纳威—斯托克斯（N—S）方程推导的专题教学改革探索

吴磊 马孝义

【摘要】水力学是一门技术基础科学，它是力学的一个分支。N-S（Navier-Stokes）方程是水力学课程的重要内容，是联系本科生水力学与研究生高等流体力学课程的关键环节。但现实授课过程中经常听到学生反映很难理解N-S方程，并且觉得没有应用价值，原因是本科教学中没有用其做过习题。因此，为了更好地让学生理解N-S方程的原理，掌握方程的推导过程，我们对此开展专题性教学改革探索，进而推进水力学重、难点的教学改革与创新，使学生更愿意学，更容易懂，更能真正理解和应用。

【关键词】水力学 N-S方程 研究型本科 专题教学 教学探索

【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11 -0060-02

水力学是高等工科院校水利、土木、环境等诸多专业都需要掌握的一门重要技术基础课，是学生专业能力形成与未来职业发展必不可少的依托[1]。水力学的任务主要是研究液体（主要是水）的平衡和机械运动规律及其工程应用[2]，是一门既有较强理论性又有较强工程实际意义的课程，具有理论推导复杂，概念多且易混淆特点[3]。另外，水力学具有对学生的高等数学、大学物理以及综合分析问题的能力要求较高的特点[4]。作为专业技术基础，它不仅为后续专业课学习提供理论基础，而且注重理论联系实际[5]。比如用于描述粘性不可压缩流体动量守恒的纳维-斯托克斯方程（N-S方程），是不可压缩流体动力学最有用的一组方程之一，也是学习高等流体力学、计算流体力学等课程的重要基础[6]。N-S方程可用于描述与分析大量对学术和经济有用现象的物理过程，包括模拟管道中的水流、翼型周围的气流、污染效应的分析、电站的设计、天气、洋流、星系中恒星的运动、飞行器和车辆的设计、血液循环的研究等[7]。

因此，考虑到N-S方程在上述专业领域本科教学过程中的重要地位，本文从专题教学的角度积极探索本科生容易接受的N-S方程推导方法，把握水力学研究型本科教学内涵，着力提升学生的理论基础和实践能力，为学生创新精神和研究能力的培养提供可靠支撑。

一、液体运动微分方程的推导过程

液体运动微分方程（又称N-S方程）是水动力学的基础。目前，在《水力学》教材中，推导N-S方程的方法很多，本文按照由平衡到运动、由理想到实际的专题教学思路推导N-S方程，帮助学生牢固掌握方程的意义。

（一）液体平衡微分方程式

在静止液体内，任取一点M，该点压强为p（x，y，z），以M为中心做微元直角六面体，正交的三个边分别与坐标轴平行，长度为dx，dy，dz。微元六面体静止，各方向的作用力平衡（图1），以y方向为例，对其进行受力分析，对表面力取泰勒（Taylor）级数展开式的前两项，列y方向表面力与质量力的平衡方程 ，

上式即为液体平衡微分方程，是瑞士数学家和力学家欧拉于1755年导出的，又称为欧拉平衡微分方程。方程表明，在静止液体中各点单位质量流体所受表面力和质量力相平衡。

图1 静止液体平衡微元六面体y方向的应力图示

（二）理想液体运动微分方程

在运动的理想流体中，同样取微小平行六面体如图1所示，分析该微小六面体y方向的受力和运动情况。根据牛顿第二定律，建立y方向的动力学方程。

上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程式。其物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加速度。适用于无黏性流体，可压缩流体及不可压缩流体，恒定流及非恒定流。

（三）实际液体运动微分方程

在有粘性的实际液流中，不仅有压应力，还有切应力存在，其表面力的方向不与作用面相垂直，可分解成相互正交的一个法向应力和两个切向应力（图2）。以y方向为例，进行受力分析，质量力可表示为，表面力中压应力和切应力大小如图2所示。

图2 实际液流微元六面体各表面的应力图示

根据牛顿第二定律，同理可得x和z方向的分量式，将其整理后一并写为：

式（6）即为以应力形式表示的运动微分方程，简称应力微分方程。

根据推导的粘性液体切应力与压应力特性关系式，将应力与变形率的关系式及不可压缩液体连续性方程代入方程式（6），并将加速度项展开，整理得沿x，y，z方向的方程：

式（7-9）即为不可压缩液体运动微分方程。它是由纳维（Navier）于1821年首先提出，后由斯托克斯（Stokes）于1845年完善而成，故称为纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程。

