关于M－矩阵的‖A－1‖∞改进估计式

周 平，陈 敏，高美平

(文山学院 数学学院，云南 文山 663000)

1 基本定义、引理和符号说明

定义1［1－6］若A = (aij)∈Zn可表示为A = sI－ P，其中P ≥0，s ≥ρ(P)，则称A 为M－矩阵。特别地，当s = ρ(P)时，称A 为奇异M－矩阵;当s ＞ρ(P)时，称A 为非奇异M－矩阵。记所有n 阶非奇异M－矩阵所组成的集合为Mn。

定义2［3］设A = (aij)∈Cn×n的特征值为λ1，λ2，…，λn，令 σ(A) = {λi，i = 1，2，…n }，则σ(A)叫做A 的谱;把σ(A)中模最大的，即ρ(A)= max{| λi|，i ∈N}叫做A 的谱半径。

定义3［3，4］设A=(aij)∈Rn×n，且满足以下条件:

③i ∈N，i J(A)，存在序列aii1，ai1i2，…，airk(i ≠i1，i1≠i2，…，ir≠k，k ∈J(A))为非零元，那么称A 是弱链对角占优矩阵。

定义4［3］设A = (aij)∈Rn×n，任取i，j ∈N，i ≠j，有aij≤0，aii＞0 ，则称A 为L－矩阵。

设A = (aij)∈Zn×n，非空指标集合β(k)N，定义A［β(k)］为行数和列数都是β(k)的A 的子矩阵。

定义A(k)= A［α(k)］，其中α(k)= {k +1，…n}。例如A(1)表示删去A 的第一行第一列得到的矩阵。

引理1［4］设A = (aij)∈Rn×n是n ×n 阶弱链对角占优M－矩阵，则B = A(1)∈R(n－1)×(n－1)也是弱链对角占优M－矩阵，且B－1= (βij)存在，βii≥0 ，(i，j = 2，3，…n)。

引理2［3，4］设A = (aij)是n × n 阶弱链对角占优M－矩阵，且A－1= (αij)，则

引理3［5］设A = (aij)∈Rn×n是严格对角占优M－矩阵，且A－1= (αij)，则

引理4［4］设A = (aij)∈Rn×n是n ×n 阶弱链对角占优M－矩阵，B = A(1)∈R(n－1)×(n－1)，A－1=(αij)，B－1= (βij)，则

下面对文中用到的符号作以下说明:

记N = {1，2，…，n }，Cn×n(Rn×n)表示所有n× n 阶复(实)矩阵构成的集合，Zn≡{A = (aij)∈Rn×n:aij≤0，i ≠j，i ∈N}。

2 ‖A－1‖∞的上界和τ(A)的下界估计式

定理1 设A = (aij)∈Rn×n是严格对角占优M－ 矩阵，B = A(1)，A－1= (αij)∈Rn×n，B－1= (βij)∈R(n－1)×(n－1)，则

应用引理1 ，引理2 ，引理3 和(6)式，得

当2 ≤i ≤n 时，应用(2)式和(5)式，得

则

由(8)式和(9)式，得

同理，根据上述定理和文献［4］中的定理1 以及A(k)的定义，应用迭代法便得到下面的结果，其中d1= w1，wn= 0 ，pn= 1 。

定理2 设A = (aij)∈Rn×n是严格对角占优M－ 矩阵，则

推论1 假设A = (aij)∈Rn×n是严格对角占优M－矩阵，则

证明:根据文献［5］中引理2.6 和定理2.3 知Tj1≤p1，j ≠1，

故上述结论成立。

由此推论知，本文给出的定理2 改进了文献［1，2，4］的估计式。

［1］ PN Shivakumar，JJ Willians，Q Ye，et al.On two－sided bounds related to weakly diagonally dominant M－matrices with application to digital dynamics［J］.SIAM J Matrix Analisis Applications，1996，17(2):298－312.

［2］王亚强，李耀堂，孙小军.An new lower bound for‖A－1‖∞of strictly diagonally dominant M－matrices［J］. 山东大学学报(理学版)，2010，45(4):43－47.

［3］陈公宁. 矩阵理论与应用［M］. 北京:科学出版社，2007:53－109.

［4］TZ Huang，Y Zhu.Estimation of‖A－1‖∞for weakly chained diagonally dominant M－matrices［J］.Linear Algebra and its applications，2010，432(5):670－677.

［5］FB Chen.Some new inequalities for the Hadamard product of M－matrices［J］.Journal of Inequalities and Applications，2013，581(3):1186－1195.

［6］周平.M－矩阵与其逆的Hadamard 积的最小特征值下界的新估计［J］. 洛阳理工学院学报(自然科学版)，2013，24(1):45－50.