从函数与方程思想看高中物理的几个问题

桑桂

摘 要：高中物理解决问题的方法主要基于高中数学，亦即用数学知识与方法来描述物理情景。函数思想、方程思想是高中数学的基础，在高中物理教学中，许多问题从函数与方程的角度研究比较简单。本文以匀变速直线运动、类平抛运动、力学、电功率、电磁场中的几个案例来阐明这一观点。

关键词：函数思想；方程思想；高中物理

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2014）12（S）-0028-4

初中物理和高中物理的相同之处是都基本涵盖了经典物理学的各个分支，即力、电、光、热、磁。它们的不同之处在于初中物理形象化，从物理现象中总结物理规律；高中物理抽象化，主要从理论上推导理解物理规律，较初中物理更加严密。尤其是数学方法在物理学中的应用更为突出，成为高考物理考察的五个基本能力之一。本文主要从匀变速直线运动、类平抛运动、力学、电磁场、电功率的基本内容和个别案例的角度说明高中数学中函数思想和方程思想在高中物理中的应用。

1 方程思想在匀变速直线运动中的应用

在一个确定的匀变速直线运动中，涉及到5个基本的物理量，其中状态量是初速度v0，末速度vt，时间t，位移S，加速度a。

在匀变速直线运动中由这5个物理量可以根据其意义每四个物理量列一个等式，由排列组合知识得到可以列5个方程。我们将方程一一列出。

①速度随时间的变化vt=v0+at

②位移随时间的变化S=v0t+ at2

③位移与速度的关系v -v =2aS

④平均速度公式表示位移：S= t

⑤逆向看匀变速直线运动S=vtt- at2

在这五个方程中，课本中从函数的角度给出了前三个方程，分别是速度随时间的变化，位移随时间的变化，位移与速度的关系。将这三个方程看做函数，我们发现这三个方程的共同的物理量是初速度v0和加速度a。这也是匀变速直线运动的初始条件，根据牛顿的经典物理学，初始条件确定了，之后的运动形式就确定了，但没有将末状态确定，故只确定了上述三个变化关系。从方程的角度看，五个物理量完全将匀变速直线运动的一个过程确定了。那么，根据上述五个方程，只要已知三个物理量，就可直接将剩余的两个物理量求出来。

例1 （山西省2014-2015年度高三第二次诊断物理试题）“自由落体机”是一种使人体验超重和失重的巨型娱乐器械，一个可乘十多人的环形座舱套在竖直柱子上，由升降机送上几十米的高处，然后让座舱自由下落（加速度可看作g），落到一定位置时，制动加速度大小为a，到达地面时刚好停止。若已知开始下落时座舱离地高度为h，求：

①其在下落过程中的最大速度v；

②其在整个下落过程经历的时间t。

分析 升降机的下落过程分为两个过程，属于单物体多过程问题，前一个过程为自由落体运动，后一个过程为匀减速直线运动。前一个过程知道了初速度为0，加速度为g，后一个过程加速度大小为a，末速度为0。根据匀变速直线运动的特点，只要知道三个物理量就确定了整个过程，故设拐点速度（即前一个过程的末速度，后一个过程的初速度）为v，这样用v和已知量就可以表示整个运动过程的任意一个运动学的物理量。题目告诉了全过程的位移h，据此列方程。求出v之后，再求时间t。

解：① + =h，

得： v= 。

② + =t，

得：t= 。

2 方程思想在类平抛运动中的应用

类平抛运动涉及到的物理量有7个，初速度v0，加速度a，沿加速度方向的速度v⊥，时间t，沿初速度方向位移x，沿加速度方向位移y，速度偏向角θ，

①沿初速度方向：

x=v0t

②沿加速度方向：

v⊥=at，y= at2，v⊥=

③沿初速度方向和沿加速度方向的关系

=tanθ， = 。

若要确定平抛或类平抛的轨迹，就要知道初始条件，知道时间，就是确定了沿初速度方向和沿加速度方向具体的运动形式。所以，根据上述方程可以得知，每个式子都含有三个物理量。其实，只要知道三个物理量，平抛运动的7个物理量就都可求出来。但是，对于已知的三个物理量要求有限制条件，即这三个物理量要分布在①、②、③的至少两个方面，因为只有这样才可以将沿加速度和沿初速度方向的运动形式确定了，即确定了类平抛的轨迹。

