一道题，三节课——笔者的习题教学课

☉湖北省武汉市第三寄宿中学 何亚琴

一道题，三节课
——笔者的习题教学课

☉湖北省武汉市第三寄宿中学 何亚琴

数学新课标在原来的培养学生分析和解决问题能力的基础上，进一步提出培养学生发现和提出问题的能力.我们数学教师如何将这种理念贯穿到我们平常的数学教学中，是我们数学教师应该深入思考和反思的.

近段时间笔者有意在培养学生发现问题的能力上做了一些有意义的尝试，效果不错！这里笔者将一道几何题的教学推进过程呈现如下.

一、第一节课

图1

图2

图3

例题如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=BC.点E、F分别在边AB、AC上，且AE=EF，点O、M分别为AF、CE的中点，判断△MOB的形状.

本题是在学习了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半后配套的练

习题，当然解法也非常简单，连接EO，在Rt△OEC和Rt△BEC中，直接运用定理不难得出OM=BM，且∠BMO=90°，从而得到△BMO为等腰直角三角形.

如果我们在教学过程中仅仅满足于学生会解题，以及怎么让学生更快地了解一道题的解法，并不能达到我们新课标提出的培养学生发现问题的能力，在教学过程中我们可以从最简单的图形变换开始入手.

在教学完以上习题后笔者对条件做了如下修改，把“点E、F分别在边AB、AC上”改成了“点E、F分别在直线AB、AC上”，再追问学生，上述结论还成立吗？

这个时候学生开始讨论起来，有的学生说“可以”，有的学生说“不成立”，还有一部分学生在埋头画图.很快有同学画出图2所示的图形.

有学生说：“还有如图3所示的图形.”

这时有学生提出：“这两个图形只说明了一种情况，E、F两点都在线段AB、AC的延长线上，是否会出现一个点在线段上另一个点在线段的延长线上呢？”

笔者及时肯定学生能够提出这样的问题，让学生自己再画图说明此种情况是否成立？

当然很明显是不成立的！以上两种情况证明方法类似于例题的图形的证明.有了以上变换的经验，有学生大胆提出了以下的问题：“其实这里可以去掉‘点E、F分别在边AB、AC上，且AE=EF’和‘点O为AF的中点’这两个条件.”这样的提问让很多学生马上反驳起来：“这是不可能的！”此时提问的同学镇定地说：“只要△AOE为等腰直角三角形就可以！”于是这个学生很快在黑板上画出了图形，如图4.

通过画出这个图形，反驳的同学马上心服口服，这个时候笔者极力肯定这位同学的丰富的想象力和严密的逻辑思维能力，以及看问题能看出其中的本质内容.

此时班上的研讨气氛已经非常浓郁了，又有学生提出了更新的见解，他非常肯定地说：“老师！我发现了一个很重要的结论！”其他学生用期待的眼神望着他，他继续说：“这里只要是两个等腰直角三角形共一个锐角顶点，另一个锐角顶点的连线的中点和两个三角形的直角顶点相连所得到的三角形都是等腰直角三角形！”于是他急急忙忙地跑上讲台在黑板上画出如图5~图7所示的图形.

图4

图5

图6

图7

如果真是这样，这个结论怎么证明呢？笔者即时地启发学生，很快就有学生用下面两种方法进行了证明.

解法一：（中线倍长法）延长BM到H使MH=BM，连接OH，EH，由△BMC≌△HME得到EH=BC且EH∥BC.而BC=BA，所以EH=BA.已知EO=OA，有∠HEO=360°-∠CEH-∠CEA-45°=315°-∠CEH-∠CEA.而五边形BCEOA中，∠BAO=540°-∠BCE-（∠CEA+45°）-90°-90°＝315°-∠CEH-∠CEA，即∠HEO=∠BAO，也就是在此处构造了等腰Rt△AOE和等腰Rt△BOH，所以可以得到△BAO≌△HEO，则OB=OH，∠BOA=∠EOA，M为BH的中点，所以△BMO为等腰直角三角形.

解法二：（中位线和斜边上中线法）分别取AC和AE边上的中点为G和H，连接MG，BG，MH，OH，根据中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，MG=OH，BG=MH，其中∠MGB=∠MGC+90°，∠MHO=∠MHE+90°.因为∠MGC=∠GMH=∠MHE，所以∠MGB=∠MHO，因此△MGB≌△MHO.

由∠BMO=∠BMG+∠GMH+∠HMO=∠MOH+∠MHE+∠HMO=90°，得到MB=MO，MB⊥MO，所以△BMO为等腰直角三角形.

