一根弹簧“弹出”的思维变通性

宁鹏程

弹簧的弹力是动态变化的，总是给人一种“捉摸不定”的感觉，由此也使得弹簧与其相连接的物体所构成系统的运动状态具有较强的综合性和隐蔽性，解题时涉及较多的物理概念和物理规律。本文将首先以有关弹簧的一道典型题为母题进行剖析，在此基础上做适当改变，创设新的物理情景，并加以分析，达到做一题通一类的目的，进而帮助大家培养思维的变通性，在今后碰到类似问题时能做到触类旁通。

母题：如图1所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体（物体与弹簧不连接），初始时物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体的位移x的关系如图2所示（g取10 m/s2），则正确的结论是（ ）

A.物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态

B.弹簧的劲度系数为7.5 N/cm

C.物体的质量为3 kg

D.物体的加速度为5 m/s2

分析：读图并对关键节点进行分析。初始时物体处于静止状态，重力和弹力二力平衡；当拉力为10 N时，弹簧弹力和重力平衡，合力等于拉力，弹簧压缩量为4 cm；此后物体匀加速上升，从图象可以看出，物体与弹簧分离后，拉力F为30 N。根据以上条件列式即可。

解析：物体与弹簧分离时，物体与弹簧间的弹力刚好为零，弹簧恢复原长，选项A错误。

设弹簧的劲度系数为k，初始时物体处于静止状态，设此时弹簧的压缩量为x1，物体受力平衡，有：kx1=mg。由图2可知，x1=4cm。

现用竖直向上的拉力F作用在物体上，设物体做匀加速运动的加速度为a。由图2，当拉力F1=10 N时，弹簧弹力与重力仍平衡，合力等于拉力，由牛顿第二定律得：F1-mg+kx1=ma，即F1=ma。当物体与弹簧分离时，拉力F2=30 N，由牛顿第二定律得：F2-mg=ma。

联立以上各式，求得：k=5 N/cm，m=2 kg，a=5 m/s2。所以选项B、C错误，选项D正确。

答案：D

【规律总结】本题的关键点是根据题意并结合图象，写出关键节点所对应的数学表达式，从而破题。此外，对弹簧类问题，要注意利用弹簧的特性解题，如：“轻弹簧的弹力在瞬间不会发生变化”“物体与弹簧刚好分离时，即物体和弹簧间的弹力刚好为零”等结论。

拓展一：如图3所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止。用大小等于mg的恒力F向上拉B，当运

动距离为h时B与A恰好分离。则下列说法正确的是（ ）

A.B和A刚分离时，弹簧为原长

B.弹簧的劲度系数等于

C.从开始运动到B和A刚分离的过程中，A、B系统的机械能增加

D.从开始运动到B和A刚分离的过程中，A物体的机械能一直增大，但速度是先增加后减小

分析：和母题不同，本题是两个物体叠放在弹簧上，增加了问题情境的复杂程度，但拉力是恒力，从这一个角度来看，问题又是简单化了。因此，基本分析方法不变，但是要注意细节的变化。

解析：设弹簧的劲度系数为k。当质量均为m的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止时，设此时弹簧的压缩量为x1，对A、B整体得：kx1= 2 mg。

用大小等于mg的恒力F向上拉B，当运动距

离为h时B与A恰好分离，则此时A、B两物体间的弹力刚好为零。此时它们仍具有共同的加速度，设为a1，弹簧的压缩量为x2。对A由牛顿第二定律得：mg-kx2=ma1；对B由牛顿第二定律得：mg-F=ma1；由几何

关系得：h = x1-x2。由此解得k= ，x2== 。所

以B与A恰好分离时弹簧还处在压缩状态。所以选项A错误，选项B正确。

由于从B和A开始运动到B和A刚分离的过程中，弹簧的压缩量始终在减小，因此这个过程中，B和A一起先向上做加速度减小的加速运动，接着做加速度增大的减速运动，它们的速度是先增加后减小。从上面的分析可得：B和A开始运动时，它们的加速度方向向上，B和A刚分离时它们的加速度方向向下。

设当它们的加速度方向向上的某一时刻弹簧的压缩量为x3，此时B和A的共同加速度为a2，对B和A利用牛顿第二定律得：F+kx3-2mg=2ma2。

设当它们的加速度方向向下的某一时刻弹簧的压缩量为x4，此时B和A的共同加速度为a3，对B和A利用牛顿第二定律得：2mg-F-kx4=2ma3。

从B和A开始运动到B和A刚分离的过程中，弹簧的弹性势能减少量和恒力F做正功的代数和等于B和A的总机械能的增加量，即：ΔEp+WF=ΔEA+ΔEB。由于B和A的运动情况完全相同，因此A物体的机械能一直增大，选项D正确。

由于ΔEp+WF=ΔEA+ΔEB=ΔEp+mgh，因此从

开始运动到B和A刚分离的过程中，A、B系统的机械能增加量大于 ，选项C错误。

答案：BD

【规律总结】题中两个物体“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。因此两个物体“恰好分开”，就意味着：（1）接触；（2）共同的速度和加速度；（3）弹力为零。同时利用这3个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。

和母题不同的是，本题中是两个物体“恰好分开”，而不是物体与弹簧分离。这里有个结论，那就是：如果仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧恢复原长时分开的；如果除了弹簧弹力，还有其他外力作用而使相互接触的两物体分离，那么这两个物体分离时弹簧不一定是原长。