例2 （2013上海高考试题） 如图1，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出（ ）

A.轰炸机的飞行高度

B.轰炸机的飞行速度

C.炸弹的飞行时间

D.炸弹投出时的动能

解析 此题直接或间接告诉的平抛的物理量有重力加速度g，水平位移x，速度偏向角 -θ，符合平抛运动的三个物理量，且能确定平抛轨迹，由于不知质量，故本题选A、B、C。

图1 案例2示意图

3 函数思想在解题中的应用

函数思想体现了一个变量随另一个变量的变化关系，可用来解决求解某个物理量的范围或极值。在这类问题中要注意先找到自变量，求出自变量的范围即定义域，然后找出应变量与自变量的关系，中间可能会用若干个变量去传递，相当于函数中的复合函数。写出函数的解析式之后，就可以求出因变量的值域或极值。下面以一道力学习题和一道电磁场习题说明函数思想在高中物理解题中的应用。

例3 （2013山东高考理综试题）如图2所示，一质量m=0.4 kg的小物块，以V0=2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10 m。已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ= 。重力加速度g取10 m/s2。

①求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。

②拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

图2 案例3示意图

分析 第①问根据匀变速运动的条件，已知初速度、位移、时间三个物理量，可根据位移与时间关系，速度与时间关系求出加速度、速度。

第②问中问拉力F与斜面的夹角多大时，求拉力最小。说明拉力随夹角变化，从函数的角度讲，只要找出F与夹角的关系，夹角的范围即定义域，然后根据函数性质去求极小值即可。

解 ①设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得

L=v0t+ at2（1）

v=v0+at（2）

联立（1）（2）得，

a=3 m/s2 （3）

v=8 m/s（4）

②设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图3所示，由牛顿第二定律得

图3 案例3物块受力分析示意图

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）

Fsinα+FN-mgcosθ=0（6）

又Ff=μFN（7）

联立（5）（6）（7）式得

F= （8）

由数学知识得

cosα+ sinα= sin（60°+α）（9）

由（8）（9）式可知对应F最小的夹角为

α=30°（10）

联立（3）（8）（10）式，代入数据得F的最小值为Fmin= N

例4 如图4所示，在直角坐标系xOy的第Ⅱ象限整个区域内，存在着沿y轴负方向、场强大小为E的匀强电场。在第Ⅳ象限整个区域内存在着方向垂直于xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。从电场中P（-L，2L）、Q（-L， ）两点连线上各处，沿x轴正方向同时射入许多质量为m、电荷量为q的带正电粒子，结果所有粒子都从坐标原点O进入磁场。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，求：

图4 案例4示意图

①粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0。

②这些粒子从x轴上射出磁场时，所经过区域的宽度Δd。

分析 所有粒子在电场中的加速度相同，做类平抛运动。故粒子运动的时间取决于沿加速度方向的位移。因此，粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0等于P点的粒子运动的时间。

这些粒子射出磁场时，与x轴有交点，形成区域的宽度Δd，这说明粒子打在x轴上的位置不同。引起位置不同的原因是进入磁场时速度的大小和方向不同。速度的大小和方向不同，是因为在电场中运动的时间不同，由此可得求，即求出O点到射出磁场时的位置的距离的d最大值和最小值之差。所以求的范围是关键。而上述分析得出d随时间变化，所以可写出d关于时间t的函数表达式，求出t的范围即定义域，然后求值域。

解 ①粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0 等于P点的粒子在电场中运动的时间，粒子做类平抛运动。

Eq=ma（1）

2L= at （2）

联立（1）、（2），解之得

t0=2

②设某一粒子的初速度为v0，到O点时沿加速度方向的速度为v⊥，速度为v与x轴的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为R，O点到出磁场的出射点的距离为d。

