非线性切换系统的振荡行为及其Lyapunov指数计算

余 跃，张 春，毕勤胜

(1.南通大学理学院，江苏南通226019;2.江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江212013)

物理、化学、生物以及各种工程技术领域的许多实际问题会涉及到不同子系统之间的切换，如含有双向开关切换的控制电路、反应催化中的自激振荡、生态系统的季节更替等.这些问题的理论模型大都可以由两组或两组以上的微分方程组加上切换条件，组成切换系统来刻画.由于切换系统具有广泛的应用背景，其复杂性分析及其相应的机理研究引起了各国学者广泛关注.Bao W.等［1］、吴天一等［2］及Zhang C.等［3］讨论了切换电路系统动力学行为.Xie G.M.等［4］、蔡国梁等［5］分析了时滞切换系统的稳定性.Cheng D.等［6］讨论了切换系统的稳定性控制.Liu X.G.等［7］针对某些特定切换系统阐述了鲁棒稳定性问题.Chen G.R.等［8］通过混沌系统的反控制发现了一个和著名Lorenz系统相似、但拓扑不等价的新混沌吸引子—Chen系统.不同参数下的Chen系统可以经周期切换生成一类三维周期切换系统.此类切换系统的状态空间连续，但系统的向量场不连续.当切换条件满足时，轨线交替受到不同子系统向量场控制，故其数学模型代表了一类典型非光滑动力系统.R.I.Leine等［9］对非光滑系统周期解的不连续分岔作了进一步的研究.

本研究在非光滑系统已有工作基础上，分析研究参数变化时一类非线性切换系统的动力学演化过程，拟给出不同类型的周期振荡行为，以准确揭示系统随参数变化时的混沌振荡行为.

1 数学模型

考虑两自治系统:

其中，向量场fi(X)由Chen系统构成.

令向量场fi以周期T交替切换，生成周期切换系统:

周期切换系统的轨线包含因切换产生的一类非光滑点，即切换点.轨线通过切换点连接由两子系统定义的轨道.分析此类系统，不仅需要掌握两子系统的局部行为及分岔模式，还需要了解切换点处系统特性的转迁过程.下面首先分析子系统的稳态运动及其相应的分岔特性，进而探讨周期切换下整个系统的动力学行为.

2 分岔分析

设Chen系统一般方程

取b=5，此时Chen系统有3个平衡点，分别为

分析特征方程可知，E0始终是不稳定的，而E±的特征方程表示为

式中:α0=20ac-10a2;α1=5c，α2=a-c+5.根据Routh-Hurwitz准则，当 α0＞0，α2＞0，且 α1α2-α0＞0时，平衡点E±稳定，其失稳会导致不同形式的分岔，从而得到Fold分岔集F和Hopf分岔集H.F可以表示为2c-a=0，H可以表示为15a2-25ac-5c2+25c=0.

图1为b=5.0时Chen系统的分岔集.图2为方程(3)的图像.

图1 方程(3)在参数(a，c)平面上的分岔集

图2 方程(3)的图像

由图1曲线可知:分岔集将参数(a，c)平面划分为3个区域.区域① 中只有一个平衡点，即鞍点E0.在区域② 中E±为稳定的焦点，在图2a中，Chen系统的结构，由鞍点E0定义的鞍曲面将相空间划分为2个子空间，子空间的中心区域分别构成稳定焦点E±的吸引盆.注意到Chen系统具有自然的对称性，即它在变换(x，y，z)→(-x，-y，z)下保持不变，轨线在相空间内具有对称结构.而当参数穿越超临界Hopf分岔集进入区域③ 时，E±会失稳导致周期振荡解.如当a=6.0，c=4.2时，存在稳定极限环，如图2b所示.随着参数的变化，Chen系统会呈现出诸如稳定的平衡态、周期振荡等不同的动力特性，在一定范围内，甚至产生混沌运动.参与切换的子系统的轨迹发生改变，系统全局的动力学行为也发生相应变化.

3 切换系统的分岔与混沌

为揭示不同稳态解下的周期切换系统的动力学演化过程，固定系统参数为T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6，取c2为分岔参数，变化范围 3.00 ＜c2＜4.40.显然在此参数条件下，子系统1表现为稳定的焦点.当c2＜4.19时，子系统2也存在稳定的焦点.当c2＞4.19后，子系统2失稳产生稳定的极限环.故切换系统的轨迹会以周期2T在焦点与焦点、焦点与极限环这两类吸引子上来回变换，产生丰富的动力学现象.

