数学复习课例题设计的若干误区分析

☉福建省上杭一中 陈玉生

数学复习课例题设计的若干误区分析

☉福建省上杭一中 陈玉生

复习课是数学教学中的重要课型，例题教学是其重头戏.数学主干知识的深化、重点和难点的突破、思维能力的提升等都需要通过复习课例题教学来实现.复习课例题设计是否合理有效，直接影响课堂教学的质量.然而，由于一些教师对复习课例题教学功能的理解出现偏差，在设计中出现了值得警惕的误区，当引以为戒.

一、忽视难易程度，伤学习积极性

对复习课来说，激发学生的学习热情更重要.因此，设计复习例题不可“为难学生”，不宜把难题放在前面，要合理控制难易度，顾及全体学生，让其感觉可亲可及，“跳一跳就摘得着”最为合适.若学生做一题就成功一题，主动学习的热情必会倍增.否则，将伤害他们做题的积极性.

案例1：某教师复习含参数的二次函数最值问题的例题：若函数f（x）=x2-2x+3（a-1≤x≤a+1）的最小值为18，求实数a的值（这是本节课给出的第一个例题）.

有经验的老师都明白，学生做错这样的题目是难以避免的.原因在于该教师一开始就给了一个难题，学生对为什么要讨论和怎样讨论难以下手.

再设计：

①已知函数f（x）=x2-2x+3，求其最小值；

②已知函数f（x）=x2-2x+3（2≤x≤4），求其最小值；

③已知函数f（x）=ax2-2ax+3（0≤x≤4）的最小值为2，求实数a的值.

在此基础上，再给出：

④已知函数f（x）=x2-2ax+3（0≤x≤4）的最小值为23，求实数a的值.

最后再求教师给出的上述例题.

以上把例题设计成阶梯式的问题，不仅复习了基础知识，还将问题逐步向深层次推进，让学生充分利用已有的知识和经验，拨云见日，逐步蚕食，直至问题解决.既突破了教学难点，还能让不同层次的学生都参与学习，有利于整体教学质量的提高.

二、混淆考题例题，失教学有效性

考题与复习课的例题有不同的教学功能.前者主要考查学生对某些知识点的理解，某些技能或数学思想方法的掌握，不具“完备性”.后者主要帮助学生复习巩固所学知识，起到查缺补漏的作用，不应该是“片面性”的问题.因此，复习课不可随意选择各类考题，更不能不作任何修改就直接作为例题使用，从而失去教学有效性.

案例2：某教师复习不等式恒成立问题的例题：设函数f（x）=3x-ax3（a∈R），对任意x∈［1，2］，都有f（x）≤1成立，则实数a的取值范围是_________.

此题是某省的质检考题，可按主元分类讨论或用分离参数法求解.就填空题而言，在区间设置上倾向于分离参数思想的运用，但作为复习课的例题，显得“蕴味”不足.因为转化为ax3≥3x-1后，由x3＞0直接可转化为a≥恒成立，不利于分类讨论思想的渗透及方法间的比较，也失去了对最后结果取交集还是并集问题进行对比探讨的机会（这也是学生的一个易错点）.

再设计：将条件“x∈［1，2］”改为“x∈［-1，1］”.

通过再设计，完善了使用分离参数法的可能情况，让解法更具一般性，不但复习了含参问题的两种常用处理方法（离而求之和分而求之），开阔了学生的解题思路，还可对结果取交集还是并集问题展开探讨，有效渗透了分类与分步的数学思想.

三、不分教材教辅，丢基础导向性

如今复习教辅资料的更新很快，但因时间仓促，题目设计欠斟酌，无论在选题还是解法上，都无法很好地体现“例”的示范作用.若教师盲目追求教辅资料的“新、难”题，天马行空式地复习，学生对数学基础知识的理解依旧不会好转.因此，复习课要再次引领学生回归教材，重视教材典型题目的基础性和示范性，充分挖掘其复习功能.

案例3：某教师复习抛物线性质的例题：直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A、B两点.