在磁场中，洛伦兹力提供向心力

Bqv=m （3）

由几何关系得：

d=2rsinθ（4）

=sinθ（5）

v⊥=at（6）

联立（1）（3）（4）（5）（6）得：d=2 t。

由第①问知，t的取值范围为

≤t≤2 ，

故Δd=dmax-dmin= 。

4 利用函数图像与方程的关系解决有关小灯泡伏安特性曲线的问题

例5 图5甲所示为一个电灯两端电压与通过它的电流的变化关系曲线。由图可知，两者不成线性关系，这是由于焦耳热使灯丝的温度发生了变化的缘故，参考这条曲线回答下列问题（不计电流表内阻，线路提供电压不变）：

①若把三个这样的电灯串联后，接到电压恒定为12 V的电路上，求流过灯泡的电流和每个灯泡的电阻；

②如图5乙所示，将两个这样的电灯并联后再与10 Ω的定值电阻R0串联，接在电压恒定为8 V的电路上，求通过电流表的电流值以及每个灯的实际功率。

甲 乙

图5 案例5示意图

分析 此类问题是利用函数图像与方程的关系求解。题目给定了小灯泡的伏安特性曲线，相当于知道了I与U的一个方程，但我们不知道它的具体表达式，所以用I=f（U）来表示。然后再根据闭合电路的欧姆定律，列I与U的方程。把第二个方程转化为函数关系，在图像中作函数图像。根据高中数学两函数的图像的交点等于对应方程组的解。在图像中读出I与U的坐标，然后去求电阻、功率等电学量。

解 ①三个灯泡串联到电压恒定为12 V的电路上，每个灯泡电压U=4 V，由图5甲得I=0.4 A。根据欧姆定律得R= =10 Ω。

②设流过灯泡的电流为I，每个灯泡两端的电压为U。则IR0+2U=U1，且U1=8 V。在坐标系中作I=-0.2U+0.8的图像，与I=f（U）的图像相交，则交点的坐标就是I、U的解。I=0.32 A，U=2.2 V。则P=UI=0.70 V。

根据以上所涉及的问题，可知高中数学的方程、函数的思想在高中物理计算题中的应用很广泛。学生若深刻理解了数学函数，方程思想，将其应用到物理计算中，对于数学和物理的关系，必然会深入理解，对于学生的科学素养的提高将更有帮助。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.

（栏目编辑 李富强）

①求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。

②拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

图2 案例3示意图

分析 第①问根据匀变速运动的条件，已知初速度、位移、时间三个物理量，可根据位移与时间关系，速度与时间关系求出加速度、速度。

第②问中问拉力F与斜面的夹角多大时，求拉力最小。说明拉力随夹角变化，从函数的角度讲，只要找出F与夹角的关系，夹角的范围即定义域，然后根据函数性质去求极小值即可。

解 ①设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得

L=v0t+ at2（1）

v=v0+at（2）

联立（1）（2）得，

a=3 m/s2 （3）

v=8 m/s（4）

②设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图3所示，由牛顿第二定律得

图3 案例3物块受力分析示意图

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）

Fsinα+FN-mgcosθ=0（6）

又Ff=μFN（7）

联立（5）（6）（7）式得

F= （8）

由数学知识得

cosα+ sinα= sin（60°+α）（9）

由（8）（9）式可知对应F最小的夹角为

α=30°（10）

联立（3）（8）（10）式，代入数据得F的最小值为Fmin= N

例4 如图4所示，在直角坐标系xOy的第Ⅱ象限整个区域内，存在着沿y轴负方向、场强大小为E的匀强电场。在第Ⅳ象限整个区域内存在着方向垂直于xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。从电场中P（-L，2L）、Q（-L， ）两点连线上各处，沿x轴正方向同时射入许多质量为m、电荷量为q的带正电粒子，结果所有粒子都从坐标原点O进入磁场。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，求：

图4 案例4示意图

①粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0。

②这些粒子从x轴上射出磁场时，所经过区域的宽度Δd。

分析 所有粒子在电场中的加速度相同，做类平抛运动。故粒子运动的时间取决于沿加速度方向的位移。因此，粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0等于P点的粒子运动的时间。

