识图观图作图用图——谈数形结合思想在函数中的应用

☉江苏省丰县宋楼中学 郭旭东

识图观图作图用图
——谈数形结合思想在函数中的应用

☉江苏省丰县宋楼中学 郭旭东

笔者在高三复习教学中发现，尽管数形结合思想学生早已耳熟能详，也深谙其义，但对它“具体有哪些应用？怎么用？”却不甚了然，以至在面对具体问题时依旧难以入手.究其原因，笔者认为是缺少对其应用场合的归纳及操作层面的指导.本文下面以近几年的高考、模考试题为例，谈谈数形结合思想在函数中的应用.

一、识图

“识图”是指在给出函数解析式时，如何利用函数的性质匹配其图像.函数的性质有定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、极值、最值、极限等，根据它们，即可了解图像的大致走势与分布，再结合选择支，不难找出正确答案.

例1（2013年福建卷（文））函数f（x）=ln（x2+1）的图像大致是图1中的（）.

解析：该题考查函数值域，因为f（x）=ln（x2+1）≥ln1= 0（当x=0时等号成立），所以B、C、D均错，故选A.

点评：本题也可根据：（1）f（x）为偶函数（图像关于y轴对称）；（2）f（0）=0（过原点），从而获解.

二、观图

“观图”是指在给出函数图像时，如何利用图像提供的信息，推测函数的性质.其着眼点通常有：图像与两轴交点的位置、图像在两轴上的投影区间（体现函数的定义域和值域），以及单调性、对称性、极值点、渐近线等.

例3（2015年安徽卷（文））函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如图3所示，则下列结论成立的是（）.

A.a>0，b<0，c>0，d>0

B.a>0，b<0，c<0，d>0

C.a<0，b<0，c>0，d>0

D.a>0，b>0，c>0，d<0

解析：易知函数在y轴上的截距为正，所以d>0.因为f′（x）=3ax2+2bx+c，且函数f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，所以f′（x）<0的解集为（x1，x2），所以a>0.又极值点x1、x2均为正数，所以可得b<0，c>0，故选A.

点评：“观图识性”是数形结合思想的重要体现.本题中，先由函数图像与y轴相交点的坐标确定d的正负，再由单调区间及x1，x2的正负确定a，b，c的正负.

A.a>0，b>0，c<0

B.a<0，b>0，c>0

C.a<0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c<0

解析：观察图像可知，函数在y轴上的截距为正，且函数的竖直渐近线x=-c也为正，所以b>0，c<0.又当x>-c时，f（x）<0，所以a<0，故选C.

点评：对分式函数而言，使分母为零的x是函数的竖直渐近线；当分母趋于无穷（正无穷或负无穷）时，若函数值趋于某一常数，则该常数为函数的水平渐近线.故此函数存在两条渐近线：x=-c和y=0，由此也可确定a<0（例如，观图可知，当x→-∞时，f（x）→0+，又分母恒正，所以a只能小于零）.

三、作图

“作图”是指根据函数的解析式（若没有解析式则根据函数的性质），而描出函数大致图像的过程.作图是数学的一项基本功，更是数形结合的前提.在某些函数问题中（如函数的零点相关问题），正确的作图基本就意味着解题的成功.但如何进行作图？其步骤为：（1）根据函数的类型，先作其基本函数图像；（2）再看原函数可由此基本函数经过怎样的变换（平移、伸缩、对称（包括翻折）等）而得到.因此，首先，要对十类基本初等函数（一次、二次、正比例、反比例、指数、对数、幂、三角、“对勾”、“蝴蝶”）的图像了然于胸；其次，还需熟悉函数图像的种种变换.具备上述能力，方可称为“能作图”.

例5（2015年湖南卷（文））f（x）=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是_________.

解析：由函数与方程思想知，函数f（x）有两个零点，即方程b=|2x-2|有两个解，也即直线y=b与函数y= |2x-2|的图像（如图5）有两个交点.观察图像即知，0

点评：函数y=|2x-2|的作图方法为：先作y=2x图像，将其图像向下平移2个单位（或图像不动，将坐标系向上平移2个单位），再将所得图像在x轴下方的部分关于x轴翻折即得.此题在作图时极易忽略图像存在渐近线（因为，当x→-∞时，2x→0+，y=|2x-2|→2，所以图像存在渐近线y= 2），从而导致解题错误.

解析：由函数与方程思想知，函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，即方程b=f（x）+f（2-x）恰有4根，也即直线y=b与函数h（x）=f（x）+f（2-x）的图像恰有4个交点.易知h（x）= h（2-x）（关键点），所以h（x）的图像关于直线x=1对称.故可先考虑h（x）在x>1时的图像，然后由对称性得到其整体图像.易知当x>1时，h（x）=所以h（x）的大致图像如图6，观察图像易知，当2时，直线y=b与函数y=h（x）的图像有4个不同的交点，故选D.

