一道IMO预选题加强的再探究

☉陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平

一道IMO预选题加强的再探究

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1990年IMO预选题中有如下一道不等式试题.

问题：设a、b、c、d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数，

河北王亚辉先生在文1里，将此不等式进行了加强.

加强：设a、b、c、d是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数，求证：

经过研读，笔者发现，加强的两个不等式中条件等式是多余的，并且第二个不等式是第一个的弱化，即有如下结论.

加强1：设a、b、c、d是非负实数，求证：

证明：应用2元算数-几何平均值不等式，得：

所以不等式②成立.

应用柯西不等式，知：

结合不等式②，立知不等式③成立.

通过探究不等式②还可以得出如下的加强不等式.加强2：设a、b、c、d是非负实数，求证：

至于不等式④的证明，留给有兴趣的读者去探究.

在不等式④中，取d=0，或c=d=0，并修改系数，容易获得如下简单不等式.

特例1：设a、b、c是非负实数，求证：

特例2：设a、b、c是正实数，求证：

1.王亚辉.一道IMO预选题证法探究［J］.数学教学，2015（4）.

2.安振平.由一个代数恒等式引出的不等式［J］.数学通讯（下），2014（12）.A