初中数学中相辅相成的合情推理和演绎推理

李治青

【中图分类号】G636.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）6-0188-02

美国数学教育家波利亚写了一本书，名字叫《数学与猜想》，实际上它英文的原意翻译过来，直译的话，就是合情推理。在这本书的序当中说了这样一段话，"无论是以后你是把数学作为自己职业的人，还是不把数学作为自己未来职业的人，他都要学好这两种推理：一个是演绎推理，一个是合情推理。因为这二者对他未来的生活都非常重要 "。

推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。在日常生活和科学研究中经常使用两种推理--合情推理和演绎推理

在以往的数学教学中，我们十分强调推理的严谨性，过多的重视了演绎推理，而忽视了生动活泼的合情推理。不可否认，演绎推理仍是初中数学考察的重点。同时，我们也应该看到，数学史上的"三大猜想"对后人带来的影响。事实上，数学发展史中的每一个重要的发现，除演绎推理外，合情推理也起重要作用，它的实质是"发现"。因此，课堂教学中，教师除了发展演绎推理，还应该根据教材内容对学生进行合情推理能力的培养。它不仅能够提高课堂教学质量，更重要的是有助于学生创新意识的培养和创新能力的提高。

新《数学课程标准》中指明：学生通过义务教育阶段的数学学习，"经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。"并指出在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。数学需要演绎推理，也需要合情推理。

一、下面，我结合人教版24、1、4《圆周角》这一节课，对于圆周角定理的探索和证明，阐述合情推理和演绎推理的相辅相成。

首先，出示探究题（如下图），可由学生动手进行测量，再由具体数据猜想规律，小组交流，总结发现结论。

具体操作，可以一部分学生测量教材图片，另一部分自己画图形测量。要集思广益，相信集体的智慧。小组内分工，各种情况都有体现，多多益善。在这个过程中，就体现了从具体问题出发--观察、猜想、比较、联想--归纳、类比--提出猜想。

这就是合情推理的过程，它从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。它为我们提供了证明的思路和方向。

从一般性的原理出發，推出某个特殊情况下的结论，这就是演绎推理。演绎推理是由一般到特殊的推理。

前面通过第一步的合情推理，我们可以发现，同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。为了进一步研究发现的结论，如下图，在☉O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A，由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：（1）在圆周角的一条边上。（2）在圆周角的内部。（3）在圆周角的外部。

第一种情况圆心O在∠BAC的一条边上

∵OA=OC ∴∠A=∠C

∵∠BOC=∠A+∠C ∴∠A=1/2∠BOC

对于第（2）（3）种情况，可利用（1）的结果证明（此处证明过程省略），通过此处的证明，就得到了圆周角定理以及推论。（此处证明还涉及分类讨论的数学思想）

这就是演绎推理的过程，从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算，从而得到一般性结论。

在人教版初中教材中，体现合情推理和演绎推理相辅相成的例子还有很多，比如：勾股定理的证明，三角形内角和定理的证明，角平分线性质定理的发现和证明。

二、课堂上如何处理好合情推理和演绎推理相辅相成的关系

1、课堂上多让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理和初步的演绎推理证明能力。也就是说，教师"既教证明，又教猜想"。 在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验。切忌，教师的一言堂，过度操练演绎推理。如：学习角平分线的性质时，就应留出时间让学生折纸，发现性质、再进行证明。

2、善于对教材内容进行加工，特别是教材以外的活动，例如：实际生活的实例，小游戏等。设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力。

3、适当引导学生探索同一命题不同思路与方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性，从而训练学生的演绎推理能力。

合情推理帮我们获得一些猜想，获得一些对结论的一种认识，而演绎推理帮我们来进一步验证它的真假，二者是相辅相成的，不能偏废，因此在现在的课程里面，我们始终把推理能力作为一个核心概念提出来。就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。

总之，数学教学中，注重"探索发现"和"演绎证明"的有机结合，有利于实现"增强（学生）发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力"的课程总目标。在以后的教学中，多体现合情推理和演绎推理的相结合，让学生在探究活动中掌握这种思想，为以后的教学奠定坚实的基础。