退化线性椭圆方程非常弱解的存在唯一性＊

晏华辉，顾广泽

（湖南大学 数学与计量经济学院，湖南 长沙 410082）

Quittner 与Reichel在［1］中研究了带非线性Neumann边界条件的问题：

Ω ∈RN有界．定义了一类非常弱解的概念，并且证明了只要函数f满足增长条件：

他们需要得到上面问题非常弱解的存在唯一性结果．

性质1 令g∈L1（∂Ω）．则问题（2）存在唯一弱解u∈L1（Ω）×L1（∂Ω），且存在常数C＞0，使得：

而且，若g在∂Ω 上g≥0几乎处处成立，则解u在Ω 内与∂Ω 上均几乎处处成立u≥0．

1 预备知识和几个引理

自然想到将上面椭圆方程非常弱解的问题推广到退化椭圆方程非常弱解的问题．为此，我们需要在如下一类特别的区域内考虑问题．

定义1 令H＝｛（x′，xN）：xN＞0｝为上半空间．H中的一个有界光滑区域Ω 称为具有一片平的边界的区域，若它满足：

（ⅰ）∂Ω＝Σ1∪Σ2，Σ1⊂∂H，且0∈int（Σ1）；

（ⅱ）int（Σi）＝Σi（i＝1，2），且int（Σ1）∩int（Σ2）＝φ．

我们将研究在一片平的边界Σ1的区域Ω 内的如下退化椭圆问题：

其中参数a∈（－1，1），

注 当a＝0 时，退化椭圆问题（3）即为问题（1）．

要研究问题（3），也需要研究它对应的线性边界条件的问题非常弱解的存在唯一性：

类似［1］，定义问题（4）的非常弱解的概念．

定义2 令g∈L1（Σ1），函数u∈L1（Ω）称为问题（4）的一个非常弱解，若它满足：

首先用变分方法得到：当g∈L∞（Ω1）时，问题（4）非常弱解的存在唯一性．需要用到如下的退化椭圆算子对应的极值原理．

引理1［8］若u弱满足

则在Ω 中u≥0．

引理2 令g∈L∞（Σ1），则问题（4）存在唯一弱解

证 问题（4）对应的能量泛函为

显然，能量泛函J存在极小化子序列u｛k｝ 使得

易得

由Poincare不等式与已知条件g∈L∞（Σ1）知

其中C与k无关．

从而存在一个子列，仍记作使得：

uk→u在¯H（Ω）的意义下，由范数的弱下半连续性及（Ω）空间的弱闭性质知

从而u即为问题（4）的弱解．

再证唯一性．设有两个解u1，u2，则它们的差w：＝u1－u2满足：

由引理1可得w≡0，所以u1≡u2．

证毕．

2 主要结果

本文的主要结果如下：

定理 令g∈L1（Σ1），则问题（4）有唯一非常弱解u∈L1（Ω），且存在C＞0，使得

而且若在∂Ω上g≥0几乎处处成立的话，则在Ω 内几乎处处成立u≥0．

证 先证明存在性．由分解g＝g＋－g－，其中g＋＝max｛g（x），0｝，g－＝－min｛g（x），0｝．只需对函数g≥0的情形证明非常弱解的存在性即可．

令gk（x）＝min｛g（x），k｝，k∈N．则

gk→g在L1（Σ1）意义下，当k→∞，

令uk∈¯H（Ω）为如下问题的弱解

由（5）式可得

由引理2可知，如下问题存在古典解ψ

将（6）中的实验函数取上面问题的解ψ，则有

由引理1知，在Ω中ψ≥0及uk－ul≥0，当k＞l．所以｛uk｝为L1（Ω）中的一个基本列．从而在L1（Ω）中uk→u．在（5）式中，取极限，令k→∞，得到结论：u为原问题（4）的非常弱解．存在性得证．

唯一性的证明同前面引理2，略去．

证毕．

推论 方程组

只有零解．

证 显然u≡0是方程组（7）的解，由定理可知方程组（7）的解唯一，故方程组（7）只有零解．

证毕．

［1］QUITTNER P，REICHEL W．Very weak solutions to elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions［J］．Calc Var Partial Diff Equ，2008，32（4）：429－452．

［2］BIDAUT－VERON M F，PONCE A，VERON L．Boundary singularities of positive solutions of some nonlinear elliptic equations［J］．C R Acad Sci Paris Ser I Math，2007，344（2）：83－88．

［3］HU B．Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a nonlinear boundary condition［J］．Differential Integral Equations．1994，7（2）：301－313．

［4］MCKENNA P J，REICHEL W．A priori bounds for semilinear equations and a new class of critical exponents for Lipschitz domains［J］．J Funct Anal，2007，244（1）：220－246．

［5］PACARD F．Existence de solutions faibles positive de dans des ouverts bornes de［J］．C R Acad Sci Paris Ser．I Math，1992，315（7）：793－798．

［6］PACARD F．Existence and convergence of positive weak solutions of in a bounded domains of［J］．Calc Var Partial Diff Equ，1993，1（3）：243－265．

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