此题主要考查抛物线的定义、焦点弦的性质、代数法的运用，发现动直线过定点（焦点）是学生的一个困难点.

再设计：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，且两交点的纵坐标分别为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（此题源于高二选修教材2-1作业）

探究1：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线为抛物线的准线，过点A、B作准线的垂线，垂足分别为M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F（即y1y2=-p2）.

探究2：（改变M、N的作法）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线l：x=为抛物线的准线，O为原点，直线OA、OB分别交准线于M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F（即y1y2=-p2）.

探究3：（变定点为动点）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线l：为抛物线的准线，C是抛物线上的动点，直线AC、BC与准线分别交于M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F（即y1y2=-p2）.

探究4：（变焦点、准线为极点、极线）抛物线y2=2px（p＞0），极点P（t，0），极线l：x=-t，C是抛物线上的动点，过P的直线交抛物线于B、C两点，直线AC、BC分别交极线于点M、N，则M、N的纵坐标之积为定值-2pt.

推广：设圆锥曲线E的一个焦点为F，相应的准线（定直线）为l，C为E上的动点，过F且斜率不为0的直线与曲线E交于点A、B，直线AC、BC分别交准线于M、N，则以MN为直径的圆过焦点F.

上述设计以抛物线为载体，复习和推广了圆锥曲线的很多共同性质，符合学生的认知规律，逐步探究更是活跃了他们的思维.回归教材目的是落实“三基”，以教材例、习题为素材，感知问题的发生、发展过程，明晰问题的来龙去脉，寻求问题的解决方法，探求结论推广的可能，揭示问题的本质特征，对学生和老师来说都很有必要.

四、忽视易错易混点，缺教学针对性

数学新授课的教学大多从正面入手，这是必需的，但易造成学生对知识的认识带有片面性.针对这种情形，复习例题的设计要紧扣知识的易错易混点，关注学生的薄弱环节，尽可能给他们提供补偿学习的机会，才能让教学更有针对性，突出巩固功能，实现“查缺补漏”的复习目标.

案例4：某教师在导数与函数单调性的复习公开课中的例题：若函数f（x）=x3-2x2-mx在［1，2］上为减函数，求实数m的取值范围.

笔者听课后与学生交流中发现，多数学生不清楚“由f′（x）=3x2-4x-m≤0在［1，2］上恒成立，得出m≥4”后，为什么还要检验m=4的情形，甚至有学生认为不检验答案也一样！

再设计：（1）若函数f（x）=x3-2x2-mx在［1，2］上为减函数，求实数m的取值范围；

针对易错易混的知识，增加对比性题组，让学生分析与比较，有利于破除思维顽疾，理清心中的纠结，从而更深入地理解知识.设计这样的例题能有效解决“会而不对，对而不全，全而不美”的解题失误，比正面说教更具实效.

五、淡化通性通法，欠普遍适用性

高考的宗旨是考查数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，强调“注重通性、通法，淡化特殊技巧”.而有些教师设计复习课例题时，不顾问题背景的典型性和解题方法的大众化，随意选用或照搬资料中的题目，迫使教师在教学中为了避开“解题障碍”去寻求捷径，让复习教学“捡了芝麻丢了西瓜”.

此题在复习用书中频繁出现，常利用几何法（利用圆心到直线的距离与半径的大小关系计算弦长）或代数法（联立直线与圆的方程，用公式计算弦长），得S△OAB=但在求此式最大值时计算烦琐，耗时多，技巧强，易使有些老师不讲上述方法，或随便提一下.换用圆的特殊性做：（θ为弦AB所对的圆心角），此时k=±1.

显然，改编前的设计容易让教者偏离教学主题，忽视通性、通法，这样的教学必会让优生“走火入魔”，让差生“信心尽失”.而再设计后，S△OAB的表达式简洁易算（用函数的单调性或基本不等式），既便于强化通法，也可推荐简捷的特殊解法，实现解题方法的普遍性和多样性.

