细化概念教学过程揭示数学本质*——以“三角函数的周期性”教学设计为例

☉江苏省怀仁中学 董荣森

☉江苏省无锡市锡山区教育教研室 姚敬东

细化概念教学过程揭示数学本质*
——以“三角函数的周期性”教学设计为例

☉江苏省怀仁中学 董荣森

☉江苏省无锡市锡山区教育教研室 姚敬东

一、问题提出背景

记得2012年11月江苏省第八届高中数学特级教师高层论坛在苏州十中举行，笔者有幸跟随本校的两位数学特级教师（现已经退休）参加了此次活动，观摩了一节题为“三角函数的周期性”的示范课.当时笔者正参加无锡市数学学科带头人评选，在上课环节中通过抽签方式决定上课内容，恰好抽到的也是这节内容.如何上好这一节概念课？笔者作了一些思考与尝试.我们知道，对“周期”概念学生已有直观的感受和体验，因此对“周期性”概念的感性认识应该不存在问题.但对于抽象化的“三角函数的周期性”概念的理性认识，可能存在着一定的困难，如何帮助学生更好地理解概念？由此引发了笔者的思考与尝试.数学概念教学历来在数学教学中处于核心地位，值得每一位高中数学教育工作者研究与思考.但从教学中发现，很多学生在概念学习时没有把握数学对象的本质属性或者对数学概念的本质属性理解不够深刻从而导致学习困难.《普通高中数学课程标准（实验）》也明确指出：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学思维本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里……，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.”这一理念要求教师在进行概念教学时要细化教学过程，充分运用问题表征的多元性，合理地将描述性表征与直观性图像表征进行互化，揭示数学本质.

笔者试图在多元表征理论的指导下，以“三角函数的周期性”这节课为例进行设计和分析，就在数学教学中如何“细化概念教学过程，揭示数学本质”作了一些探讨，以飨读者.

二、内容解读与教学定位

“三角函数的周期性”是高中“三角函数”的一个重要性质，是研究任意角三角函数其他性质的基础，也是函数性质的重要补充．本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图像“周而复始”的变化规律及特征的感知，让学生在建立比较牢固理解周期性的认知基础上，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图像“周而复始”的变化规律，即从形与数的表征角度揭示周期函数概念的数学本质．

正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的“单摆运动”、“简谐运动”、“机械波”等知识有着密切相关的联系．在数学和其他领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，在理论知识和实际问题之间架起了一座桥梁．

通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其他性质打下坚实的基础．所以本课既是以前所学知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．

三、教学环节与设计意图

【教学环节1】情境创设

问题1：2012年是农历龙年，则再过多少年又是龙年？再过12年呢？给我们的印象是什么？

生1：过12年，还是龙年；循环、周而复始.

问题2：你还记得物理中的单摆运动吗？给我们的印象是什么？

生2：重复、每隔一定时间出现一次.

问题3：你能举出我们生活中一些“周而复始”的例子吗？

生3：每星期7天，每周5节数学课.

归纳总结1：海水潮涨潮落，春、夏、秋、冬四季更替，钟表上的时、分、秒针不厌其烦地做着圆周运动，……这一些都给我们以“周而复始，重复出现”的感觉，我们把这些现象就叫“周期现象”.

设计意图：新课引入，仁者见仁，智者见智，对于本节课来说，笔者见过很多通过创设问题情境引入，发现千遍一律，如：今天星期三，再过多少天又是星期三？（幼儿园孩子都知道）有的用白居易的诗“离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生”.这种老一套的引入，笔者认为有的层次实在太低，也没有什么新意.于是笔者结合当时2012年是龙年，对学生进行一次爱国主义教育，龙是中华民族的象征，我们都是龙的传人，今年是龙年，再过多少年又是龙年？充分发挥问题表征的多元性，有利于激发学生学习数学的热情.

【教学环节2】学生活动

前面我们已经学习了三角函数，三角函数是刻画圆周运动的数学模型，“周而复始”的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中.

不知大家是否还记得三角函数线？正弦线MP“站在x轴上（起点在x轴上）”，即sinx=MP；余弦线OM“躺在x轴上（起点是原点）”，即cosx=OM.如何来刻画三角函数线“周而复始”的现象？（以正弦线为例，如图1）（动画演示）

从形的角度：当动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重复出现一次.同时还可以看到，当点P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.从数的角度：对任意x∈R，都有sin（x+2π）=sinx成立.

同理，两角的余弦函数线的关系如何？三角函数值的关系如何？可以得出怎样的结论？正弦函数和余弦函数的这种性质叫做三角函数的什么性质？

归纳总结2：sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx，正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.若记f（x）=sinx，则对于任意的x∈R，都有f（x+2π）=f（x）.

设计意图：笔者引导学生先从熟悉直观的“形”去观察，紧接着又运用抽象的“数”来加以刻画三角函数正弦线“周而复始”现象.数学问题的呈现有很多方式，为了帮助学生真正理解概念中“对任意x∈R”，笔者充分发挥多媒体的作用与功能，运用问题的多元表征对过程进行细化，由具体（图形语言）到抽象（数学语言），由感性认识上升到理性认识，减轻了学生的认知负荷，更有利于学生对三角函数“周期性”概念的认知、理解与构建.

