分类讨论思想在解题中的应用

庞忠全

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位.

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.要用好分类讨论的思想解决问题必须注意以下方面.

一、弄清分类讨论的原因

1.由数学概念而引起的分类讨论：如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况，二次函数的定义、一元二次方程根的个数，直线的斜率等.

2.由数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制引起的分类讨论.如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况;指数、对数运算中真数与底数的要求等.

3.由参数的变化而引起的分类讨论：如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论.

二、确定分类讨论依据

1.依据数学概念分类

已知函数f（x）=■（sinx+cosx）-■|sinx-cosx|，则f（x）的值域是（    ）

（A）[-1，1]              （B）？摇-■，1

（C）？摇-1，■      （D）？摇-1，-■

解析：f（x）=■（sinx+cosx）-■|sinx-cosx|=cosx（sinx≥cosx）sinx（sinx

答案：C

点评：本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力.

2.依据数学中的定理、公式和性质分类

设等比数列{a■}的公比q<1，前n项和为S■.已知a■=2，S■=5S■，求{a■}的通项公式.

解析：本题是考查数列的基本题，“知三求二”.

答案：由题设知a■≠0，S■=■，

则a■q■=2，■=5×■.

从而得1-q■=5（1-q■），（q■-4）（q■-1）=0，（q-2）（q+2）（q-1）（q+1）=0，

因为q<1，解得q=-1或q=-2.

当q=-1时，解得a■=2，通项公式a■=2×（-1）■;

当q=-2时，解得a■=■，通项公式a■=■×（-2）■.

点评：本题在运算过程中，由于参数值的不同导致结果的变化，因而需要分类讨论.

3.依据题目中字母的取值范围分类

设函数f（x）=ln（x+a）+x■.

（I）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性;

（II）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln■.

解析：函数的极值、单调性是函数的重要性质.极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性;而函数单调性的讨论则需要考查相应导数的符号问题.

答案：（Ⅰ）f′（x）=■+2x，依题意有f′（-1）=0，故a=■.

从而f′（x）=■=■.

f（x）的定义域为-■，+∞.

当-■0;

当-1

当x>-■时，f′（x）>0.

从而，f（x）分别在区间-■，-1，-■，+∞单调增加，在区间-1，-■单调减少.

（Ⅱ）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′（x）=■.

方程2x■+2ax+1=0的判别式△=4a■-8.

（ⅰ）若△<0，即-■0，故f（x）无极值.

（ⅱ）若△=0，则a=■或a=-■.

若a=■，x∈（-■，+∞），f′（x）=■.

当x=-■时，f′（x）=0，当x∈-■，-■∪-■，+∞时，f′（x）>0，所以f（x）无极值.

若a=-■，x∈（■，+∞），f′（x）=■>0，f（x）也无极值.

（ⅲ）若△>0，即a>■或a<-■，则2x■+2ax+1=0有两个不同的实根

x■=■，x■=■.

当a<-■时，x■<-a，x■<-a，从而f′（x）在f（x）的定义域内没有零点，故f（x）无极值.

当a>■时，x■>-a，x■>-a，f′（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，

由极值判别方法知f（x）在x=x■，x=x■取得极值.

综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为（■，+∞）.

f（x）的极值之和为：

f（x■）+f（x■）=ln（x■+a）+x■■+ln（x■+a）+x■■=ln■+a■-1>1-ln2=ln■.

点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.