浅谈数形结合在解不等式中的应用

陈海志

【摘要】本文通过不等式问题与几何图形、绝对值问题与图形等几方面阐述数形结合解题的策略以及思维的转化，培养了学生的辨证唯物主义观点，使他们更加认识到数学内容中普遍存在对立统一、相互转化等观点。

【关键词】抽象思维与直观思维 函数与图形 抛物线与不等式 绝对值函数与图形 对立统一

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11 -0219-02

数形结合是一种很重要的数学解题思维 ，它的实质就是把抽象的数学语言与直观的图形精密相联系，使抽象思维与形象思维有机地联系起来，将问题由抽象化为形象，通过对图形的认识、数形的转化从而化难为易，本文就如何运用“数形相结合”解不等式或不等式组作初步的探讨：

一、代数学问题转化为几何图形问题，证明一类三角不等式

例1 求证：sinA+cosA>1 （∠A是锐角）

证明：构造直角ABC，

∠C=90。，令斜边长为1，则

边BC表示sinA ，边AC表示

cosA，根据三角形两边之和大于第三边即可证得：sinA+cosA > 1

当学生“山穷水尽时”时，通过问题的转化，往往“柳暗花明又一村”，从而激发学生的学习兴趣，拓广视野。

二、利用抛物线图像，数形相结合，解一元二次不等式

例2，解不等式： x2-2x-8≤ 0

分析：本例实际可转化为：当 x 取

何值时，二次函数 y=x2-2x-8的函数值

为非正数？

解：由 x2-2x-8=0 得：x1=-2， x2=4 ，

故y=x2-2x-8 的大致图图像如上图所示，从而很直观地就能判断不等式 x2-2x-8≤0的解集应为：-2≤x≤4

很多数学问题的结果相同，只是设问不同，通过问题的转化，充分体现了多题一解，让学生把数学学“活”，能起到举一返三的教学效果。

三、利用两图像的交点，数形相结合，解一元二次不等式组

例3、解不等式组

解：由 x2-7x+10=0

得 x1=2 x2=5

由x2 -11x+24 =0 得

x1=3 x2=8

故 y=x2-7x +10和 y=x2-11x

+24的大致图像如图所示，从而

由观察可得原不等式组的解集

为： 3

例4，解不等式组

解：利用上面例3所求的结果。

可知原不等式组的解集应为： 5

一元二次方程组的求解，如果按

常规解法，就是把原每个不等式的解

集求出来，再找出公共解集，出错率

很高，利用数形相结合，把不等式问题转化为函数问题，利用图像法，直观性很强，培养学生的转化能力和思维能力。

四、把代数问题转化为几何图形，利用对称性，形相结合，解带根号的不等式

例5 已知： a 、 b 均为小于1的正数，

求证：

分析：若单从代数方

面去研究，很难落笔，根

据题目的特征，可把原题

转化为下面的几何题，利

用对称性，本题不难求解，

在边长为 1的正方形中，E、F、G、H分别

为边AB、BC、CD、DA上的点，并且AE=DG=a， AH=BF=b.

求证：EF+FG+GH+HE≥2

分析： 如图，延长BA到M，使AM=AE=a则点E与M关于直线AD对称，这样，GH=HE的最短长度是GM的长度，此时由于AE=AM=DG=a，易证得H为AD的中点，同理可得点 E关于BC的对称点N，这样EF+FG最短长度是线段GN的长度，从而EF+FG+GH+HE的最短长度转化为求GM+GN的最短长度，同理可作N关于DC的对称点K，当点M、G、K成一直线GM+GK的长度最短，此时易证得G为CD的中点，即： EF+FG+GH + HE≥GM + GN≥MK，易求得MK≥2，当且仅当a=b=时等号成立。

五、利用函数图像，数形相结合，解决含绝对值的问题

例6、若关于x的方程|x2-4|=b至少有三个实数解，求b的取值范围

分析：如果分类讨论，复杂得多，

如果把问题转化，利用数形结合，运用

图像法，很直观地得出b的取值范围。

把问题转化为若y=|x2-4|与y=b至少

有三个交点，求b的取值范围。

y=|x2-4|的图像是一条“W”形的

图形，y=b是一条垂直于y轴的一条

直线，当两个图像至少有三个交点时，b的取值范围是0

综上所述，转化思想是基本的数学思想方法之一， 各种问题都是相互联系的， 在一定条件下是可以相互转化的，在课堂教学还是课余辅导，都要诱导学生研究问题的结构特点和内在联系，寻求转化方向。转化方法很多，而数形相结合思维将抽象的问题直观化，充分体现了解题方法的灵活性、可变性，不仅培养了学生创新解题思维，而且培养了学生的辨证唯物主义观点，使他们更加认识到数学内容中普遍存在对立统一、相互转化等观点。

参考文献：

[1]李炎清.毕业论文写作与范例[M].厦门大学出版社，2006.11

[2]陈竞新.奥林匹克解题宝典初三分册[M].新世纪出版社，2002.6

[3]周国镇.“希望杯”数学竞赛培训教程[初二年级].中国大百科全书出版社出版，2004.2