【教学环节3】建构数学

1.周期函数定义

请同学们回忆：如何用数学语言来刻画函数的奇偶性？

如果函数f（x）对于定义域里的每一个值x，都有：

（1）f（－x）=f（x），那么f（x）叫做偶函数；

（2）f（－x）=－f（x），那么f（x）叫做奇函数.

类比：如何用数学语言刻画函数的周期性？

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

强调三点：（1）非零常数T；（2）定义域内的每一个x值；（3）都满足f（x+T）=f（x）.

练习1：判断下列说法是否正确.

（3）若函数f（x）的周期为T，则kT（k∈Z，k≠0）也是f（x）的周期.

设计意图：通过类比函数奇偶性的定义，让学生自己归纳得出周期函数的定义，同时教师强调“对定义域内的每一个x值”，而不是某一个具体的值，引导学生从本质上去主动构建周期函数的定义.通过练习1的设计，目的是引导学生对三角函数周期性概念的进一步辨析与理解，澄清学生对周期性概念的一些模糊甚至错误认识，起到巩固与深化的作用.

问题4：你能够从数和形的角度去理解周期T吗？

从数的角度看：T满足f（x+T）=f（x），T是自变量的改变量；从形的角度看：它们的图像应该是“周而复始”、“循环重复”出现，T就是一个循环的长度．

问题5：2π是正余弦函数的周期，根据周期定义，还能找到类似的周期吗？一个周期函数的周期有多少？这样计算三角函数周期时，答案就不唯一了，怎么办？

2．最小正周期定义

对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期．

注意：为避免引起混淆，今后所说的周期，如果不加特别说明，一般都指最小正周期．

练习2：（1）正弦函数、余弦函数的最小正周期为多少？（2π）

（2）正切函数f（x）=tanx的最小正周期呢？（π）

（3）函数f（x）=c是不是周期函数？（是）

（4）是不是所有的周期函数都有最小正周期？（f（x）=c没有最小正周期）

设计意图：笔者有意识地引导学生从数与形的角度去理解和构建最小周期的定义，充分运用问题表征的多元性，合理地将描述性表征与直观性图像表征进行互化，揭示周期性概念的本质.从学习过程来说，数学理解实质上就是外在表征内化与内在表征外化的相互作用的过程；从学习结果来说，数学理解其实就是多元外在表征转化为多元内在表征，成为数学认知结构的有机组成部分.

【教学环节4】数学应用

例1求下列函数的周期：

解析：（1）因为cos2x=cos（2x+2π）=cos2（x+π），即f（x+π）=f（x），所以自变量x只要并且至少要增加到x+π，函数f（x）=cos2x的值才能重复出现，所以函数f（x）=cos2x的周期是π．

归纳总结3：（1）函数y=Asin（ωx+φ）及函数y= Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0）的周期T=；（2）函数y=（fx）的周期为T，则函数y=A（fωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0）的周期为

设计意图：数学课堂教学不仅要传授给学生知识与方法，而且更要把数学的思想、本质规律及内部联系等“灵魂”性的东西揭示出来，内化为学生的素质.笔者通过例题的分析与探究，引导学生归纳总结一般性的规律和结论：（1）根据函数图像求函数周期的方法及函数周期性的简单运用；（2）求函数y=Asin（ωx+φ）与函数y= Acos（ωx+φ）周期的一般性结论，收到了良好的效果.

四、思考与感悟

1.对教学内容的理解

函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视，也不能因其难而回避.概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识、理解和构建是一个循序渐进的过程，不可能一下子就十分深刻．因此，笔者进行概念教学时，除了逐字逐句分析，通过例题分析与练习训练，让学生暴露出问题，通过老师的引导，让学生对概念的理解逐步深入与内化.

2.细化教学过程，揭示数学本质

高境界的数学教学必须揭示数学本质.数学本质是一个数学哲学问题，学术界对它的理解有不同的视角.我们在课堂教学中强调的数学本质，其内涵一般包括：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神的体验等方面.［1］北京大学张顺燕教授曾精辟地指出：教学有三种境界，即授人以业、授人以法、授人以道.授人以业，就是韩愈说的“授业”，它强调了所授知识的准确性问题；授人以法，就是教给学生学习方法，使他们学会学习，它强调了所授知识的深刻性问题；授人以道，是教学的最高境界，就是教学不但要使学生达到知识与方法的融会贯通，而且更要把数学的思想方法、本质规律及内部联系等“灵魂”性的东西揭示出来，使他们形成能力，为他们的终身发展打下坚实的基础，它强调了所授知识的数学本质问题.在教学过程中，笔者通过细化每一个教学环节，并且每一个环节结束之后都引导学生进行总结与归纳，提炼数学最本质的东西.

总之，作为数学教师，以细化概念形成过程拉近数学与学生的距离，让学生感受到它的火热，享受数学中生动的故事；以有效的数学活动为支撑，让学生在活动中进行主动建构，欣赏和感受数学的无穷魅力.“揭示数学本质，发展思维能力”是数学教学永恒的主题，这一主题应该成为每一位数学教师心中的教学目标和教学中的座右铭！

1.陈柏良.课堂教学要呈现“数学本质”［J］.中学数学教学参考（中），2006（1-2）.

2.董荣森.精心设计教学环节细化概念教学过程［J］.中学数学（上），2015（2）.

3.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2003.F

江苏省教育科学“十二五”规划2013年度普教重点自筹课题——多元表征在数学问题解决中的应用研究（B-b/ 2013/02/063）的阶段性研究成果.