基于数学活动经验的解题教学探讨

☉湖南省株洲县第五中学 阳志长

☉湖南省株洲市九方中学 贺功保

教学参谋

基于数学活动经验的解题教学探讨

☉湖南省株洲县第五中学 阳志长

☉湖南省株洲市九方中学 贺功保

《义务教育数学课程标准》（2011年版）明确提出了“四基”，即数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，并把它们确定为我国义务教育数学课程的基本目标.所谓“基本活动经验”，罗朝阳等认为“基本数学活动经验应是学生在特定的数学教学目标的指引下，在进行数学探究和发现活动整个过程中形成的，并经学生自我反思的对多数学生均能起到指导其思维和操作进程的最为核心的知识经验、操作经验（技能性经验）、情感体验、思考经验和应用意识等”［1］.它属于学生的主观性数学知识的范畴，形成于学生的自我数学活动过程之中，伴随着学生的数学学习而发展，反映了学生对数学的真实理解；它对于数学活动的顺利探究、数学思想方法的领悟、数学观念的形成、创新意识与创新能力的培养，以及人的全面发展等均具有十分重要的作用.“解题历来是课堂教学的重点、核心”［2］，“解题教学的根本目的是提高学生分析和解决问题的能力”［3］，而当前教师的解题教学，常“以‘奇、特、巧、新’等为选题标准，通过‘讲解题，不讲怎样解题’，‘讲解法，不讲如何想到解法’的方式给学生灌输技巧，最后总结为‘解法n—技巧n’”［3］.这种漠视学生基本活动经验的解题教学，难以同化、生长、提升学生的数学解题经验，以及“提高学生分析和解决问题的能力”，以致在“能力立意”的新高考中学生出现“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”［2］的尴尬局面.为此，本文以一道解析几何题目的教学为例，探讨基于数学活动经验的解题教学立意、流程、方法和价值取向，以期提高解题教学效益，为高中一线教师提供教学参考和更多的思考.

题目：光线从点Q（2，0）发出，射到直线l：x+y=4上的E点，经l反射到y轴上的F点，再经y轴反射又回到Q点，求直线EF的方程.

一、练习尝试，自主建构活动经验

“数学活动经验是学生在数学活动中形成的充满个性色彩的感受、体验与感悟”，具有个体性.从心理学的角度来看，数学解题就是解题者面临新的问题，而自己没有现存对策或处理方法时所引起的寻求解决问题办法的一种心理活动的过程.在这个过程中，学生以原有的知识经验为基础，按照自己的方式理解题意，寻找解题思路，获得解决问题的想法或“冲动”.因此，讲解题目前，应该要求学生认真读题审题、唤醒原有的知识经验，练习尝试、寻找解题思路，自主建构活动经验，获得基本的感受、体验与感悟.

师：有这么一道题目（PPT呈现题目），可能对同学们具有一定的挑战性，现给出8分钟时间练习尝试，看看大家是如何思考、解答这个题目的.

（生审题、思考、尝试）

（师巡视，尽量不打扰学生）

由于学习动机、经验背景、认知基础、学习风格、思考方式等的不同，面对同一题目，不同的学生捕捉信息、思维起点、解题思路等具有差异性，从而呈现出思维的层次性.教师当场呈现题目，让学生知道问题的挑战性，有利于减轻学生的心理压力，激发学生的探究热情，把学生推向“现推现想”的前沿；让学生独立思考，教师不打扰学生，有利于唤醒学生原有的知识经验，催生学生的各种想法，使学生活动结果呈现个体性特点.尽管部分学生找不到解题的感觉，但是他们在翻一翻课本、看一看笔记、查一查做过的题目等活动过程中，都在围绕解决当前问题想办法，自主建构活动经验和意义.无论进展如何，个体的感受、体验与感悟，都是他们进一步活动的基础，也是这个环节的教育价值取向.

二、展示交流，修正传递活动经验

“经验本身只是感性认识，来自于特定的活动，不可避免地印上了具体的环境、时间、主体、客体等因素的烙印（尽管数学对象本身具有一定的抽象性）”［1］，数学活动经验具有情境性.波利亚在《怎样解题》中，把数学解题划分为“审题—拟定计划—实现计划—回顾”四个阶段.从数学学科的角度来看，数学解题就是解题者分析运算条件，探索运算方向，选择运算公式，确定运算程序等的思维过程.在这个过程中，个体通过后续思维活动所获得的新经验，可以修正、丰富先前的经验；个体前期积累的解题经验只有参与了多样化的数学活动，经过了多次调用和加工后才能内化为解题方法、经验图式.因此，学生练习尝试后，教师应该给学生提供表述、展示的机会，让更多的学生参与到“实现计划”中来，以修正传递活动经验，内化为个体的解题方法、经验图式.

