掌握基本概念是学好几何的开始

黄欲涵

在我们生活的周围有许多轴对称的图案，为了更好地认识它们，在此安排了一些基础知识来让同学们领悟其基本的特点，比如我们学习了轴对称的性质、线段和角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性. 首先回顾一下本章中的一些基本概念.

一、 线段的轴对称性

1. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线就是它的对称轴.

2. 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

3. 线段的垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

例1 如图1，若该小船从点A航行到点B的过程中先要到达岸边l的点P处补给后，再航行到点B，但要求航程最短，试在图中画出点P的位置.

【解析】如图2，点A′与点A关于直线l成轴对称，连接A′B交直线l于点P，则点P为所求.

例2 如图3，已知AB=AC，DE垂直平分AB，交AB、AC于D、E两点，若AB=12 cm，BC=10 cm，求△BCE的周长.

【解析】本题利用题中条件DE垂直平分AB，得到AE=BE，△BCE的周长就转化为BC与AC两条线段的和，所以l△BCE=22 cm.

【点评】这题考查了线段的垂直平分线的性质，是典型的线段转化问题.

二、 角的对称性

1. 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.

2. 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

3. 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

例3 如图4，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC. BE与DF相等吗？请说明理由.

【解析】题中的条件满足角平分线的性质，容易得到CF=CE，再结合题中给出的条件BC=DC，利用直角三角形全等的判定“HL”定理证明△FDC≌△EBC，由全等三角形的对应边相等得到BE=DF.

【点评】本题主要利用角平分线的性质得到两直角三角形的一对直角边对应相等，从而用全等三角形的知识解决问题，所以由题目的条件联想得到对应的结论，是我们做几何题的常用思路.

例4 如图5，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B. 下列结论中，不一定成立的是（ ）.

A. PA=PB B. PO平分∠APB

C. OA=OB D. AB垂直平分OP

【解析】由角平分线的性质可得PA=PB，故A选项正确，再用角平分线的判定说明B也是正确的，利用直角三角形全等的判定“HL”定理证明△AOP≌△BOP，得到C也是正确的，所以最后D是不一定成立的.

【点评】综合考查了角平分线的性质和判定，同时考查了直角三角形全等的判定方法.

三、 等腰三角形的对称性

1. 等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线所在直线是它的对称轴.

2. 等腰三角形的性质：①等边对等角；②三线合一.

3. 等腰三角形的判定：等角对等边.

例5 如图6，已知AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.

【解析】过A作AG⊥BC.

∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=CG.

又∵AD=AE， AG⊥BC，

∴DG=EG. ∴BD=CE.

【点评】本题考查了等腰三角形“三线合一”性质，所以看见等腰三角形就要想到“三线合一”，作出底边上的高线，这是解决等腰三角形相关问题常规的添线方法.

例6 如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB交CD于点F.试说明CE=CF.

【解析】∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°.

∵CD⊥AB于点D，

∴∠B+∠BCD=90°.

∴∠ACD=∠B.

又∵AE平分∠CAB，

∴∠CAE=∠EAB.

又∵∠CEF=∠B+∠EAB，

∠CFE=∠CAE+∠ACD，

∴∠CFE=∠CEF.

∴CE=CF.

【点评】本题综合运用角平分线的定义，内角和外角的关系和等角对等边来说明CE=CF.学习了等角对等边以后，今后如果我们要证明两条线段相等，除了考虑线段的转化、三角形全等，还有一种方法就是等角对等边.

我们回顾了这一章的一些重要的概念后，同学们有什么收获吗？学习几何需要牢牢抓住基本概念，从题中的条件出发推出我们需要的结论，同时掌握了基本概念后我们可以熟悉基本的图形，掌握基本的添线方法.加油，孩子们，继续读下去，会更加精彩！

（作者单位：江苏省常熟市周行学校）