从“将军饮马问题”到许瓦兹三角形

陶建石

许瓦兹是柏林大学的著名数学家，他给后人留下一道极著名而又有意义的问题，后人称之为：许瓦兹三角形问题.问题如下：在已知锐角三角形ABC中求作一个内接三角形（即顶点分别在△ABC三边上的三角形），使所作的三角形的周长最短.

【活动课题】从将军饮马问题到许瓦兹三角形.

【活动准备】三角板等作图工具，几何画板软件.

【活动目的】借助几何画板，探索出许瓦兹三角形的结论，感受轴对称的魅力，体验探究数学问题的快乐.

活动一：探究“将军饮马问题”

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”我们可以把它抽象成一个有趣的数学问题.如图1所示，将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营.请问：怎样走才能使总路程最短？

【设计意图】通过自己的实际操作、教师几何画板的演示，学生探究出问题的解决方法，积累解决“最短问题”的经验，为后续的探究活动作铺垫.

活动二：“将军饮马问题”的拓展

如图2，P为马厩，牧马人某一天从马厩牵出马，先到草地边OA的某处牧马，再到河边OB某处饮马，然后回到马厩.请你帮助他确定这一天的最短路线.

【设计意图】在原有经验的基础上，学生再次经历“分析—探索—解决—反思”的过程，利用轴对称设计最短途的方案，并可得到一个基本数学模型：在锐角∠AOB内部，有一定点P，点P′和P″分别是点P关于OA、OB的对称点.连接P′P″，分别交OA、OB于点M、N，此时PM+MN+NP最短.

活动三：对“将军饮马问题”的实验探究

当点P为锐角∠ABC内一动点时，PM+MN+NP与哪些量有关呢？其大小由哪些量决定？学生猜想结论可能与点P到角两边的距离、点P到角顶点的距离、角的大小等有关，师生利用几何画板作图（如图3），采用“变量控制法”分类测量相关数据并填入设计好的表格.设PB=r，以B为圆心，BP长为半径作圆，分别交BA、BC于D、E.

表1 r不变，∠ABC不变，

点P在弧DPE上运动

表2：r变化，∠ABC不变

表3：r不变，∠ABC变化

【设计意图】通过理性分析和大胆猜想，结合实验目的，设计相应的实验方案，然后进行数据的分析、加工，得出结论.

结论：（1） 当r为定值，∠ABC为锐角时，随着角度的增加，PM+MN+NP变大.

（2） 当锐角∠ABC为定值时，随着r的增加，PM+MN+NP变大.

活动四：许瓦兹三角形问题的探究

在已知锐角三角形 ABC中求作一个内接三角形 （即顶点分别在△ABC三边上的三角形），使所作的三角形的周长最短.

学生结合刚才的数学模型及结论进行逻辑推理，可猜想出结论：如图4，当内接三角形是△ABC的三条高的垂足所构成的三角形时，周长最短.

【设计意图】对于解决“许瓦兹三角形”这个著名的几何问题，学生是充满求知欲的.八年级学生已具有一定的探究经验和基础，教师适当引导，学生可猜想出问题的答案.在这次探究活动中，学生感受到了轴对称知识的魅力，体验到了探究问题的快乐.

教师小结：许瓦兹（H.A.Schwarz）三角形问题是一个著名的极值问题，本次活动中，在“将军饮马问题”的基础上，我们经历了画图、列表、测量、分析、推理得出结论的过程，探究出了许瓦兹三角形的答案.结合本节课的探究与思考，将你的收获或疑惑写一篇小文章.

（作者单位：江苏省常熟市外国语初级中学）