师：经过练习尝试，请大家说说解题思路、想法、困惑，或上黑板展示、板书解答过程.

生1：我无法确定E、F点的位置，还没有找到解题思路.但是，我想到课本第101页习题3.2A组第11题：一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的y方程.入射光线的直线方程不难求得，关键是求反射光线的直线方程.P1P如图1，由光的反射原理知：P关于法OQ线x=2的对称点P（-2，4）在反射光x1线上，由“两点式”可求得反射光线x=2的直线方程.

师：不错，能够与课本问题、已解决的问题联系起来，大家有什么想法？

生2：与生1类似，也想到了这个习题，我是这样思考的：如图2，根据光的反射原理和平面几何知识得：P关于x轴（镜）的对称点P2（6，-4）在反射光线上，P2关于法线x=2的对称点P3（-2，-4）在入射光线上.

师：好，数学知识与物理知识联系，数形结合，得到入射光线与反射光线的对称关系、点关于直线的对称点的求法.但是，这些与所要解答的题目有什么关联呢？

生3：有了，如图3，设Q关于直线l的对称点为Q1，Q关于y轴的对称点为Q2，连接Q1Q2，交直线l、y轴于点E、F，则只要求出点Q1、Q2的坐标，问题就解决了.

师：反应好快呀！生3的方法可不可行呢？如何求出点Q1、Q2的坐标呢？请大家再思考、再尝试.

生4：现在我明白为什么只要求出点Q1、Q2的坐标了，都是根据光的反射原理和“对称”条件.Q2（-2，0）好求，关键是求点Q1的坐标.设Q1（a，b），则Q1Q的中点）在直线l上，且=-1，联立方程组求得Q1（4，2）.所以直线Q1Q2即直线EF的方程为x-3y+2=0.

由于个体通过某一次数学活动获得的数学活动经验，无论从经验的数量还是质量上而言，都是十分有限的，所以教师不能包办题目解答，也不能抹杀学生已有的活动经验，而应该给予学生“说题”、展示、交流的机会.尽管生1、生2想到课本同一习题，都是从已经解决的问题入手，但是他俩还没有建立起与所要解答题目的必然联系，个体经验还处于一种朦胧、模糊阶段.经过生3、生4的加工、传递，建立了所解题目与课本习题的本质联系，修正了生1和生2的活动经验，激活了其他学生的活动经验，营造了一种思想碰撞、思维互动的教学情境.在这种情境中，生1、生2先前的活动经验，成为生3、生4活动经验的“生长点”，生3、生4先前的活动经验，成为他们加工、传递生1、生2活动经验的“孵化器”，其他学生先前的活动经验，成为他们同化或顺应生3、生4活动经验的基础，使生4的解法为更多学生所认同，内化为他们的基本解题思路和经验图式；个体“原生态”“当初想法”得到呈现和“流动”，又在比较、甄别、传递中得到修正，积累了新的活动经验，产生了新的认知冲突和动机，凸显这个环节的教学价值.

三、检验梳理，积累丰富活动经验

“学生获得的数学活动经验有些是清晰的，可用语言等表达的，可外显的，但更多的数学活动经验具有缄默知识的特点，具有内隐性，是难以用言语表达的”.从数学教学的角度来看，数学解题就是解题者积累经验，调整状态，发展思维能力等的过程.在这个过程中，个体所“拟定计划”是通过设计系列性的、体现一定变化的思维活动来清晰化、明朗化、外显化的.因此，学生解答题目后，教师应该先让学生作自我评价、相互评价，追问一下“你是怎么想到的？”“还有不同的方法吗？”［3］等，促使学生主动外显经验，揭示蕴含其中的数学思想方法，帮助更多学生累积丰富经验，调整状态，发展思维能力.

师：非常好！生1、生2由此及彼，联想到已解题目，在尝试、探求中发现光线反射问题与“轴对称”的关系，经过生3、生4的思考与提炼，形成了题目的解题思路与思想方法，关键是利用“点线”对称中的几何关系：“中点”“垂直”，沟通了代数关系中的“方程”“斜率”.有了这些活动经验，大家还能想到什么解法或提出什么问题？

生1：受生4的启发，我有求点Q1的坐标的简捷方法：如图4，因为∠BAQ=45°，所以∠Q1AB=45°，∠Q1AQ= 90°，且Q1A=QA=2，所以Q1点的坐标为（4，2）.

师：有进步！能充分利用几何知识，抓住点Q、直线l的特殊性，简化计算，揭示了“特法”与“通法”的内在联系.

