=_________.

解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设m>n，P（x，y），|PF1|-|PF2|＝m-n＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得n2-2mncos60°，即8＝（m-n）2＋mn，所以mn＝4.

由△F1PF2的面积公式，得S＝mnsin60稍微做一些改变，加深一点难度也可以得到如下变式.变式：已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，P点在C上，∠F1PF2＝60°，则点P到x轴的距离为_________.

解析：分析过程和上题完全一样，再利用△F1PF2的

即点P到x轴的距离为

在求解圆锥曲线相关面积的问题时，定义一定是一个潜在的条件，运用定义可以得到一个等式，再结合题中明确给出的条件，运用相关定理公式，得到其他等式，从而求解.当然题型也可能是将周长和面积结合在一起.

（3）运用定义求特殊位置的问题.

案例5已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上有一点M.

（Ⅰ）定点P（4，-2），若要使得MF+MP最小，求M点的坐标；

（Ⅱ）定点Q（4，5），动点M的横坐标为x0，求x0+MQ的最小值.

解析：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（0，1），令x=4可得y=±4，所以P（4，-2）位于抛物线内部，如图1所示，在抛物线上任意选取一点M，连接MF和MP，过M作准线的垂线MN，由抛物线的定义，我们有MF+MP=MN+MP.要求MF+ MP的最小值，转化成求MN+MP的最小值，借助图像易知，过P点作准线的垂线PN1交抛物线于M1点，则当M点位于M1的位置时，MF+MP最小，最小值为PN1的距离，由于M1是垂线PN1和抛物线的交点，所以M1（1，-2），所以，当MF+MP最小时，M点的坐标为（1，-2）.

（Ⅱ）抛物线y2=4x的焦点为F（0，1），令x=4可得y= ±4，所以Q（4，5）位于抛物线外部，如图2所示，在抛物线上任意选取一点M，过M作准线的垂线交y轴于N点，交准线于R点，因为M的横坐标为x0，所以MN=x0，要求x0+MQ等价于求MN+MQ，我们先求MR+MQ的最小值，由抛物线的定义可知MR+MQ=MF+MQ，当M点位于M1的位置时，MF+MQ最小，最小值为FQ的距离，由两点之间距离公式可知因为MR-MN=1，所以的最小值为

其实在具体运用圆锥曲线的定义求解问题时，我们发现当题中涉及曲线上的点到焦点或者准线的距离时，我们就可以尝试运用定义进行相应转化，这也是一种数学思维，通过运用定义做合适的转化，可以让题中的各类条件变得明晰，使自己思考问题更加透彻准确.

3.求取值范围

圆锥曲线的取值范围问题联系了圆锥曲线的特征参数（a、b、c、d、e、p）及坐标变量（x，y）的范围，较好地考查了学生数学建立模型和灵活处理问题的能力，是高考的热点问题之一，能灵活运用定义解题会使问题化难为易，化繁为简.

分析：要确定∠F1PF2的取值范围，首先要把∠F1PF2的某个函数值用参数表示出来，由于焦点三角形F1PF2中，三条边和椭圆的a、b、c关系密切，所以是否可以考虑在△F1PF2中利用余弦定理并结合定义思考.

解：设|F1P|=r1，|F2P|=r2，在△F1PF2中根据余弦定理得那么

由已知条件可得a2=2b2，所以cosθ≥0.

当且仅当r1=r2时cosθ=0成立，所以

因此，圆锥曲线的运用十分广泛，在解题时充分挖掘题中图形的几何性质，适时地巧用定义，探求最佳的解题方法，开发最佳思路寻求解题规律，起到以点带面、事半功倍的效果.

4.圆锥曲线定义与其他知识的综合运用

（1）联系平几定理活用定义.

案例7设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点.

证明：如图4所示，过A、B分别向准线作垂线AD、BC，N是x轴与准线的交点，连接AC，AC与FN的交点为M，则，由抛物线的定义知，|BF|=|BC|，|AF|=|AD|.

所以|NM|=|MF|，故M是FN的中点，即M与原点重合.所以直线AC经过原点.

（2）结合韦达定理（逆）妙用定义.

①2-②2再除以2，得|PF1|·|PF2|=2（a2-c2）③.

由①、③根据韦达定理逆定理，可知|PF1|、|PF2|是方程z2-2az+2（a2-c2）=0的两根，则有Δ=4a2-8（a2-c2）≥0.

（3）交替利用两个定义.

解析：假设在双曲线左半支上存在点P，使得|PF1|= d|PF2|，即由双曲线的第二定义知，所以|PF2|=e|PF1|.

所以|PF2|-e|PF1|=0①.

由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=-2a②.

由①+②得|PF1|-e|PF1|=-2a，即（1-e）|PF1|=-2a，所以

显然在△PF1F2中，有|PF1|+|PF2|≥2c，即≥2c，a（1+e）≥c（e-1），（1+e）≥e（e-1）.

所以e2-2e-1≤0，解得1

所以假设不成立，故P点不存在.

（4）明确目标逆用定义.

案例10在△ABC中，已知BC=a，动点A满足条件sinC-sinB=sinA，求动点A的轨迹方程.

解析：以BC边所在直线为x轴、以线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图5所示.

根据双曲线的定义进行逆向思维可知，A点的轨迹是双曲线的右支（除顶点），它的焦距2c=a.设双曲线的方程为，则它的实轴长为2m=，所以

综上，运用圆锥曲线的定义是解决一些解析几何问题有效且快捷的方法.用圆锥曲线的定义来解题，它的基本特点是解题思路比较简单，规律性比较强.能用圆锥曲线定义求解的问题往往与焦点或准线有关，通过定义往往可以相互转化.对于椭圆和双曲线可以通过定义把到左焦点的距离和到右焦点的距离相互转化，对于抛物线可以通过定义把到焦点的距离和到准线的距离相互转化.通过定义的应用，再利用数形结合思想，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解，有事半功倍之效.F