构造数学模型，解决初等数学的最值问题

☉重庆幼儿师范高等专科学校 张平奎

构造数学模型，解决初等数学的最值问题

☉重庆幼儿师范高等专科学校 张平奎

在初等数学复数和函数教学中，我们时常见到关于求复数和函数最值的问题.如果我们对复数的绝对值不等式性质熟悉，构造一个恰当的数学模型，利用复数模的性质，即||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|，则可简捷、明快地解决这一类复数和函数的最值问题.利用它来求解十分方便，现举例来说明.

解：由绝对值不等式的性质可知：||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤ |z1|+|z2|，而|z+i|≤1，则i|-1|≤|z|≤i|+1，即|2-1|≤|z|≤|2+1|，即1≤|z|≤3.由此可知：|z|的最大值是3，最小值是1.

推广：对于数学模型Ⅰ，若复数z满足|z±z0|≤a（a为非负实常数，z∈C），则|z|的最大值和最小值分别为：|z|max= |z0|+a，|z|min=||z0|-a|.

例2 设|z|=3，则|z-3+4i|的最大值和最小值各是多少？

解：同样利用不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|，由|z|= 3，得||z|-|3-4i||≤|z-（3-4i）|≤|z|+|3-4i|，即|3-5|≤|z-（3-4i）|≤|3+5|.

即2≤|z-3+4i|≤8.

即|z-3+4i|的最大值和最小值分别为8和2.

推广：对于数学模型Ⅱ，若复数z满足|z|=a（a为非负实常数），则|z±z0|的最大值和最小值分别为|z0|+a、||z0|-a|.

解：设z1=（2-x）+4i，z2=（x-3）+3i.

由|z1|+|z2|≥|z1+z2|，得

则ymin=5

解：设z1=x+2i，z2=（3-x）+4i，则z1+z2=3+（2+4）i.

由|z1|+|z2|≥|z1+z2|， 得

当z1、z2同向，即，即x=时，取得最小值，为

推广：对于数学模型Ⅳ，若a、b、c均为正数，函数y满足y=，则|a+bi|+|c+di|≥|（a+bi）+（c+ di）|，当且仅当a∶b=c∶d，即z1、z2同向，即，即x=时，取得最小值，为

解：设z1=x+3i，z2=（x-1）+2i.

|y|=||z1|-|z2||≤|z1-z2|=|1+i|=即-≤y≤，则ymax=

总之，利用绝对值数学模型研究初等数学最值问题的好处是不需要画图，也不需要过多的计算，可很方便地解决这类数学问题，是一种值得推广的解法，大家不妨试一试.A