轴对称搭台，相似三角形唱戏——浅谈一道联考试题的分析过程及对讲评设计的两点思考

☉宁夏中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校 张宁

轴对称搭台，相似三角形唱戏
——浅谈一道联考试题的分析过程及对讲评设计的两点思考

☉宁夏中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校 张宁

一、前言

《中学数学》（下）2014年第8期刊载了王四宝老师的文章《一道联考试题的分析过程与讲评设计》（下称文1），王老师对2013年浙江省绍兴市中考试题中的一道填空题进行了深度解读，并以此题为数学活动素材，设计了两个有趣的探究活动，不仅对本题的解答过程分析的一清二楚，而且对本题也做了拓展性的研究.从文1可以看出，王老师通过添加四条辅助线，利用轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、证明“三点共线”的方法、面积法等知识与方法给出了本题的分析过程.这里有两点值得大家思考，一是文中添加的辅助线和所运用的知识点之多，着实令人望而生畏.二是根据王老师所添加的辅助线和试题分析过程，解答之前必须证明三点共线，这对学生而言又是一个难点.笔者认为，不用添加辅助线，不用证明三点共线，只需利用轴对称的性质、相似三角形、勾股定理即可破解此题.

二、试题呈现及解答

试题（2013年绍兴）在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD、AB的对称点分别是E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是G、H.若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为_________.

图1

由轴对称的性质可知，DE=DP，DH=DQ.

所以EH=DE+DH=DP+DQ=

2

DP+PQ.

同理可知，GF=2BQ+PQ.

若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则EH= GF.

从而可知，DP=BQ，故EH=2DP+PQ=5，即菱形EFGH的边长为5.

笔者查阅了2013年绍兴市中考数学试题的参考答案，其解答过程与文1所给的分析过程大同小异，如果按照参考答案所给思路求解，正如文1所说，教师在思考本题时也都不能给出解答完整的思考过程，对学生而言，这道题又有什么意义呢？上述解法运用了轴对称的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识点简洁求解，这种“轴对称搭台，相似三角形唱戏”的解法是不是更精彩呢？

三、对讲评设计的两点思考

按照上述解题方法与思路，对于文1中探究活动2中的两个问题的解答，笔者认为有必要改进一下.一是问题（2），点E、F、G、H构成的四边形有可能为矩形吗？这个问题可利用相似三角形求解；二是问题（3），点E、F、G、H构成的四边形有可能为正方形吗？这个问题没有深入讨论的必要.

1.问题（2）的求解思路

2.问题（3）的思考由原题知，当点E、F、G、H构成的四边形为菱形时，PQ=.又由点E、F、G、H构成的四边形为矩形时，PQ=由于正方形既是菱形，也是矩形，PQ的长不能同时为两个值，故点E、F、G、H构成的四边形不可能为正方形.

四、结束语

正如文1所说，命题者在命制本题时可谓独具匠心，颇有创意.透过本题，留给大家更多的思考也许是“不论是命题者还是解题者，为什么想不到相似三角形？”这是教学的缺失，还是思维定势？这一系列问题都值得一线教师思考.

1.王四宝.一道联考试题的分析过程与讲评设计［J］.中学数学（下），2014（8）.W