探寻以必要条件为突破口的解题途径

☉湖北省宜昌市一中 吴清华

探寻以必要条件为突破口的解题途径

☉湖北省宜昌市一中 吴清华

我们知道，如果条件A不具备时，结论B一定不能成立（或者说结论B成立时，条件A必定具备），那么，条件A就叫做结论B的必要条件.必要条件不一定能保证结论成立，但是要想保证结论成立，就少不了它．数学问题的求解大多追求题设成立的充要条件，若能紧紧抓住其成立的必要条件，以此为解题的突破口，往往比直接探寻充要条件更方便、更便捷，更容易入手，当然也必须验证其充分性.

一、从判别式寻求突破

例1已知集合A={（x，y）|x2+mx-y+2=0}，B={（x，y）| x-y+1=0，0≤x≤2}，若A∩B≠Ø，求实数m的取值范围.

分析：本题如果从二次方程的区间根角度思考，则讨论较复杂，但若先从方程有解的必要条件Δ≥0出发，将目标量m的范围缩小，再反过来研究范围的充分性，则求解便顺畅通达.

因为A∩B≠Ø，

所以方程①在区间［0，2］上至少有一实数解.

首先，由Δ=（m-1）2-4≥0，得m≥3或m≤-1.

当m≤-1时，由x1+x2=-（m-1）>0及x1x2=1>0知，方程①有两个互为倒数的正实根，故必有一根在区间内；

当m≥3时，由x1+x2=-（m-1）<0及x1x2=1>0知，方程只有负根，不符合要求.

故m∈（-∞，-1］.

二、从值域寻求突破

例2已知函数f（x）=ax2+bx（a≠0），满足：方程f（x）= x有等根且f（5-x）=f（x-3），是否存在实数m，n，使f（x）的定义域为［m，n］时，值域为［km，kn］（k为大于1的常数）？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.

分析：本题乍一看似乎无从下手，如果分类讨论，则要讨论多种情况.若注意到我们研究的对象是二次函数，题设中有值域的范围，因此可从f（x）的值域整体，考虑其满足的必要条件，从而避免讨论.

所以f（m）=km，f（n）=kn，解得m=2（1-k），n=0.

故m，n是存在的.

三、从特殊值寻求突破

例3设a0为常数，且an=3n-1-2an-1（n∈N+）.

（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an-1，求a0的取值范围.

分析：对于（Ⅱ），可结合（Ⅰ）的结论，用作差法将其转化为恒成立问题进行求解，但对幂的演算要求高，一般的同学会望而却步.若注意到题设成立的必要条件，运用特殊值探求a0的范围，然后证明其充分性，问题便迎刃而解.

解：（Ⅰ）证明略.

（Ⅱ）因为a1-a0=1-3a0，a2-a1=6a0，

现证它也是充分条件：

因为an-an-1=3n-1-3an-1

综合得，使an>an-1（n∈N+）成立的a0的取值范围为

四、从猜想中寻求突破

例4已知C0：x2+y2=1和C1：=1a>b>0（），那么，当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切、与C1内接的平行四边形？并证明你的结论.

分析：本问题结论唯一要找条件，且是充分必要条件，先凭直觉感知平行四边形是一个菱形，猜想必要条件，然后再证其充分性.

必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心

假设结论成立，则对点（a，0），有（a，0）为顶点的菱形与C1内接，与C0外切，（a，0）的相对顶点为（-a，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在y轴上，为（0，b）和（0，-b），菱形一条边的方程为，即bx+ay=ab，由于菱形与C0外切，故必有，整理得，必要性得证

同理，点O到QR，RS，SP的距离也为1，故菱形PRQS与C0外切，充分性得证.F