图3 是方程(2)在T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6时的相图.图3a为焦点到焦点的2T周期解;图3b为焦点与极限环通过切换生成的稳态解，S1，S'1均为切换点.

图3 方程(2)的平面相图

在参数变化的过程中，切换系统并不是两子系统动力特性的简单连接，而是通过切换点不断调整改变，产生分岔行为，并伴随混沌演化过程.图4为方程(2)在T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6 时的相图.图4a，b 分别给出了c2=3.18，c2=3.25 时切换系统的2周期解和4周期解.图4c，d数值模拟了切换系统的混沌振荡.这些丰富的动力学行为的产生正是由于切换本身所引起的非光滑性，导致向量场的不连续，从而引起主系统非光滑分岔行为的出现.

图4 方程(2)的相图

4 切换系统Lyapunov指数计算

根据Lyapunov指数判据，当所有Lyapunov指数小于0，则系统有渐近稳定的周期解;只有1个Lyapunov指数等于0，其余都小于0，表示稳定的周期解即将分岔;而当Lyapunov指数大于0，则系统此时处于混沌状态.因此，计算Lyapunov指数对判断周期切换系统的稳定性很有价值.

4.1 Poincaré映射及其Jacobi矩阵

引入局部映射，构造Poincaré映射分析切换系统的不动点.通过Poincaré映射方法将问题转化为离散动力系统，即可回避切换系统在切换点处Jacobi矩阵的计算问题.设φi为切换系统(2)两子系统的解.由于切换周期T固定，故选取相位面为Poincaré截面.由两子系统的解定义局部映射为

则整个系统的Poincaré映射P可表示为上述局部映射的复合，即

其Jacobi矩阵DP计算可以借助P1，P2的Jacobi矩阵，结合复合映射链式求导法求得，即

而DP1，DP2可通过非光滑系统非线性分析的打靶法和Runge-Kutta算法，从0到T数值积分计算其数值解.

4.2 Lyapunov指数的计算

通过公式(5)所描述的Poincaré映射P，可将方程(2)转化为离散动力系统:

系统(7)的2个相近的 Poincaré映射点X0和X0+δX0，对应X0和X0+δX0的相近轨道G0和G1，称G0为基准轨道，G1为邻近轨道.在k时刻，基准轨道和邻近轨道上的点分别为Xk(X0)和Xk(X0+δX0)，记 δXk(X0)=Xk(X0+ δX0)-Xk(X0).

当δXk(X0)充分小时，其满足系统(7)在Xk处的线性化方程:

其中DP(Xk)为(7)在Xk处的3阶Jacobi矩阵.由(7)，(8)，利用复合函数求导法则，可得其中，

此时，Lyapunov指数就定义为

图5 3.15＜c2＜3.60时方程(2)的动力学演化行为

为了验证上述周期切换系统Lyapunov指数的计算方法有效性，将其与分岔进行比对.图5a中为了更精确地得到分岔值，c2变化步长一般取为0.000 1，而最大Lyapunov指数计算程序的步长一般可以稍大，取为0.001 0.由图5a与b可知，吸引子特性与对应的最大Lyapunov指数较一致.分岔图中c2=3.175，3.225，3.267，3.331 时，最大 Lyapunov指数皆等于0，表明此时系统即将发生分岔.当c2＞3.331或c2＜3.175时，切换系统最大 Lyapunov指数小于0，系统作稳定的周期运动.当3.267＜c2＜3.331或3.175＜c2＜3.225 时，系统最大Lyapunov指数穿越0值(图5b中y=0直线上方)，此时系统发生混沌振荡.

5 结论

不同参数下的Chen系统之间，通过周期切换导致各种复杂振荡行为.不同参数下，子系统存在不同的稳态解，切换导致轨线在两子系统间产生明显的分界点，发生各种稳定的周期振荡.随着参数变化，轨线受子系统不同吸引子的吸引，对应不同的周期振荡解.参数的变化还会导致切换系统出现分岔行为和混沌振荡.利用Poincaré映射方法可以计算周期切换系统的Lyapunov指数，并与相图以及分岔图比对，验证了上述方法的有效性.本研究中的数值方法和机理分析对研究此类非线性复合系统有一定理论意义.

References)

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［3］Zhang C，Yu Y，Han X J，et al.Dynamical behaviors of a system with switches between the Rössler oscillator and Chua's circuits［J］.Chin Phys B，2012，21(10):100501-100508.

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［8］Chen G R，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.Int J of Bifurcation and Chaos，1999，9:1465-1466.

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