这些粒子射出磁场时，与x轴有交点，形成区域的宽度Δd，这说明粒子打在x轴上的位置不同。引起位置不同的原因是进入磁场时速度的大小和方向不同。速度的大小和方向不同，是因为在电场中运动的时间不同，由此可得求，即求出O点到射出磁场时的位置的距离的d最大值和最小值之差。所以求的范围是关键。而上述分析得出d随时间变化，所以可写出d关于时间t的函数表达式，求出t的范围即定义域，然后求值域。

解 ①粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0 等于P点的粒子在电场中运动的时间，粒子做类平抛运动。

Eq=ma（1）

2L= at （2）

联立（1）、（2），解之得

t0=2

②设某一粒子的初速度为v0，到O点时沿加速度方向的速度为v⊥，速度为v与x轴的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为R，O点到出磁场的出射点的距离为d。

在磁场中，洛伦兹力提供向心力

Bqv=m （3）

由几何关系得：

d=2rsinθ（4）

=sinθ（5）

v⊥=at（6）

联立（1）（3）（4）（5）（6）得：d=2 t。

由第①问知，t的取值范围为

≤t≤2 ，

故Δd=dmax-dmin= 。

4 利用函数图像与方程的关系解决有关小灯泡伏安特性曲线的问题

例5 图5甲所示为一个电灯两端电压与通过它的电流的变化关系曲线。由图可知，两者不成线性关系，这是由于焦耳热使灯丝的温度发生了变化的缘故，参考这条曲线回答下列问题（不计电流表内阻，线路提供电压不变）：

①若把三个这样的电灯串联后，接到电压恒定为12 V的电路上，求流过灯泡的电流和每个灯泡的电阻；

②如图5乙所示，将两个这样的电灯并联后再与10 Ω的定值电阻R0串联，接在电压恒定为8 V的电路上，求通过电流表的电流值以及每个灯的实际功率。

甲 乙

图5 案例5示意图

分析 此类问题是利用函数图像与方程的关系求解。题目给定了小灯泡的伏安特性曲线，相当于知道了I与U的一个方程，但我们不知道它的具体表达式，所以用I=f（U）来表示。然后再根据闭合电路的欧姆定律，列I与U的方程。把第二个方程转化为函数关系，在图像中作函数图像。根据高中数学两函数的图像的交点等于对应方程组的解。在图像中读出I与U的坐标，然后去求电阻、功率等电学量。

解 ①三个灯泡串联到电压恒定为12 V的电路上，每个灯泡电压U=4 V，由图5甲得I=0.4 A。根据欧姆定律得R= =10 Ω。

②设流过灯泡的电流为I，每个灯泡两端的电压为U。则IR0+2U=U1，且U1=8 V。在坐标系中作I=-0.2U+0.8的图像，与I=f（U）的图像相交，则交点的坐标就是I、U的解。I=0.32 A，U=2.2 V。则P=UI=0.70 V。

根据以上所涉及的问题，可知高中数学的方程、函数的思想在高中物理计算题中的应用很广泛。学生若深刻理解了数学函数，方程思想，将其应用到物理计算中，对于数学和物理的关系，必然会深入理解，对于学生的科学素养的提高将更有帮助。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.

（栏目编辑 李富强）

①求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。

②拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

图2 案例3示意图

分析 第①问根据匀变速运动的条件，已知初速度、位移、时间三个物理量，可根据位移与时间关系，速度与时间关系求出加速度、速度。

第②问中问拉力F与斜面的夹角多大时，求拉力最小。说明拉力随夹角变化，从函数的角度讲，只要找出F与夹角的关系，夹角的范围即定义域，然后根据函数性质去求极小值即可。

解 ①设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得

L=v0t+ at2（1）

v=v0+at（2）

联立（1）（2）得，

a=3 m/s2 （3）

v=8 m/s（4）

②设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图3所示，由牛顿第二定律得

图3 案例3物块受力分析示意图

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）

Fsinα+FN-mgcosθ=0（6）

又Ff=μFN（7）

联立（5）（6）（7）式得

F= （8）

由数学知识得

cosα+ sinα= sin（60°+α）（9）

由（8）（9）式可知对应F最小的夹角为

α=30°（10）

联立（3）（8）（10）式，代入数据得F的最小值为Fmin= N

例4 如图4所示，在直角坐标系xOy的第Ⅱ象限整个区域内，存在着沿y轴负方向、场强大小为E的匀强电场。在第Ⅳ象限整个区域内存在着方向垂直于xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。从电场中P（-L，2L）、Q（-L， ）两点连线上各处，沿x轴正方向同时射入许多质量为m、电荷量为q的带正电粒子，结果所有粒子都从坐标原点O进入磁场。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，求：