这两种方法对于上述结论的所有变换后的图形都可证明，但在解法一中证明∠HEO=∠BAO相等时有些微小的变化.笔者在学生证明之后适当地配合着多媒体，利用几何画板软件，很精彩地演示了在其中一个三角形旋转时，基本图形变换出来的各种神奇的图形，让学生大开眼界.学生惊叹数学的奇妙，解法的精妙！学生不仅尝试了解决问题的快乐，还能品尝到由大胆创新所带来的感动，这样的教学使我们的数学教学站到了战略性的制高点上！

一节课上到这个时候似乎已经非常圆满了，学生对“两个等腰直角三角形共一个锐角顶点，另一个锐角顶点的连线的中点和两个三角形的直角顶点相连所得到的三角形都是等腰直角三角形”深信不疑了，而且还对图形进行了变换，其实这个结论还有一个很重要的漏洞，学生没有发现，笔者继续引导学生发现.这个时候笔者用几何画板画了如图8所示的图形.

在这个图形里很明显△BMO不是等腰直角三角形，随着△ABC或者△AEO位置的变换，△BMO的形状更是跟着变化.问题出在哪里呢？当笔者把这个图形演示给学生看时，教室里顿时炸开了锅.这时下课铃响.笔者故作神秘地跟学生告别，留下了悬疑！

课间操刚结束，就有学生兴致勃勃地跑到笔者的办公室，告诉笔者，他发现了其中的奥秘！并且他手里拿着一大一小两个等腰直角三角板告诉笔者原因！秘密出在两个等腰直角三角形的摆放方式不同.当AO、AB重合为一条直线时，两个三角形的直角如果处在这条直线的两边，则上述结论成立，否则不成立！学生还用手中的三角板进行了比划！

“这真是一个神奇的发现！”笔者由衷地赞叹！并鼓励他继续探索，看还有没有别的重大发现！

图8

二、第二节课

第二天笔者继续带着电脑进了教室，用几何画板作了两种不同位置摆放的两个等腰直角三角形，如图9、图10所示.

图9

图10

其实笔者在这里即时给学生埋下了一个伏笔：等到九年级时我们将研究此时结论不成立的那个图形！它将会有自己独特的结论.

教学到这一步，似乎已经功德圆满了吧.笔者话锋一转，提问：“能否把这里的两个等腰直角三角形换成一般的直角三角形呢？如果换成一般的直角三角形，这两个直角三角形之间必须有什么样的联系呢？”

小组开始了热烈的讨论.

当小组上来展示讨论成果时，让自己对学生的能力刮目相看！

下面是学生代表在黑板上画出的图形，如图11，他们小组讨论的结果是：只要∠BAC=∠EAO=α，此时也要注意到两个三角形摆放的方向性.这时△MBO是等腰三角形，BM= MO，∠BMO=180°-2α，只有当α=45°时∠BMO=90°，也就是等腰直角三角形的情形.

另一个小组特别说明了为什么在这个图形中不能用解法二来解答的原因.

还有一个小组展示了他们不同的图形，在证明∠BGM=∠MHO时采用不同的证明方法，这节课学生的学习激情很高，争先恐后地要求上来讲解他们小组的讨论结果，课堂气氛异常活跃！

三、第三节课

图11

有了前面两节课的学习，学生对这个图形已经有了初步的了解，还不能做到随时随地从复杂图形中分辨出来，所以这节课笔者安排了“练就火眼金睛”这个环节.根据几何画板的功能笔者将这一基本图形做了很多的变化，然后不加任何说明，打印了6个不同状态下的图形，并复印了人手一份，这里只有8个不同状态下的图形，条件结论都没有，笔者将学生分成6个小组，每组一个图形开始讨论，给这个图形什么样的已知条件，得出什么结论！现在将几个小组编写的比较经典的习题在这里展示一下，希望能起一个抛砖引玉的作用！

就图12学生自编了以下几个不同的习题：

1.在△AEC中，∠A=45°，ED、BC分别为AC、AE边上的高.

（1）当F为CE边上的中点时，请判断△DBF的形状.

（2）当△DBF为等腰直角三角形时，F是否为EC的中点？

2.D为等腰Rt△ABC的斜边AC上一点，连接BD，过B点作∠DBF=45°，E为AB延长线上一点，且DE=AD，连接DF，请判断△DBF的形状.

3.ED、CB分别为△AEC中AC、AE边上的高，F是否为EC的中点，连接DF，BF，且△DBF为等腰直角三角形，求∠A的大小.

图12

图13

针对图13学生自编了以下几道不同的习题：

1.D为等腰Rt△ABC的边AB上的一点，过D点作DE⊥AB，并截取DE=AD，连接CE，∠ABC的平分线交CE于点F.

（1）求证：F为CE的中点.（2）当D点在AB上移动时，∠FDB的度数是否发生变化？

2.直线AC：y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点A作AH⊥AC，在AH上任取一点E，连接CE，取CE的中点F，当E点在AH上运动时，∠FBC的度数是否发生变化？若不变，求出角的度数；若变化，求出变化的范围.

有了以上三节课的教学，读者试想一下，学生对此类问题还能不认识吗？而且整个过程中体现了学生独立的动手能力，培养了学生发现和提出问题的能力，从简单问题入手，层层推进，推动学生的思维能力，大力加强了学生的数学素养！这样的习题课学生疯狂地挚爱着，正是这样的数学教育，带来了良好的教学效果！W