“思辨课堂模式”下指数函数的教学及其反思

☉江苏省苏州实验中学 章祥俊

·江苏省苏州市陈平名师工作室·

“思辨课堂模式”下指数函数的教学及其反思

☉江苏省苏州实验中学 章祥俊

“思辨课堂模式”是笔者所在学校所属的这个区级区域广泛推行的一种教学形式，它的课堂设计主要有以下五个部分：情景创设、自主学习、合作思辨、成果展示及点评提升.它的核心思想是将第一思考时间还给学生；将第一表达机会还给学生；将第一认知反思过程还给学生.“数学+思辨”是该模式的基本构成形式.“思辨课堂模式”强调的是：要把学习中的发现、探究、思考交流等活动凸显出来，使学生的学习更多地成为发现问题、分析问题以及解决问题的过程.笔者在江苏省青年教师优秀课评比活动中，按照“思辨课堂模式”设计并实施了“指数函数”的教学，荣获一等奖，得到了专家评委的赞誉.现呈现笔者的教学历程、专家点评及教后的反思，希望能给您带来启示.

一、教学过程简述

思辨1：定义的产生

教师：同学们，在前面的学习中，咱们已经把指数幂的运算从指数只能取整数推广到了可以取有理数.我们一起来看这样几道题目.

投影：计算：（1）1.52·1.50.5；（2）1.55.1÷1.51.1；（3）（1.52.6）2.

（学生自主解答，教师投影学生的解题过程）

教师：能比较这三个结果的大小吗？

（学生独立思考，并在小组交流后展示探究成果）

学生1：我是使用计算器得到结果的.

（其他学生笑）

教师：还有其他方法吗？

学生2：经过观察，我发现它们的底数均为1.5，而指数2.5＜4＜5.2，所以有1.52.5＜1.54＜1.55.2.

（学生交头接耳）

教师：为什么？能比较0.52.5、0.54、0.55.2的大小吗？

（学生先在小组内合作探究，然后进行全班交流）

学生3：我们组的结果是0.52.5＞0.54＞0.55.2.

学生4：我们组也是.

（这时课堂气氛已经相当活跃，学生都在努力向其他人展示自己的想法）

教师：1.52.5、1.54、1.55.2这几个数是否与某个函数有关？

学生5：好像与函数y=1.5x有关.

教师：你是怎么想到这个函数的？

学生6：底数1.5是不变的，把这些不同的指数换成变量x，我就想到了函数y=1.5x.

教师：很好，以前我们见过这种类型的函数吗？

学生7：课本第49页，古莲子14C的残余量y与年数x之间的函数关系y=0.999879x也是这种形式的函数.

教师：还能举出类似的函数例子吗？

教师：很好，大家能归纳出这种函数的定义吗？

设计意图：立足学生已有的认知基础，从学生已有的“指数幂的运算”入手，以“比较三个结果的大小”为抓手，激活学生的思维，让他们在大小比较的方法获得中，将前面遇到的知识进行整合，为新知的呈现奠定了坚实的基础.

思辨2：定义的归纳

学生独立思考，在小组交流后，展示归纳的结论：一般地，函数y=ax（a＞0，a≠1）叫做指数函数，它的定义域是R.

教师点评后问：为什么a＞0、a≠1呢？

学生在思辨后给出问题的答案：定义中指出了函数的定义域是R，所以规定a＞0，a≠1.

设计意图：传统的概念教学是教师直接给出定义，然后加上若干个注意点，强调若干个关键词，这样的“灌输式”的学习方式剥夺了学生的“第一认知过程”，学生缺乏利用自己的认知经验对实例的比较、分析、概括等思维思辨过程，不可能使实例成为理解概念的一种思维载体.建构主义主张概念教学应以学生已有的认知结构与新概念之间的不平衡，引起学生的注意，激发认知内驱力，即强调学习概念的“情境性”.当学生面临问题：比较0.52.5、0.54、0.55.2的大小的时候，可以观察到三个数的底数相同，而指数是不同的三个值，继而把1.52.5、1.54、1.55.2抽象为函数y=1.5x，完成了第一次概括.在老师的引导下，学生举出相同类型的几个函数，进一步把它们抽象概括为函数y=ax（a＞0，a≠1），叫做指数函数，完成了第二次概括.这样，学生在“比较大小”的任务驱动下，归纳出指数函数的概念，这个学习过程是“主动的”“思辨的”“建构的”，学生的学习充满激情与张力，概念的学习是一个“形成的”过程.