拓展二：如图4所示，竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两个物块A、B，它们的质量都是2 kg，都处于静止状态。若突然将一个大小为10 N的竖直向下的压力加在A上，在此瞬间，A对B的压力大小为（g取10 m/s2）（ ）

A.30 N B.25 N

C.20 N D.15 N

分析：本题将恒力F的方向改成竖直向下，此时宜先用整体法，后用隔离法。

解析：设两个物块A、B的质量都为m，当两个物块A、B都处于静止状态时，设轻弹簧对B的弹力为FB。对A和B整体得：FB=2 mg。

由于弹簧的形变不能在瞬间恢复，因此弹簧的弹力在瞬间不发生变化。

若突然将一个大小为10 N的竖直向下的压力加在A上，在此瞬间，对A和B整体由牛顿第二定律得：F-FB+2 mg= 2 ma。

对A由牛顿第二定律得：F-NBA+mg= ma。

解得：NBA= 25 N。

由牛顿第三定律得：A对B的压力大小 NAB=NBA= 25 N。

答案：B

【规律总结】由于弹簧的形变不能在瞬间恢复，因此弹簧的弹力在瞬间不发生变化，但B和A之间的弹力会发生突然变化，同学们在做此类题时要特别注意这一点。

拓展三：如图5所示，一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定，下端连着一质量为m的物块A，A放在托盘B上，初始时全都静止，弹簧处于自然长度。现设法控制B的运动，使A匀加速下降。用x表示弹簧伸长量，用a表示A的加速度，重力加速度为g，则在能保持A匀加速下降的整个过程中（始终在弹簧弹性限度内），下列说法正确的有（ ）

A.B对A的作用力随弹簧伸长量x线性递增

B.若a= ，则弹簧最大形变量为

C.B对A的最大作用力为m（g+a）

D.物块A的重力势能减少了 （g-a）

分析：由题意可知，A的加速度不变，因此在求解本题时，要以A为研究对象，对A进行受力分析，根据牛顿第二定律列方程求解。

解析：在保持A匀加速下降的整个过程中，对A由牛顿第二定律得：mg-kx-NBA= ma，所以B对A的作用力随弹簧伸长量x线性递减，选项A错误。

由于A的加速度恒定，mg-ma= kx+NBA，因此x增大，NBA减小。当NBA= 0时，x有最大值xm=。

若a= ，则弹簧最大形变量为xm= = ，选

项B正确。

当x = 0时， NBA有最大值NBAm= m（g-a），选项C错误。

由于物块A的重力势能减少了多少，重力就对物块A做多少正功，因此物块A的重力势能减少了mgxm =

，选项D错误。

答案：B

拓展四：如图6所示，质量均为m的物体A、B通过一劲度系数为k的轻弹簧相连，开始时B放在地面上，A、B都处于静止状态。现用手通过细绳缓慢地将A向上提升距离L1时，B刚要离开地面，此过程手做功W1，手做功的平均功率为P1；若将A加速向上拉起，A上升的距离为L2时，B刚要离开地面，此过程手做功W2，手做功的平均功率为P2。假设弹簧一直在弹性限度范围内，则 （ ）

A.L2 = L1 = B.L2 > L1 =

C.W2 >W1 D.P2 > P1

分析：把两个物体分别放在轻弹簧的上面和下面，B刚要离开地面时，B仍然和地面接触但无挤压，地面对B的弹力为零。

解析：开始时A处于静止状态，设此时弹簧的压缩量为x1，对A得：kx1 = mg①

B刚要离开地面，设此时弹簧的伸长量为x2，对B得：kx2 = mg②

当用手通过细绳缓慢地将A向上提升距离L1时，B刚要离开地面，此过程A的运动时间为t1。有：L1 = x1+ x2③

由功能关系得：此过程手做功W1等于A的重力势能的增加量和弹簧的弹性势能增加量之和，设弹簧的弹性势能增加量为ΔEp1。即：W1 = mgL1+ΔEp1④

当将A加速向上拉起，A上升的距离为L2时，B刚要离开地面，此过程A的运动时间为t2，A的末速度为v。有：L2 = x1+ x2⑤

由功能关系得：此过程手做功W2等于A的机械能的增加量和弹簧的弹性势能增加量之和，设弹簧的弹性势能增加量为ΔEP2。即：W2 = mgL2+ mv2 + ΔEp2 ⑥

由①②③⑤得：L2 = L1 = ⑦

所以选项A错误，选项B错误。

由于弹簧的弹性势能与弹簧的形变量有关，所以ΔEp1 =ΔEp2⑧

由④⑥⑧得：W2 > W1⑨ 所以选项C正确。

由题意得：t2 < t1⑩

又由于P1=和P2=，因此P2 > P1，选项D

正确。

答案：CD

【规律总结】含轻弹簧类的典型问题中，弹簧可能处于原长，也可能处于伸长状态，还可能处于压缩状态，因此此类题有利于考查同学们思维的变通性。同时典型的物理试题是高考命题的源泉，我们在平时的复习备考中要特别关注它们，深入地分析和研究它们，这样可以很好地帮助我们提高分析物理问题和解决物理问题的能力。