生5：由“点线”对称想到“点点”对称，我可以设置题目：已知点M（2，1）与直线l：x+y=4，直线m与l关于点M对称，求直线m的方程.

师：想象力真丰富！生5把思维的触角伸向题目的变式了，大家试一试，如何求解？

生6：如图5，直线l上的点A（4，0）、B（0，4）关于点M的对称点A1、B1在直线m上，利用“两点式”，可求得直线m的方程.

师：为什么要考虑两点的对称点？这两点是任意的吗？

生6：因为两点决定一直线，所以任意在l上取两点都行，其中能够简化计算的最佳.

生7：从图5可知：△A1B1M≌△ABM，所以m∥l，只要求l上一点的对称点即可.

生8：由对称性可知m∥l.设直线m：x+y=n，由点M到m、l的距离相等可求得n的值.

师：好，别急！这些经验、思路是否可行呢？下面分三大组检验、确认一下.

（生分别按照生6、生7、生8提供的思路求解，得出了相同的结果，认同了他们的方法）

师：大家表现非常棒，肯定还有很多想法，限于时间关系，简单梳理一下：（1）“点点对称”抓住“中点”，“点线对称”抓住“中点”与“垂直”；（2）解答对称问题时，要充分利用几何条件与方程的关系，运用数形结合的思想方法求解；（3）光线入射问题是“对称问题”，还有哪些问题可以归于这种问题呢？请大家课后翻一翻自己做过的题目、试卷等，内化解答对称问题的思想方法，或以对称性为主题写一篇小论文.

由于讨论、反驳、“对话”的过程，是促使学生的数学活动经验不断完善与外显的过程，同时也是实现数学活动经验在不同个体之间互相传递与共享的过程，所以教师在生4之后所进行的点评，有利于完善、外显学生的活动经验，组织、启动新的数学活动；受生4的启发，生1获得求点Q1的坐标的简捷方法，有利于完善、外显生4的活动经验，促进生1和生4活动经验的传递与共享；受情境启发，生5提出“点点”对称问题，经过生6、生7、生8的传递，形成了“变式”的多种解法，又有利于新的活动经验的传递与共享.而教师安排的检验、确认活动，对于生6、生7、生8来说，检验了方法的可行性，发掘出隐藏在方法背后的数学思想，丰富了活动经验，对于其他学生来说，基于自己的和他人的活动经验，确认了方法的可行性，学习、借鉴了他人的活动经验.但是，“学生在数学活动过程中获得的数学活动经验包含的成分也十分复杂”，需要教师“断后”：组织学生回顾解答题目的历程，梳理其中的数学知识和方法，发掘其中蕴含的数学思想方法和数学智慧，形成解决问题的基本套路和经验.值得注意的是，教师不能盲目地“推销”自己的解法或提出变式，那些缺少知识铺垫、活动经验的解法或变式，难以对接学生的思维、使学生产生情感共鸣，有经验的教师在授课或批改作业前，对重点题目先做一下就是这个道理.要基于学生的想法引领方向，基于学生的活动经验累积丰富经验，这才是这个环节的教育教学价值之根本所在.

四、回顾内化，重组顺应活动经验

数学活动经验是在数学活动过程中生成的，又是在数学活动过程中完善、拓展与提升的，还是在数学活动过程中进行交流、传递与共享的，具有过程性的特征.在波利亚看来，数学解题还需要“回顾”，即进行解题第四阶段的工作：检查解题过程，总结解题经验，扩大解题成果.因此，课后教师应该安排时间，引导学生积极参与回顾、内化、反思等数学活动，使他们经历数学活动的全过程，体验活动的每一个环节，获得阶段的经验内容，再将获得的经验运用于新的数学活动，完成经验的创造、领悟、反思、内化、检验和重新创造，以实现重组或顺应活动经验.

师：在“数学园地”展示“课外作业”.

生9：课后，我重新做了“题目”和“变式”，真正掌握了做相关题目的思想方法.有两点体会：一是遇到不会做的题目，要向生1、生2学习，联想做过的题目，到课本中寻找思想方法；二是学数学要勤于动手，动手画图、演算、检验，通过动手实践，积累活动经验，调动自己动脑，促进自己的思维活动.

生10：课后，按照老师的要求，我重新做了“题目”和“变式”.经过探讨，发现：（1）直线ax+by+c=0（a2+b2≠0）关于x轴的对称直线为ax-by+c=0；（2）直线ax+by+c=0（a2+ b2≠0）关于y轴的对称直线为ax-by-c=0.期待大家与我一起探讨直线ax+by+c=0（a2+b2≠0）关于直线Ax+By+C= 0（A2+B2≠0）的对称直线方程的求法.