思辨3：性质的探究

教师：同学们还可以从哪些角度继续了解指数函数？

学生9：图像.

（学生活动：画出指数函数y=2x的图像）

5分钟后，小组之间通过多媒体展示等手段完成了画图（思辨、规范）的过程，得到了函数y=2x的大致图像.在知道了指数函数图像的大致画法后，同学们很快得到了的大致图像.

教师：观察这些函数图像的特征，你还有什么发现吗？先独立思考，然后在小组中交流，并做好全班展示的准备.

学生独立思考，在小组活动、交流后，展示思辨的结果：①定义域为R；②图像经过点（0，1）；③值域为（0， +∞）；④y=2x与y=的图像关于y轴对称.

教师：你能得到更一般的结论吗？

学生10：能，指数函数y=ax（a＞0，a≠1）都具有性质①②③，y=ax与的图像关于y轴对称.

教师：为什么？

学生11：根据指数函数的定义，可从“数”与“形”两个角度进行解释……

教师：说的真好！还有补充吗？

学生12：当a＞1时，图像位于第一象限的部分随着a的增大越来越陡（即增加的速度越来越快）.

教师：你真棒！课后，大家可以就这个话题继续探究.

设计意图：函数图像的直观感知是学生探究函数的性质的前提和基础，笔者安排学生自主作图并在小组和全班交流，为的是唤起学生获取函数性质的一般经验，让指数函数所具有的性质在学生的作图、交流中反复捶打，以形成一般性的结论，成就接下来的巩固提升.

思辨4：简单应用

教师：现在，你能解释为什么1.52.5＜1.54＜1.55.2、0.52.5＞0.54＞0.55.2了吗？

（利用实物展台展示学生的解题结果，师生一起规范解答过程）

例比较下列各组数中两个值的大小：

（1）0.5-1.2，21.5；（2）（a-1）2.5，（a-1）1.5（a＞1，a≠2）；（3）1.50.5，0.51.5.

教师投影例题，并请学生自主解答三道题目，教师巡视指导.最后，对这三题的解题过程进行了全班交流点评.

设计意图：“比较大小”几乎是这节课的主旋律，新知的引入借助这一“比较大小”引入，新知的巩固又回归到“大小的比较”上来，前后的呼应让知识的生成与应用成为一个有机的整体，对学生大脑中的认知网络的建构是十分有益的.

思辨5：课堂小结

教师：本节课同学们都有哪些收获？

学生13：了解了指数函数的定义，知道了指数函数的部分性质.

学生14：可以应用指数函数的概念和性质解决一些比较大小之类的问题.

学生15：可以根据指数函数的图像特征归纳出指数函数的性质并能运用性质解决相关问题.

教师：同学们今天的表现实在是太棒了，谢谢你们！请大家课后整理一下本节课所学内容.

设计意图：课堂小结，为的是“颗粒归仓”.意在将本节课的知识进行梳理，并尽可能地让其融入到学生现有的知识结构之中，力求在知识的梳理与网络的建构中，将本节课获得的数学知识和形成的基本技能内化，提升他们分析问题和解决问题的能力.

二、几点感悟

1.函数教学要注重认知方法的自然延续

这节课学习的是指数函数的定义及其性质，作为高中学生认知的第一个新的基本初等函数，其认知的方法完全延续了前面认知函数的方法.学生认知前面几个函数，都经历了获取定义、建构图形、归纳性质、巩固应用的过程.这一认知函数的历程，已经固化在学生的认知网络之中，成为他们认知新的函数的基本方法.因此，本节课上，笔者尊重学生的认知规律，主动调取学生认知函数的经验，让他们沿着这样的认知路径，从不完全归纳中得出了指数函数的定义，进而通过作图和读图让他们自主归纳出性质，最后在巩固应用中提升了对指数函数的认知.这样的教学流程，顺应了学生的学习渴求，在完全符合学生认知需求的情境中，完成了学习的任务.在高中阶段，数学认知活动应充分考虑学生前学段获取数学知识的方法的延续，对那些已经深深扎根的认知方法，我们在教学中应不断强化，使其成为学生个性化的经验，从而成就数学教学效益的扩散化.

