Banach 空间无界线性算子的近似逆

杜 娟，翁云华

(成都理工大学 管理科学学院，成都 610059)

近似逆基本方法和统一的方式拓展为可以公式的正则化条件。给出一个具体问题和柔化韩函数，这些条件可以使近似逆的运算提前获得重建内核更加明确清晰，在当前的工作中，近似逆方法适用于无界算子和Banach 空间之间提供相应扩展的特色重建，此外，这个概念延伸到在进入数字化模型之前通过预处理，运用实际测量数据的场景中，这种结构覆盖了想离散测量的插值法或则被给数据的微分这样的操作，包括把重建内核，整体演算法的稳定性，可以实现这些步骤，近似逆的方法是成功适应各种数学结构的反问题的非迭代正则化方案。例如古典的L2空间是派生和扩张长生的空间，此外通常朝特征重建和Banach 空间是被推荐，从电磁散射之下的经典X 射线断层扫描到生态系统下种族人口之间的浮动的这种技术覆盖了程序。

1 前言和符号

W 和X 是Banach 空间上的开集Ω Rd上的一组函数，Y 和Z 是扩张的Banach 空间;f ∈X，f' ∈X' ，写成对偶的形式为f'(f)= ＜f，f' ＞X×X'，其中＜，＞X×X'在参数和内积的性质上是线性的，因此用内积符号来表示。

定义1［2］设A ∈L(x)，若A 把X 中每一个有界集都变成列紧集，(即对于有界的{xn}X，{Axn}恒有收敛的子序列)则称A 为紧算子。

线性算子A:X D(A)→Y

2 光滑化算子

定义4［5］以下两个条件成立时，()x∈Ω，γ＞0 ＜X，对于X 被称为光滑化算子或者一个X－光滑算子。

(a)对于 f ∈X 和 γ ＞0 ，通过X 中的元素(1)定义函数fγ。

(b)函数fγ近似于f，即‖f－fγ‖x→0 ，当γ →0 。

假设空间X 是连续函数在Ω 上的一个子集，我们可以认为δγx 作为近似的狄克拉古分布δx在点X，对于这种情形我们可以用属于X' 中的点X 估计δx。

是一个柔化函数，对于X = Lp(Rd)。

设h = δγ= γ－dη(γ－1)和q = p'(r = ∞)是逐点估计

当q = 1(r = p)时，有

通过证明，定义3 中的条件(a)成立。

3 重建核函数

为了计算近似值fγ，f ∈D(A)满足等式Af = g，弱化函数在对偶对(1)中的第二个说明中呈现出A'的范围，重建核函数ψγx 的作用，即对偶方程的解

上式表明收索近似值fγ可以通过过滤运用再重建核函数ψγx 的数据y 来计算，这个重要的性质得到了算子近似解的定义。

定义5 (Aγ)γ＞0是线性算子系，通过以下定义

对于g ∈Y 是A 的近似逆，对于柔化函数δγx 为了计算出Lf的近似值，相同的步骤用在古典的近似逆方法中。

L:X D(L)→W 是定义的紧的线性算子，(Lf)γ(x)= ＜Lf，＞W×W'，f ∈D(L)。

定义6［7］(AL，γ)γ＞0族系是一个线性算子，

g ∈L 是预数据处理的近似逆。(DFAI)A 关于光滑算子δγ

x 连续。很明显，古典的方法和(DFAI)作为特殊情况，更精确来说FAI 方法结果来自假定Y = L 和B= idy，但是DAI 的变形可以得到W = X 和L =idy，类似得定理在下面部分也得到有效利用。

4 不变性和正则化

为了克服选择法和拟解发在实际应用中所受到的局限。Tikhonov 于1963 年在工作中提出了求解不适定问题的正则化方法(regulurization method)。这一方法为处理反问题奠定了坚实而广泛的理论基础;后来的许多发展与推广盖源于此。关于Tikhonov 正则化方法，现在可由许多途径得到。

定义7 若映U 到F 的算子R(U，δ)具有下述性质，则称它是方程AZ = U 在U = UT 的δ 领域中的正则算子:

