一道2014年高考解析几何试题的探究与推广
2015-01-12 11:10赵明霞
中学教学参考·理科版 2014年12期
赵明霞
如图1，已知双曲线C：x2a2-y2=1（a>0）
的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线
l：x0xa2-y0y=1与直线AF相交于点M，与直
线x=32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值.
一、对问题的解答
二、对问题作一般化的探究
性质1：过双曲线C：
x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）
上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
证明：如图2，双曲线C的右焦点F（c，0），则过点F的通径所在的直线方程为x=c，右准线方程为x=a2c，双曲线C上任意一点P（x0，y0）（y0≠0）的切线方程为
同理可证，焦点在其他位置时性质亦成立，于是可得性质2.
性质2：过双曲线C上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
三、将双曲线性质类比拓展到椭圆、抛物线
性质3：过椭圆C：
同理，焦点在其他位置时性质亦成立，于是可得性质6.
性质6：过抛物线上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=1.
四、总结
定理：过圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）
上非顶点（椭圆非长轴顶点）的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
（责任编辑 钟伟芳）endprint
如图1，已知双曲线C：x2a2-y2=1（a>0）
的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线
l：x0xa2-y0y=1与直线AF相交于点M，与直
线x=32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值.
一、对问题的解答
二、对问题作一般化的探究
性质1：过双曲线C：
x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）
上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
证明：如图2，双曲线C的右焦点F（c，0），则过点F的通径所在的直线方程为x=c，右准线方程为x=a2c，双曲线C上任意一点P（x0，y0）（y0≠0）的切线方程为
同理可证，焦点在其他位置时性质亦成立，于是可得性质2.
性质2：过双曲线C上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
三、将双曲线性质类比拓展到椭圆、抛物线
性质3：过椭圆C：
同理，焦点在其他位置时性质亦成立，于是可得性质6.
性质6：过抛物线上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=1.
四、总结
定理：过圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）
上非顶点（椭圆非长轴顶点）的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
（责任编辑 钟伟芳）endprint
如图1，已知双曲线C：x2a2-y2=1（a>0）
的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线
l：x0xa2-y0y=1与直线AF相交于点M，与直
线x=32相交于点N.证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值.
一、对问题的解答
二、对问题作一般化的探究
性质1：过双曲线C：
x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）
上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
证明：如图2，双曲线C的右焦点F（c，0），则过点F的通径所在的直线方程为x=c，右准线方程为x=a2c，双曲线C上任意一点P（x0，y0）（y0≠0）的切线方程为
同理可证，焦点在其他位置时性质亦成立，于是可得性质2.
性质2：过双曲线C上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
三、将双曲线性质类比拓展到椭圆、抛物线
性质3：过椭圆C：
同理，焦点在其他位置时性质亦成立，于是可得性质6.
性质6：过抛物线上非顶点的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=1.
四、总结
定理：过圆锥曲线C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）
上非顶点（椭圆非长轴顶点）的任意一点P（x0，y0）的切线与过焦点F的通径所在的直线交于点M，与焦点F对应的准线交于点N，则|MF||NF|=e.
（责任编辑 钟伟芳）endprint
猜你喜欢
中学数学研究(江西)(2022年5期)2022-05-08
机械工程与自动化(2021年4期)2021-07-30
机械工程与自动化(2020年6期)2020-12-28
中学生数理化(高中版.高二数学)(2017年1期)2017-04-16
中学数学杂志(2015年9期)2015-01-01
机械工程与自动化(2014年4期)2014-07-20
淮北师范大学学报(自然科学版)(2014年4期)2014-07-04
新疆农垦科技(2014年5期)2014-02-28
福建中学数学(2013年1期)2013-03-06
中学数学研究(2008年3期)2008-12-09