2.即时追问要紧扣课堂教学的前进方向

在数学认知活动中，有些学生在教师预设的探究活动中，虽然能够产生教师期待的生成，但对这一生成背后的数学原理并没有清醒的认识.这就是我们常说的“知其然，但不知其所以然”.为此，在“思辨课堂模式”下，我们应紧紧把握教学进程，抓住每一个教学契机，适时地追问，让学生在认知活动中明辨“是非”，理清生成的“来龙去脉”，为后续认知活动扫清“障碍”.本节课上，在教师追问三个式子的结果之间的大小关系后，结合前面获得的几个函数关系式，归纳出了指数函数的一般形式y=ax（a＞0，a≠1）.虽然教者期待的结果已经出现，但是很多学生对“规定a＞0，a≠1”是没有清醒的认知的，此时，教者的追问“为什么a＞0，a≠1呢”将学生的思维引向了深刻，逼着学生对这一定义重新审视，推动着每一名学生对概念进行了更深层次的剖析.从教学的效果来看，教师的即时追问用在了关键时点上，成效显著，恰到好处.

3.组内思辨要扎根释疑解惑的关键节点

俗话说，话越说越清，理越辩越明.学生获得知识或技能的过程，充满着各种各样的“诱惑”，有些是顺应知识生成所需的，有些恰是与知识获得背道而驰的.因此，在这一过程中，可以借助小组讨论这一方式，对这些诱惑进行“思辨”.当学生的认知陷入困境时，即时的小组讨论让学生在组内分享各自探究的经验，形成思维的碰撞，以有效的“思辨”促成学生对概念的生成与应用的精准定位，让知识在思辨间有效融合，进一步推动新知识融入到学生的已有认知网络中.在这节课上，先后安排了5次小组交流，这5次有效的“思辨”促进了知识的生成和应用提升，锻炼了学生的数学思维，培养了学生的学习习惯.在常态教学中，为了培养学生思维的严谨性，我们应让学生不断经历这种这种依托小组交流进行的思辨过程.此外，这种借助组内交流进行的思辨，几乎每一名学生都能积极参与到课堂活动中来，大幅提升了课堂教学的成效，充分彰显了思辨课堂模式的优越性.

三、反思提升

这节课的备课时间不是很长，但课后思考的问题一直很多：重点、难点的处理是否得当？问题提问的时机恰当与否？每个学生是不是都能积极思辨，是不是都学有所得，他们到底得到了哪些？学生在掌握知识的同时，学习能力是否有所提升？

带着对这些问题的思考，并结合现场评委老师的点评，笔者在继续讲授这一节内容时，对所任教的两个班级采用了不同的引入方式：比较大小和实例引入的模式，在课后对学生的问卷调查中，学生普遍认为第一种引入方式更能激发他们的学习兴趣，引发他们的思考，第二种引入方式有意思但显得有些突兀.在画函数的图像及归纳性质部分采取了不同的处理方法：思辨课堂模式和传统模式，学生普遍认为第一种模式课堂环境民主、宽松，能在合作共赢中丰富学习经验、提高学习能力，积累了研究对数函数、幂函数的经验和方法，第二种模式学得轻松，解答题目的正确率和速度有一定提升，但总感觉缺少了学习的“感觉”.

四、写在最后

新授课的教学要慢.不少教师有丰富的教学经验，但学生是新手，学生对所要学的知识是陌生的.一些问题教师感觉简单，但学生可能感觉困难.课堂教学中，教师要精炼语言，提问的问题要有针对性，努力激发学生的思维力，要给学生充足的思考时间，努力让学生经历“再创造”的过程，增强其再学习的能力.教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞.总之，要理解学生、理解教学，变数学知识冰冷的美丽为学生火热的思考，让学生做学习过程中的“真正的主人”.

1.邢玮.“指数函数”的教学设计与反思［J］.中学数学月刊，2012（2）.

2.邢玮，章建跃.迁思回虑，一得之功——对“指数函数（第一课时）”教学设计的再思考与评析［J］.中国数学教育（高中版），2013（1）.

3.葛卫国，单成香.紧扣核心主线实现有效教学——“指数函数”教学实践与思考［J］.中国数学教育（高中版），2012（10）.