用参数方程解决点轨迹方程的优越性

周志峰

一、问题提出

关于点的轨迹方程，之前已有大量的文章进行了分析与总结，求轨迹方程的方法一般可分为直译法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等，不同的方法适用不同的题型，但值得指出的是参数法有其特殊的优越性，在高考中相关点法的应用比较频繁，但相关点发必须要找到所求点与相关点的代数关系，这需要学生有很强的数学能力，殊不知相关点法的题往往可用参数法来完成，从这个意义上说参数法应用更广泛.

在江苏省，参数法的学习是在选修4—4中，属于理科生的选学部分，对于文科生就失去了这一机会，因此在高考中文科生做法较为单一，失分情况也较多，适当普及参数法，在求轨迹方程时有一定的积极意义.

二、例题剖析

题1  已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设.

1. 求该椭圆的标准方程
2. 若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程

解（1）因为，所以，所以椭圆方程为.

（2）法一：设M点坐标为.

M为PA的中点，A点坐标为.

P点坐标为.

由于P点在椭圆上，将点P坐标代入椭圆方程得.

此方程即为点M的轨迹方程.

法二：

椭圆的参数方程为.endprint

设，则.

消去参数可得：.

法一为相关点法，在这题中点M之所以有轨迹产生，实质是由于点P是有轨迹的，利用相关点P的轨迹，依托M与P的关系，带出点M的轨迹方程.

法二则为参数方程法，设椭圆离心角为参加，建立起所求点分别与参数的关系进而得到所求点两坐标之间的关系，消参成为关键的一步.

在本题中两种方法似乎看不出优越性，不妨再看题2.

题2   已知抛物线，A、B为抛物线上两点，且OAOB，求AB中点M的轨迹方程.

分析：此题用相关点法做的困难在于很难用点A与点B的坐标来表示点M的坐标，这样也就很难利用相关点A和点B 的轨迹来求出点M的轨迹方程。下面用参数方程来解决.

设，显然OA与OB斜率都存在，不妨设直线OA的斜率为，则OB的斜率为，故直线OA方程为，代入抛物线方程得，得到：.

同理可得：，从而有，消参可得：.endprint

此题明显用参数方程较为简单，但是参数的选取是一个难点，对于参数的选取标准为所有条件都能用同一个参数表示，在这一题中抓住垂直关系，故所取参数为直线的斜率.

在《数学通讯》中曾有一文用几何法来证明直线过定点，下面利用参数方程法来证明此结论.

由于，.

所以，又直线AB过点.

所以直线AB的方程为：.

整理得：.

由得任意性得：.当或时，AB轴.则直线OA：;直线OB：.代入抛物线，得.故.从而直线AB方程为，同样过点.endprint

综上直线AB过定点.利用参数法还可以得到另外两个结论。结论1：.结论2：.

下面利用刚才通过参数方程得到的结论做一个简单的应用.

三、应用  

设点A和点B为抛物线上任意一点，且，，求点M的轨迹方程.

解：设AB与轴交点为N，则，易知点M位于以ON为直径的圆周上，故点M的轨迹方程为.

有时我们不见得会记得AB过定点这样一个结论，在这样的情况下，同样可以仿照前面设直线AB斜率为为参数，得到，.

则点M位于以OB为直径的圆上，圆心为，半径.

所以圆方程为：.

整理得*.endprint

又因为，所以，可得代入*得

，整理得.

即，此为点M的轨迹方程.

四、简析

轨迹方程是指求动点坐标之间的等量关系，由于某些问题中之间的等量关系比较难以直接发现，所以就出现了参数法求轨迹方程，也就是分别寻找与另外一个变量t之间的关系，即，再消去t就得到之间的轨迹方程，其间有几个问题需要注意：

（1）参数法是求轨迹方程的重要方法，其关键在于选择恰当的参数，一般来说，选参数的原则是：动点的变化随参数的变化而变化，即参数要能反映动点的变化特征;参数要与题设的已知量有着密切的联系

（2）注意参数t的取值范围。由于有些曲线的方程中有一定的取值范围，所以在设

参数时要特别注意参变量的取值范围.

（3）求轨迹方程最后都要将参数方程化为普通方程，所以掌握适当的消参技巧也是必须

要突破的一个难点.

参数方法最大的优点是设立较少的参变量就可得到点坐标之间的关系。高考中很多题目如果选择参数恰当的话，只要用一个参数便可，而如果选用其他方法则要引入多个变量，其运算与解题思路对学生来说是一个巨大的挑战，这也从另一面体现了参数法的优点.

参考文献：

[1] 谢丰牧.浅议轨迹及参数法求轨迹方程[J].科教导刊，2011（15）

[2] 杨跃.轨迹方程的几种常用求法[J].读与算，2012（1）

[3] 冯作维.轨迹问题方法谈[J].理科考试研究（高中），2012（3）endprint