生11：对称是自然界的基本现象，反映的是对称美、自然美.数学中的轴对称图形有角、等腰梯形、抛物线、偶函数的图像等；中心对称图形有平行四边形、奇函数的图像等；既是轴对称图形又是中心对称图形的有线段、矩形、菱形、正方形、圆、椭圆、双曲线、正弦曲线、余弦曲线等，数学世界真是太美了.就是这些对称性，可以用“点线”对称、“点点”对称联系起来，沟通函数与方程、数与形、代数方法与几何方法的关系，形成数学的和谐美、奇异美，我越来越喜欢数学了.

生9重解“题目”和“变式”，内化、累积了解题经验；生10通过重新解题，取得了部分研究成果；生11通过内化、整理，形成了对对称性新的认识和情感经验.通过“代表作品”展示，向学生传递着“有布置就有检查，有检查就有评价”的信息，为学生提供了更为丰富的交流平台.通过这个平台，可以使错误的、片面的数学活动经验得以澄清，可以使模糊的、片面的数学活动经验逐渐明晰，可以使内隐的数学活动经验不断外显，可以使肤浅的数学活动经验逐步深刻，从而实现不同个体的数学活动经验的进一步拓展、传递与分享，促进数学活动经验的重组或顺应，凸显这个环节的反思学习、研究学习的价值.

五、反馈检测，强化提升活动经验

“个体基于特定的数学活动获得的数学活动经验，并不是静态的，固定不变的，而是具有一定的生长性，是可以不断发展变化的”，呈现出动态性.从高考应试的角度来看，数学解题是捕捉信息、模式识别、快速反应、沉着作答、优化组合等的心智过程.因此，对于核心内容、重点思想方法的解题教学，教师还应该安排反馈检测活动，以通过后续活动获得新的经验，强化、提升先前的经验，不断实现经验的条理化，使之自然地迁移到新的数学活动和数学情境之中，提高学生高考的应试能力、策略和水平.

（三天后）师：请大家用5分钟时间速解下面的题目，要求写出简要过程，统一上交.

题目：（2013年湖南理8）在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后，又回到点P（如图6）.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）.

（师在“数学园地”展示学生的“代表作”，公布检测情况）

生12：如图7，以A为原点，AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（4，0）、C（0，4）.

设P（t，0），求得点P关于y轴的对称点P1（-t，0），点P关于直线BC：x+y=4的对称点为P2（4，4-t）.根据反射原理，P1、R、Q、P2四点共线，求得直线P1P2即直线RQ的方程为

全班48人参加检测，有39人给出了正确答案，拿下了这道高考选择“压轴题”，正确率达到81%.

对于一个数学基础不够好的高二平行班级（教学顺序1→4→5→2→3）来说，有这样的正确率实属难得.从生12的解答过程可以看出，他不仅理解了原题所涉及的数学知识、掌握了解答原题的思想方法，而且具有原题的操作经验、探究经验、思考经验、应用经验，能够创造性地运用坐标法和方程思想解决此问题.根据“72小时”效应，教师安排三天后的反馈检测活动，有利于了解解题教学效果、强化升级学生的活动经验.所谓“72小时”效应，就是假如有一个灵感，要争取在72小时内付诸行动.过了72小时，或许没有当初激动，转向其他事情，或许已经淡薄，只有一点印象.在学生开始淡薄、遗忘之际，教师提供“后续活动”机会，使学生的解题经验自然地迁移到新的数学活动和数学情境之中，有利于消除“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的现象，提高学生高考的应试能力、策略和水平.尽管高考考场上不会有5分钟解答一个选择题的时间，但是平时探究典型问题解法时还是要给足学生思考、活动的时间，为后续活动提供时间、经验保障，以凸显这个环节的思维价值.

数学教学是数学活动的教学.学生在各种数学活动中生成、拓展、提升与交流数学活动经验的过程，同时也是他们获得数学的基础知识、基本技能与基本思想的过程.其实，上述关于核心内容、典型思想方法的解题教学“五环节”，解答的不仅仅是一个题目，而是还原了基于学生的活动经验，丰富、提升他们的活动经验的一个完整过程，它形成生成学生数学学习情感、数学解题智慧、数学应试能力、数学素养的“加强链”和有机整体，不断转变高中学生的数学学习方式，促进他们的思维运动和心智发展.

1.马文杰，鲍建生.论“数学活动经验”的基本特征［J］.数学通报，2013（9）.

2.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3-5）.

3.章建跃，陈向兰.数学教育之取势明道优术［J］.数学通报，2014（10）.

4.刘绍学.普通高中课程标准教科书A版·数学2（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.A