点评：上述解法在作h（x）的图像时，首先考虑h（x）的性质，然后作图，此举大大简化了作图的难度，值得细细体会.

四、用图

“用图”是指如何利用函数的图像进行解题.通常体现在用图像解不等式、用图像判断函数零点的个数及用图像自身的性质（如对称性）进行解题等方面.尤其在函数零点相关问题中，“用图”的具体方法常与函数与方程思想密切相关，常会用到如下结论：（1）函数F（x）=f（x）-g（x）的零点⇔方程（fx）=g（x）的解⇔方程组的解中的x值⇔同一坐标系下，函数y=f（x）的图像与函数y= g（x）的图像交点的横坐标；（2）函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈D上有n个零点⇔方程f（x）=g（x）在x∈D上有n个解⇔方程组在x∈D上有n组解⇔同一坐标系下，函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像在x∈D上有n个交点（其中n∈N）.能将“数”与“形”对应的意义搞清，并用之于解题，方可称为“会用图”.

例7（2015年北京卷（理））如图7，函数f（x）的图像为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集为（）.

A.（-1，0］B.［-1，1］

C.（-1，1］D.（-1，2］

解析：作出函数y=log2（x+1）的图像（如图7），观察图像易知，不等式f（x）≥log2（x+1）的解集为（-1，1］，故选C.

点评：不等式f（x）≥g（x）的解集为：同一坐标系下，函数y=f（x）在y=g（x）上方的图像在x轴上的投影区间（包括交点）.本题若用代数方法，需求出函数f（x）的解析式，然后解两个不等式，最后求并集，这样既麻烦又容易出错.

A.无论a为何值，均有2个零点

B.无论a为何值，均有4个零点

C.当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点

D.当a>0时，有4个零点；当a<0时，有1个零点

解析：令f（x）=t，则函数y= f（f（x））+1的零点即为方程组的解中的x值.先画方程②两边函数y=f（t）与y=-1的图像（如图8），考查t的取值范围：当a>0时，有两个交点，即方程②有两个t，不妨设t1，t2（t1< t2），其中t1<0，00时，函数y=f（f（x））+1有4个零点；同理可得，当a<0时，有1个零点，故选D.

点评：对于y=f［g（x）］这样的复合函数而言，用数形结合法考虑其零点的方法为：（1）令t=g（x），将f［g（x）］=0转化为（2）先作出方程②两边函数y=f（t）与y=0的图像，观察其交点横坐标t的值，将此t的值代入方程①，再作出方程①两边函数y=g（x）与y=t的图像，观察其交点情况，从而得出相应结论.“对方程两边的函数分别作图，并观察其交点”，此举在函数零点问题中至关重要，是函数与方程思想的精髓.

例9（2015年温州质检卷（理））已知函数f（x）= |log2|x-1||，且关于x的方程［f（x）］2+af（x）+b=0有6个不同的解x1，x2，x3，…，x6，则x1+x2+x3+…+x6的值为_________.

解析：如图9，先作出函数f（x）的图像，易知图像关于直线x=1对称.令（fx）=t，由题意知，方程组的解中的x有6个，不妨设x10.由函数f（x）自身的对称性知，x1+x6=x2+x5=x3+x4=2，故所求x1+x2+x3+…+x6的值为6.

点评：解决本题的关键是：（1）能正确作出函数f（x）的图像（利用对称、平移、翻折）；（2）能通过换元，将复合函数的方程转化为简单函数的方程组；（3）能理解并运用上述函数与方程思想的相关结论.

解析：如图10，先作出分段函数f（x）的图像.由题意知，存在直线y=t与f（x）的图像交于4点，所以|log3a|= |log3b|，即ab=1.又抛物线的对称轴为x=5，所以c+d=10.令z=abcd，则z=cd=c（10-c），观察图像易知3

点评：解决本题的关键是：（1）能正确作出分段函数f（x）的图像（由每段上的函数图像合并而得）；（2）能通过图像看出a，b，c，d各自的取值范围.

笔者常有这样的体会：许多数学问题与“形”结合起来，问题就容易理解且印象深刻；借助“形”的形象思维，问题常可化难为易、巧妙解决.然而，实践证明，如果不能解决数形结合在操作层面的“技术”问题，那么尽管数形结合有诸多好处，它也不过是教师口中的“漂亮”词藻，而学生却难以真正的心领神会、运用自如.本文通过“识图、观图、作图、用图”四个方面阐述了数形结合思想在操作层面的具体应用，希望能对学生运用数形结合思想解决函数问题有所帮助.

1.王勇，李燃.点击2011年高考数学中的图像试题［J］.中学数学（上），2011（9）.F