二、分析与讨论

在推导N-S方程的过程中，离不开与液体平衡微分方程和理想液体运动微分方程（又称欧拉方程）进行对比分析。在静止液体中，由于液体质点间没有相对运动，液体的粘滞性不起作用，质点只承受压应力即静水压强；在运动的理想液体中，由于没有粘滞性，虽有质点的相对运动（边界处），也不会产生切应力，只产生由于液体运动产生的压应力即动水压强；在实际液流中，由于粘性的存在，不仅有压应力，而且有切应力，其表面力的方向不与作用面相垂直，可以分解成一个法向应力（正应力）和两个切向应力，由应力与变形率的关系导出实际液体运动微分方程。

基于此，三个液体微分方程之间的关系可以概括为：（1）先推导液体平衡微分方程、其次理想液体运动微分方程、再次实际液体的运动微分方程，通过对比分析，加深对三个基本方程的理解；或（2）先推导实际液体的运动微分方程，考虑到理想液体中不存在粘性，把实际液体的微分方程简化得到理想流体的运动微分方程，然后根据液体静止或相对平衡条件，导出液体平衡微分方程，最后进行对比分析。总之，无论采用哪种思路进行专题讲授，目的都是使学生更容易懂，更能真正掌握和应用。

上述专题教学探索可以加深学生对三组方程关系的理解，但还很难感受到N-S方程的用处，也很难理解它在课程中的基础地位。可以考虑用推导的纳维-斯托克斯方程求解圆管层流的流速分布、流量、平均流速和水头损失，以及明渠层流流速的抛物线分布规律，同时还可以应用理想流体运动微分方程求解等角速旋转的圆柱形容器压强的旋转抛物面分布规律。因此，为了更好地让同学们理解和掌握方程的原理和用途，我们应当对此加以思索，给学生必要的引导和解释。

三、结论

针对水力学课程中N-S方程推导过程复杂、具有较强的数学物理思想等特点，本文就方程的推导过程对水力学专题教学改革进行了探索性的研究。主要结论如下：

（一）液体平衡微分方程式、理想液体运动微分方程式和实际液体运动微分方程式具有各自的推导条件和特点，但也有较强相关性，可采用类比和专题性教学的方法进行讲授，以帮助学生理解和应用。

（二）无论是采用先推导液体平衡微分方程、其次理想液体运动微分方程、再次实际液体运动微分方程的顺序，还是反之顺序，只要能使学生掌握三组方程之间的区别与联系，就能使学生达到对此专题真正理解和应用的目的，实现水力学专题教学改革的目标。

（三）为了克服学生反映方程没有应用价值的不足，可以举例说明应用N-S方程求解管流和明渠流流速分布规律，还可以应用理想流体运动微分方程求解等角速旋转的圆柱形容器压强的分布规律，并进行对比分析。

参考文献：

[1] 郑志宏， 李寻， 刘金辉， 王学刚. “三合一”分层教学模式在水力学教学中的应用[J]. 高等建筑教育， 2007， 16（3）： 79-81.

[2] 吕宏兴， 裴国霞， 杨玲霞. 水力学（第二版）[M]. 北京： 中国农业出版社， 2011.

[3] 旦增平措. 水力学教学改革初探[J].中国校外教育， 2011（1）.

[4] 王黎军.《水力学》课程教学改革的实践与探讨[J]. 中国科教创新导刊， 2012（4）.

[5] 孟宪萌. 关于“水力学”课程的教学体会及教改方案的探讨[J]. 中国地质教育， 2011，（4）.

[6] 李玉柱， 贺五洲. 工程流体力学（上册）[M]. 北京：清华大学出版社. 2006.

[7] 欧特尔著， 朱自强， 钱翼稷， 李宗瑞译： 普朗特流体力学基础.北京： 科学出版社， 2008.

基金项目：教育部博士点基金（20130204120034），中央高校基本科研业务费（QN2013047）