RLC电路谐振过程的矢量分析

王祥静，徐 鹏，王国菊

(聊城大学，山东 聊城 252059)

大学物理课程中在讨论波动和振动现象时，引入了一个在相位空间里表示简谐量的矢量，即相量，并用物理量加圆点来表示。相量法是分析求解正弦稳态电路响应的一种有效工具［1-3］，而现有实验教材大多是根据幅频特性曲线和相频特性曲线介绍RLC电路谐振特性［4-9］，关于相量的内容较少，从而导致学生对RLC电路谐振过程的理解不够形象直观。根据幅频特性曲线，画出了不同频率处RLC电路的相量图，有助于学生直观地理解RLC电路谐振过程中各元件电压、电流大小及相位变化的原因，深刻理解RLC谐振过程。

1 RLC串联电路

RLC串联电路如图1所示，设电源为恒压源，振幅为U。电路的复阻抗为

图1 RLC串联电路图

电流振幅为

电容电压振幅为

电感电压振幅为

设电路参数U=1 V，R=250Ω，L=0.1 H，C=0.4μF，根据式(1)和(2)，用origin画出电路的幅频特性曲线，可以得到不同频率处的大小。设电流相量沿水平方向，则也沿水平方向;电容上的电压相量比电流相量滞后应垂直向下;电感上的电压相量 U·L比电流相量超前应垂直向上。为了方便画相量图，把UC～ω和UL～ω曲线画在了竖直相反的方向上，如图 2 所示。根据，，在谐振频率 ω0s及其前后任选几个频率 ω1s、ω2s、ω3s处作相量图。

图2 RLC串联电路谐振前后的相量图

2 RLC并联电路

RLC并联电路如图3所示，设电源为恒流源，振幅为I。电路的复导纳为:

图3 RLC并联电路图

复阻抗大小为

电压振幅为

电感电流振幅为

电容电流振幅为

复导纳的虚部为零时，得谐振角频率:

图4 RLC并联谐振相量图

设电路参数I=1 mA，R=250Ω，L=0.1 H，C=0.4μF，根据式(3)和(4)，用origin画出电路的幅频特性曲线，可以得到不同频率处的大小。设电压相量水平向右，则也水平向右;电容上的电流相量比超前应垂直向上;电感上的电流相量比滞后应垂直向下。为了方便画相量图，把幅频曲线IC～ω和IL～ω画在了竖直相反的方向上，如图4所示。根据=I·R+I·L+I·C，在谐振频率 ω0p及其前后任选几处频率 ω1p、ω2p、ω3p作相量图。

3 RL与C并联电路

RL与C并联电路如图5所示，设电源为恒流源，振幅为I。电路的复导纳为

图5 RL与C并联电路图

复阻抗为

回路总电压与总电流的相位差为:

总电压振幅为

电感电压振幅为

电阻电压振幅为

电容电流振幅为

电感电流振幅为

图6 RL-C并联电路相频、幅频曲线

为确定谐振前后各电压、电流相量的大小，取电路参数为I=1 mA，R=250Ω，L=0.1 H，C=0.4μF，根据式(3)-(8)式画出相频曲线和幅频曲线，如图6所示。在φ=0时电路发生谐振，对应的频率ω0为谐振频率。要画相量图，必须知道各相量的大小和相位关系，由幅频曲线可知不同频率处各相量的相对大小。下面分析各相量的相位关系:设相量水平向右，则与同相位，也水平向右;比超前应垂直向上，由和相加得回路总电压相量;由于，因此相量比超前根据相量可确定相量，由和相加得回路总电流相量在ω0及其两侧再任取两频率ω1和ω2处，画出谐振前后的相量图如图7所示。

图7 RL-C并联电路相量图

结合电路的幅频特性曲线，画出了三种RLC电路谐振前后的相量图，由相量图可直观看出电路中各元件上电压、电流的大小及相位随频率的变化过程，有助于学生直观理解RLC电路的谐振过程，收到了良好的教学效果。

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