(1)存在δ1＞0 ，使得R(U，δ)当0 ≤δ ≤δ1对所有满足条件U(uδ，uT)≤δ 的uδ∈U 都有定义。

(2)ε ＞0，-0 ≤δ0:δ0(ε，uT)≤δ1，使得ρu(uδ，uT)≤δ ≤δ0蕴含ρF(Zδ，ZT)≤ε，其中Zδ= R(uδ，δ)。

注意:在此定义中并未假定算子R(uδ，δ)是单值的，用Zδ便是集合 { R(u，δ)} 中的任一元素。

定义8 称一个有度量空间U 到度量空间F，且依赖于参数α ＞0 的算子，R(u，α)为方程Az =U，z ∈F，u ∈U，在u = UT 的领域内的正则算子。假如它满足下述两个条件。

(1)存在δ1＞0，使算子R(u，α)对于所有的α ＞0 和满足条件ρU(u，uδ)≤δ ≤δ1的任意的u ∈U 都有定义;

(2)存在这样的δ 的函数α = α(δ)对于任给的ε ＞ 0，存在δ(ε)≤δ1，若ρU(uδ，uT)≤δ(ε)(uδ ∈u)便有ρF(zα，zT)≤ε，其中zα =k(uδ，α(δ))。

按照以下定义，若ρU(uδ，uT)≤δ，则可取zα= R(Uα，α)作为具有近似右端项Uδ的方程Az =Uδ 的近似解式中的α = α(δ)与原始数据uδ 及其误差δ 有关，称这个解为方程Az = u 的正则解，α为正则参数，我们称用正则算子得到近似解的方法为正则化方法。

定义9 (正则化)S:L D(S)→W 是一个线性算子，g ∈D(S)和(gε)ε＞0＜L 是一个序列满足‖g－gε‖L≤ε。(Uγ)γ是Uγ的一个族系，Uγ:L →W。

规定参数γ = γ(ε，gε)是S 的一个正则化，假设(8)式成立。

例子W = X，Z = Y 近似Aγ到算子A－1:Y D(A－1)→X 寻找D(A－1)= R(A)条件(8)满足函数fε= Aγ(ε，gε)gε收敛到f = A－1g 对于ε →0 。

定理3［8］:L →W 包含一个有界算子系，满足

加入参数满足定义8 即ε →0 ，条件

这时AL，γB是LA－1B 的正则化。

证明:利用三角不等式，近似的误差对于Uγ=和S = LA－1B 可以写成:

通过对DFAI 算子的结构对于g ∈D(S)，Uγ(ε)g = (Sg)γ(ε)成立。

因为γ(ε)→0 根据条件(10)，对于ε →0时，‖uγ(ε)－ Sg‖W→0 因为根据光滑近似的性质得到。

5 结论

对于一个无界算子的反问题可以理解为部分微分，尽管结构简单，但适用于阐明正在修正的理论结果。对于给出的近似逆的算子的算法和重建内核以及分析的公式，综合的数据值研究表明，这个理论上推导出的各种变形的近似逆方法的正则化属性概括了主要内容。

［1］ Abramowitz M，Stegun IA.Handbook of Mathematical Functions with Formulas，Graphs and Mathematical Tables［M］.NY:Dover，2010.

［2］Canny J.A computational approach to edge detection［J］.2012，8(6):679 –698.

［3］Groh A，Krebs J，Wagner M.Efficient solution of an inverse problem in cell population dynamics［J］.2011，27(6):65－100.

［4］Hildreth E，Marr D.Theory of edge detection［J］.2009，2(7):187 –217.

［5］Hofmann B，Mathé P，von Weizsācker H.Regularization in Hilbert space under unbounded operators and general source conditions［J］.2009，2(5):115－130.

［6］Lakhal A.A decoupling－based imaging method for inverse medium scattering for Maxwell’s equations［J］. 2010，5(26):251－300.

［7］老大中. 变分法基础［M］. 北京:国防工业出版社，2004.

［8］肖庭延，于慎根，王彦飞. 反问题的数值解法［M］. 科学出版社，2003.