常见解题数学思想策略在初中数学解题中的应用探析

崔益凤

教是为了不教.数学解题思想策略是教师落实“教是为了不教”要求的重要内容之一.新课改强调，学习主体要领悟并运用解决问题方法策略进行高效、深入的运用和实践.笔者对当前初中数学阶段解题思想策略进行了梳理汇总，发现经常运用的数学解题思想策略为数形结合、分类讨论、转化、函数、方程等.下面主要论述常见解题数学思想策略在初中数学解题中的应用.

一、数形结合解题思想策略在问题教学中的运用

数学问题案例通过精确性的数学语言进行展示，借助形象性的图形符号进行补充.数形结合解题思想就是运用数学学科所具有的精确性和直观性等特点，通过以数补形，以形补数，实现问题案例的有效解答.

问题1：如图所示，四边形ABCD是梯形，其中AD∥BC，已知AD、BC的长度分别为a、b（a

点评：上述问题解答过程中，仅通过对问题条件内容的分析，解决问题较困难，需要借助于所提供的平面图形符号，通过数形结合的解题思想策略，找寻问题解答的切入点.通过分析，可以发现，要求出相关数据，需要进行图形构建，延长BA、CD相交于点O，利用三角形相似及列方程的形式，从而求出所需要求的数值.

问题2：如图所示，在△ABC中，∠BCA=90°，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，∠BEF=∠CDG，BF=DG，如果BC=12，AD=5，求CE的长度.

分析：如果知道BE的长度，问题解答就可以变得轻松简单，通过对问题条件及图形符号的分析可以发现，要求BE的长度，通过条件可以知道，应该借助于直角三角形的全等的判定定理，得到Rt△BEF≌Rt△DAG，这可以求得AD=BE=5，从而求出CE的长度.

评注：解答求证此类图形符号类的问题案例时，应在充分掌握问题条件内容基础上，根据所提供的图形符号，进行认真观察分析，找寻问题条件揭示的条件及隐含的等量关系进行解答.

二、分类讨论解题思想策略在问题教学中的运用

分类讨论解题思想策略，对学习对象思维严密性、缜密性特性培养具有促进和提升作用.学习对象在问题解答过程中，对出现多个结果时，应根据问题要求分别甄别和判断，选定最精当、最适宜的条件内容.

问题3：有一个半径为r的圆上有点A，B，C等三个点，已知直线AD⊥直线BC，垂足为点D，直线BE⊥直线AC，垂足为点E，同时直线AD与直线BE解析：通过问题条件内容的分析，在作出如图1，2图形基础上，观察发现，发现∠ABC处在圆中的位置各不相同，有两种不同情况.要求∠ABC所对的弧长时，就需要根据不同情况进行分类讨论.根据同角的余角相等求出∠H=∠C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△ACD和△BHD的2倍求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角，然后利用弧长公式列式计算即可得解.

图1 图2

评注：本题考查了弧长的计算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，求解时需要根据∠ABC的不同情况进行讨论，解答中判断出相似三角形是解题的关键.

三、转化解题思想策略在问题教学中的运用

在初中数学问题教学活动中，转化解题思想策略运用相对较广泛，其运用的前提，就是要准找知识点之间的深刻联系，通过某一“载体”或条件，进行有效转换，使问题由复杂变为简单，由繁琐变为简易，实现问题有效解答.

问题4：如图所示，小明要从A地到B地游玩，需要经过公路的C地，已知图中AC的长度为10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，现在由于道路改造原因，准备在A点和B点之间之间修一条笔直的公路.（1）试求出改直的公路AB的长度；（2）那么小明走经过改直后的公路比原来的路线缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

分析：将现实问题转化为数学问题，是数学问题案例解答中经常使用的一种方法.通过问题条件可以知道，要求改直的公路AB的长度，需要进行构造法，作CH⊥AB于H.此时在Rt△ACH中，结合三角函数内容，求得CH，AH，在Rt△BCH中，求得BH，再根据AB=AH+BH，即可求解；第二小题要求出缩短的距离，可以根据Rt△BCH三角函数求得BC的长度，再根据AC+BC﹣AB列式计算，从而求得少走的距离.

点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算.

四、方程解题思想策略在问题教学中的运用

方程解题思想策略，就是针对数学问题案例，特别是当出现问题案例中出现已知量与未知量之间具有错综复杂的关系前提下，借助于列方程或方程组的方式，构建有关的方程，通过运用解方程的形式解答问题.

分析：上述问题案例解题时需要运用二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式等知识内容，解题时可以根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，构建方程组，再将点A、B的坐标代入求解即可.

点评：本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解.

需要注意的是，在实际运用过程中，经常会出现几个解题思想策略同时运用的情况，学生要根据问题条件及解题要求进行有效运用，深入实践.