图4 案例4示意图

①粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0。

②这些粒子从x轴上射出磁场时，所经过区域的宽度Δd。

分析 所有粒子在电场中的加速度相同，做类平抛运动。故粒子运动的时间取决于沿加速度方向的位移。因此，粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0等于P点的粒子运动的时间。

这些粒子射出磁场时，与x轴有交点，形成区域的宽度Δd，这说明粒子打在x轴上的位置不同。引起位置不同的原因是进入磁场时速度的大小和方向不同。速度的大小和方向不同，是因为在电场中运动的时间不同，由此可得求，即求出O点到射出磁场时的位置的距离的d最大值和最小值之差。所以求的范围是关键。而上述分析得出d随时间变化，所以可写出d关于时间t的函数表达式，求出t的范围即定义域，然后求值域。

解 ①粒子从射入到全部通过O点所用的时间t0 等于P点的粒子在电场中运动的时间，粒子做类平抛运动。

Eq=ma（1）

2L= at （2）

联立（1）、（2），解之得

t0=2

②设某一粒子的初速度为v0，到O点时沿加速度方向的速度为v⊥，速度为v与x轴的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为R，O点到出磁场的出射点的距离为d。

在磁场中，洛伦兹力提供向心力

Bqv=m （3）

由几何关系得：

d=2rsinθ（4）

=sinθ（5）

v⊥=at（6）

联立（1）（3）（4）（5）（6）得：d=2 t。

由第①问知，t的取值范围为

≤t≤2 ，

故Δd=dmax-dmin= 。

4 利用函数图像与方程的关系解决有关小灯泡伏安特性曲线的问题

例5 图5甲所示为一个电灯两端电压与通过它的电流的变化关系曲线。由图可知，两者不成线性关系，这是由于焦耳热使灯丝的温度发生了变化的缘故，参考这条曲线回答下列问题（不计电流表内阻，线路提供电压不变）：

①若把三个这样的电灯串联后，接到电压恒定为12 V的电路上，求流过灯泡的电流和每个灯泡的电阻；

②如图5乙所示，将两个这样的电灯并联后再与10 Ω的定值电阻R0串联，接在电压恒定为8 V的电路上，求通过电流表的电流值以及每个灯的实际功率。

甲 乙

图5 案例5示意图

分析 此类问题是利用函数图像与方程的关系求解。题目给定了小灯泡的伏安特性曲线，相当于知道了I与U的一个方程，但我们不知道它的具体表达式，所以用I=f（U）来表示。然后再根据闭合电路的欧姆定律，列I与U的方程。把第二个方程转化为函数关系，在图像中作函数图像。根据高中数学两函数的图像的交点等于对应方程组的解。在图像中读出I与U的坐标，然后去求电阻、功率等电学量。

解 ①三个灯泡串联到电压恒定为12 V的电路上，每个灯泡电压U=4 V，由图5甲得I=0.4 A。根据欧姆定律得R= =10 Ω。

②设流过灯泡的电流为I，每个灯泡两端的电压为U。则IR0+2U=U1，且U1=8 V。在坐标系中作I=-0.2U+0.8的图像，与I=f（U）的图像相交，则交点的坐标就是I、U的解。I=0.32 A，U=2.2 V。则P=UI=0.70 V。

根据以上所涉及的问题，可知高中数学的方程、函数的思想在高中物理计算题中的应用很广泛。学生若深刻理解了数学函数，方程思想，将其应用到物理计算中，对于数学和物理的关系，必然会深入理解，对于学生的科学素养的提高将更有帮助。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.

（栏目编辑 李富强）