激活学生思维提高课堂效率——导数法判断函数单调性教学中的“问题导引”

☉江苏省海安县曲塘中学 倪铜

激活学生思维提高课堂效率
——导数法判断函数单调性教学中的“问题导引”

☉江苏省海安县曲塘中学 倪铜

随着新课程理念的贯彻落实，高中数学课堂逐渐由以教师为主的“传授式”教学向以学生为主的“探究式”课堂过渡，因此，如何“有效激活学生思维、打造高效教学课堂”成为广大教育工作者追求的目标.笔者用“问题导学”的模式导引课堂教学，收到了良好的效果，下面以导数法判断函数单调性的教学为例就“问题导学”法的应用进行探究，与读者分享.

一、问题的导出

问题1：画出函数f（x）=2x的图像，在f（x）的图像上任取点A，B，C，…，分别过点A，B，C，…作曲线的切线.

生1：如图1所示.

生2：如图2所示.

师：同学们仔细观察这两个图像，能发现什么规律？

生3：函数f（x）=2x在其定义域内为单调递增函数，在f（x）上任取一点作切线，切线的斜率均为正值；函数f（x）在其定义域内为单调递减函数，在（fx）上任取一点作切线，切线的斜率均为负值.

师：上节课中，我们学习了导数的几何意义，一起来回顾一下.

生众：函数f（x）在某点x=x0处的导数值为函数在该点的切线的斜率，即k=f′（x0）.

师：由图1和图2我们能得出什么结论？

生4：当函数f（x）单调递增且f（x）在其定义域内可导时，有f′（x）>0；当函数f（x）单调递减且f（x）在其定义域内可导时，有f′（x）<0.

师：据此我们可得出函数单调性的判定法则是？

生5：（1）如果在区间（a，b）内，f′（x）>0，则f（x）在此区间是增函数，（a，b）为f（x）的单调增区间；（2）如果在区间（a，b）内，f′（x）<0，则f（x）在此区间是减函数，（a，b）为f（x）的单调减区间.

评注：部分教师在讲解此部分知识时，让学生记忆利用导数的正负来判断函数的单调性法则，被动地接受，结果是学生不清楚问题的来龙去脉，只知其然不知所以然.本文中在此知识点的教学中，笔者只充当了课堂的引导者，规律的发现及结论的得出都是通过学生的观察、分析得出的，整个教学过程中学生积极参与其中，由被动接受者转变为主动探究者，落实了新课改的理念.

二、问题的拓展

师：同学们是否认同生6的解法？

生众：认同.

问题4：判断函数f（x）=x3在R内的单调性.

生7：函数f（x）=x3是我们熟悉的幂函数，f（x）在R内单调递增.

师：能否利用导数来判断此函数的单调性？

生8：求导得f′（x）=3x2，在区间R内，3x2≥0，所以f（x）在R内单调递增.

师：请同学们比较一下问题3与问题4的解答，有何异同？

生9：当函数f（x）在某区间内为单调递增函数时，可能包括导数为零的点，故若函数f（x）在某区间内单调递增，则应有f′（x）≥0；若函数f（x）在某区间内单调递减，则应有f′（x）≤0.

师：那么我们能得出什么结论？

生10：函数f（x）在其定义域内可导，则“f′（x）>0”是“f（x）为增函数”的充分不必要条件.原因是当f（x）为增函数，f′（x）可能含有有限个点的导数值为零.即函数f（x）在区间［a，b］内可导，则“f（x）在区间［a，b］内单调递增（递减）”是“对任意的x∈［a，b］都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）”的充分条件.

师：请生6更正一下问题3的解答.

评注：对于问题3的解答所存在的错误，教师并没有直接指出，而是通过一个引例问题，使学生自己认识到了错误所在，亲身感受到了错误的发生、发展及纠错的过程，在头脑中形成了深刻的印象，从而有效地避免了同类错误的再次发生.

三、问题的引申

问题5：画出函数g（x）=lnx的图像，在g（x）的图像上任取点A，B，C，…，分别过点A，B，C，…作曲线的切线.

生11：如图3所示.

师：请观察图3与图1，能发现什么规律？

生12：函数f（x）=2x与函数g（x）=lnx在其定义域内均为增函数，但函数f（x）递增的频率较快，g（x）递增的频率较慢.函数f（x）切线的斜率逐渐增大，函数g（x）切线的斜率逐渐减小.

师：据此可得出什么结论？

生13：函数f（x）在其定义域内为可导函数，若其导函数f′（x）为单调递增函数，则f（x）为上凹函数；若f′（x）为单调递增函数，则f（x）为下凸函数.

问题6：如图4，半径为2的⊙O与直线MN相切于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交⊙O于点Q，设∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S= f（x），那么f（x）的图像大致是图5中的（）.

生14：可先考虑特征情况：当x=0时，S=0；当x=π时，S=2π；当x=2π时，S=4π.

再考虑一般情况：当x∈（0，π）时，S=S扇形OPQ-S△OPQ=×2×2sinx=2x-2sinx，S′=2-2cosx>0，所以S= f（x）在x∈（0，π）时单调递增.又因为S″=2sinx>0在x∈（0，π）恒成立，所以S=f（x）在x∈（0，π）时为下凸函数.

同理当x∈（π，2π）时，S=f（x）为上凸函数.

因此选项为D.

评注：导数作为一种重要的解决函数问题的工具，在处理函数问题中有着广泛的应用，最重要的应用之一——利用导数符号来判断函数的增减，而对于某些问题我们不仅要知道函数的增减，而是要知道其增减的快慢.本题探究解法利用导函数的增减性严格地得出了函数递增速度的快慢，较教材解答更体现出数学问题解答的严谨性.

综上，数学课堂中的问题多姿多彩，数学因为问题的存在而具有重大的价值和意义.在高中数学的教学中，通过问题导引，将知识以问题的形式呈献给学生，从而引导学生对问题进行探究得出一般结论，既巩固了知识，又锻炼了能力，而且增强了学生和教师之间的“互动”，提高了课堂效率.在高中数学的教学过程当中，将“问题”设成课堂的核心，把“探究”当成达成教学目的的手段，这样的课堂教学将教师的教和学生的学统一成整体，在教师的引导下，使学生全身心地投入到课堂教学中来，既提高了课学效率，又落实了新课程理念.因此问题导引的教学模式值得广大教育爱好者深入探究.F