一元一次方程在实际生活中的应用

薛志刚

一元一次方程，是初中数学的重要学习内容。方程来源于生产和生活，它是分析问题和解决问题的一种很有用的数学工具。利用一元一次方程，我们可以解决许多实际问题。下面，就如何列一元一次方程解决实际问题进行举例分析，供初中数学教学同仁和专家批评。

在学习一元一次方程的过程中，有的同学有时会产生困惑，或遇到一些困难。其实，我们只要了解一元一次方程的特点，了解其解题步骤，许多困难会迎刃而解。

列一元一次方程解决实际问题的一般步骤，一般可概括为“审、设、找、列、解、答”六步。即：第一步，审：审题，分析题中已知什么，要求什么。第二步，找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，根据实际情况来定，先用语言描述写到一边。第三步，设：一般求什么就设什么为未知数，有时根据等量关系必须先间接设一个未知数，设时一般带单位。第四步，列：把等量关系用含有未知数的方程表示，注意单位互化。第五步，解：解所列的方程，求出未知数的值。第六步，答：作答前先检验所求出的解是否合乎实际意义，且是不是方程的解，再写答（包括单位名称）。

一、商品利润问题

在这类问题中，要明确几个概念：进价和标价是不同的，标价往往比进价高许多，商家一般是把进价按一定比例提高后，作为标价。为了吸引顾客购买，他们有时又打“几折”销售，而所谓“几折”就是按标价的百分之几十卖出。如打七折也就是售价变为标价的70%，由于标价往往高于进价（成本价），故打折后一般商家不会赔本。这类问题的等量关系是：商品的售价=商品的标价×折扣率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；利润率=利润÷成本。

例1：某家电城将某品牌的超级VCD按进价提高35%后，打出“九折酬宾，外送50元”的广告，结果每台仍然盈利208元。那么，每台超级VCD的进价是多少元？

分析：首先要弄清楚标价是按进价提高了35%，即标价=进价x（1+35%），售价是标价打九折后减去50元。其方程模型是：超级VCD的售价一超级VCD的进价=超级VCD的利润。解：设每台超级VCD的进价是x元，则[0.9（1+35%）x-50]-x=208，解得x=1200。答：每台超级VCD的进价是1200元。

二、利息问题

这类问题的基本等量关系是：利息=本金x利率x期数，其中期数是指存入的时间，本金+利息=本息和。

例2：某年1年期储蓄年利率为1.98%，所得利息要交纳20%的利息税。某储户有一笔1年期定期储蓄，到期纳税后得利息396元，问储户有多少本金？

分析：本题中的数学模型是利息减去交纳的税金后得现金是396元，若设储户有本金x元，则年利息为1.98%元，交纳税金为20%x1.98%x元，故根据题意可进行解答。

解：设储户有本金x元，则1.98%x-20%×198%=396，解得x=25000。答：储户有本金25000元。

三、工程问题

这类问题的基本等量关系是：工作量=工作效率x工作时间。一般把总工作量看作“1”，各个工作量之和等于总工作量。

例3：一项工作，甲独立完成要3小时，乙独立完成要5小时，若两人合作完成这项工作的4/5，需要几小时？

分析：本题中有三个基本量：甲、乙独立完成此项工作的时间和两人合作完成的工作量。甲、乙两人完成的工作量之和等于两人合作完成的工作量，这是解题的关键所在。

解：设合作完成这项工作的4/5需要x小时，由题意，得（1/3+1/5）x=4/5，解这个方程，得x=1.5。答：需要1.5小时完成。

四、行程问题

这类问题是研究在匀速运动条件下的路程、速度和时间三个量之间的关系。这里有一个固有的相等关系：路程=速度x时间。这类问题又分为相向而行（即相遇问题）、同向而行（即追及问题）和反向而行等常见类型。

例4：甲、乙两人在笔直的跑道上练习长跑，两人相距100米，甲的速度为7米，秒，乙的速度为6米，秒。①若两人同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？②若两人同时出发，同向而行，经过多长时间甲追上乙？③若两人同时出发，反向而行，经过多长时间两人相距360米？

分析：可画线段图，找等量关系。①画出问题1的线段分析图（篇幅所限，图略），得等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100米。②画出问题2的线段分析图（篇幅所限，图略），得等量关系：甲走的路程-乙走的路程=100米。③画出问题3的线段分析图（篇幅所限，图略），得等量关系：甲走的路程+乙走的路程+100米=360米。

在行程问题中，只要画出了线段分析图，就可以根据图示列出方程解决实际问题了。

总之，只要同学们在解题时，注意分析题意，正确建立相等关系，多思考，多动脑筋，善于从多个角度观察问题，不断地积累解题经验，相互交流，相信同学们一定能够学好列一元一次方程解决实际问题这一重要内容，为后续学习打下坚实的基础。