六、忽略多解多变，挫思维灵活性

复习课不仅要完善学生的认知结构，还要提升思维品质，例题设计要关注其蕴含的数学知识和方法，要有利于引导学生从不同知识层面、用不同思维方式进行一题多解，并从中选择最简、最优的方法，提高思维的广阔性与创造性；也要广泛地对其进行变式引申，拓展出更多“形似质异”“形异质同”的新问题，发展学生思维的创造性，从而对问题本质及求解规律有更深刻的理解.

案例6：某教师复习圆锥曲线上的点到直线距离的最值问题的例题：求抛物线C：y2=x上的点到直线l：x-2y+ 4=0的最短距离.

解法1：设抛物线上的动点P（s2，s）（s≥0），则P到直线l的距离，其最小值为

解法2：设与直线l平行的抛物线的切线为x-2y+m= 0.联立x-2y+m=0与y2=x后，由相切得Δ=0，求出m=1.故所求最短距离就是x-2y+4=0与x-2y+1=0间的距离，即为

此题虽然可用换元法及数形结合的方法解决，但仍显“美中不足”，其蕴含的知识和方法还不够多.

再设计：将抛物线“y2=x”改为“y=-x2”.

同样是抛物线，y=-x2是学生熟知的二次函数，自然就多了函数的相关知识和方法，实现以最少的题目复习更多的知识.

解：设与直线x-2y+4=0平行且与抛物线y=-x2相切的切点为P（x，y），则切线的斜率k=y′=-2x.由-2x=得故切点坐标为从而求出抛物线y= -x2上的点到直线x-2y+4=0的最短距离为

因抛物线是一类圆锥曲线，故还可以进一步发散思考，拓展为：

题3：求圆x2+y2=1上的点到直线x-2y+4=0的最短、最长距离.

这种设计能克服单纯做题的机械模式，更大限度地发挥例题的教学功能及可拓展性，有效沟通了知识间的纵横联系，拓宽了学生的思考空间，提升了学生善于分析和应变的能力，让其体验到再发现、再创造的快乐.

七、缺乏整合综合，轻知识交汇性

数学复习要引导学生将知识与方法系统化、网络化，将所学内容连成线、织成网、铺成面.因此，设计复习例题要通盘考虑，关注基础知识的同时，要注重学科内的联系与综合，让学生感受数学的内在联系，尽可能让多个知识有机地整合在一起，使之通过复习进一步提升综合应用能力，尤其是高三二轮复习更要如此.

案例7：某教师高三数列二轮复习中的例题：设函数f（x）=x2，过C1（1，0）作x轴的垂线l1交函数f（x）的图像于点A1，以A1为切点作函数f（x）的图像的切线交x轴于C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f（x）的图像于点A2，依此类推得点An，记An的横坐标为an（n∈N*）.

（1）证明数列｛an｝为等比数列，并求其通项；

（2）设直线ln与函数g的图像交于点Bn，记（O为坐标原点），求数列｛bn｝的前n项和Sn.

此题的设计以函数为依托，集导数、数列、向量的数量积等知识为一体，意在考查学生对知识的迁移与转化、数据的整合与处理能力.这样的设计，能充分发挥例题复习的综合效能，达到“做一题、带一类、连一片”的效果.

例题教学是复习课的主旋律，如何设计例题是复习教学能否更加优质、高效的关键.复习课例题设计须谨慎求“精”，既要根据本班学生的实际，也要顾及复习的阶段性，抓重点、攻难点、补缺陷、升思维.

1.李宽珍.理清主线，变式推进，注重反思——从复习课《数列求和》的几个片段谈高三复习［J］.中学数学（上），2014（3）.

2.陈士芳.高三数学一轮复习不可忽视的几个环节［J］.中学数学（上），2012（10）.

3.江忠东.例谈高考数学复习课用题的选择［J］.中学数学教学参考（上），2014（6）.

4.孙居国.高三数学教学中选题的思考［J］.中学数学教学参考（上），2012（10）.