浅谈结合图形分析有关上？琢分位点的问题

侯英

摘 要：上？琢分位点的概念在区间估计和假设检验的公式推导中都有应用，如果利用各分布的概率密度图象分析有关问题，将有助于学生理解所学的内容。

关键词：上？琢分位点；置信区间；假设检验

上？琢分位点的概念在概率论与数理统计中占有重要的位置，它是教学中的一个难点，通常学生理解起来总感觉困难。如何能更好地掌握它，直接影响着对数理统计知识的学习。下面以正态分布为例，从几个方面探讨利用概率密度的图象分析与上？琢分位点有关的问题。

1 结合图形理解定义

定义：设X～N（0，1），若u？琢满足条件P{X>u？琢}=？琢，0<？琢<1，则称点u？琢为标准正态分布的上？琢分位点。

图1 图2

对于这个定义，我们可以结合图1说明：根据定积分的几何意义，P{X>u？琢}=■？渍（x）dx表示从点u？琢到正无穷，直线x=u？琢、曲线？渍（x）和x轴所夹部分的面积，其值为？琢，与u的下标一致。而u？琢这点就称为上？琢分位点，它的具体数值可以通过查标准正态分布表求得。例如：已知X～N（0，1），P{X>u0.05}=0.05，求u0.05的值。由于P{X>u0.05}=1-P{X？燮u0.05}，所以P{X？燮u0.05}=？椎（u0.05）=1-0.05=0.95。查表得？椎（1.65）≈0.95，所以上？琢分位点u0.05的值就是1.65。通过画图解释定义，学生可以形象地理解它的含义，符号和数值之间的关系也一目了然；另一方面，对抽样分布涉及的？字2分布、 t分布和F分布的上？琢分位点的概念，学生会以此类推，很容易掌握，大大化解了教学中的难点。

2 结合图形求置信区间

首先给出置信区间的定义：设总体X的分布函数F（x；？兹）含有一个未知参数？兹。对于给定值？琢（0<？琢<1），若由样本X1，X2，...，Xn，确定的两个统计量■=■（X1，X2，…，Xn）和■=■（X1，X2，…，Xn）满足P{■（X1，X2，…，Xn）<？兹<■（X1，X2，…，Xn}=1-？琢，则称随机区间（■，■）是？兹的置信度为1-？琢的置信区间。

例：设总体X～N（？滋，？滓2），？滓2已知，？滋未知，设X1，X2，…，Xn是来自X的样本，求？滋的置信度为1-？琢的置信区间。

解：因为■～N（0，1），由标准正态分布的上？琢分位点的定义和其概率密度图象的轴对称性，有P{■

如图2，即在点-z？琢/2和z？琢/2的两侧，曲线和x轴所夹的面积都是■，所以直线x=-z？琢/2、x=z？琢/2、曲线f（x）和x轴所围成的面积就是1-？琢，符合置信度为1-？琢的置信区间的定义。（1）式去掉绝对值变形为P{■-■z？琢/2<？滋<■+■z？琢/2}=1-？琢，于是得到？滋的置信度为1-？琢的置信区间

（■-■z？琢/2，■+■z？琢/2）

这里通过上？琢分位点的定义，很容易得到（1）式，且符合置信区间的定义。同样，若？滓2未知，求？滋的置信度为1-？琢的置信区间，以及求？滓2的置信区间，都可以用图象进行分析。

3 结合图形求假设检验中的拒绝域

以u检验中的双侧检验为例。

设总体X服从正态分布X～N（？滋，？滓2），X1，X2，…，Xn为一个取自总体X的样本，样本均值X=■■Xi，显著性水平为？琢。当？滓2为已知时，检验假设H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0。

因为■～N（？滋，■），则U=■～N（0，1）。由P{|U|>u？琢/2}=？琢查标准正态分布表得临界值u■，于是求得H0的拒绝域为（-∞，-u■）∪（u■，+∞）。这里临界值u？琢/2的确定需要通过标准正态分布的概率密度图象，借助上？琢分位点的定义。由图2可以看出，当x>u？琢/2时（这里的u？琢/2相当于z？琢/2），曲线与x轴所夹的面积是■，即P{U>u？琢/2}=■，因此当x≤u？琢/2时，曲线与x轴所夹的面积为1-■，即？椎（u？琢/2）=P{U≤u？琢/2}=1-■，这样就可以查标准正态分布表求u？琢/2的值了。

例如：已知显著性水平？琢=0.05，则在？滓2已知，检验假设H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0的条件下，由上面的公式可以得到？椎（u？琢/2）=？椎（u0.025）=1-■=1-0.025=0.975，查表得？椎（1.96）=0.975，所以u0.025=1.96，故H0的拒绝域为（-∞，-1.96）∪，（1.96，+∞）。

类似地，对于t检验法和？字2检验法都可以借助相应分布的概率密度图象，分析各种检验假设的拒绝域问题。

教学实践表明，结合图形分析有关上？琢分位点的问题，有助于学生更好地理解公式的由来，便于他们记忆和掌握所学的知识，从而进一步提高了教学效果。

参考文献

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1989，8.

摘 要：上？琢分位点的概念在区间估计和假设检验的公式推导中都有应用，如果利用各分布的概率密度图象分析有关问题，将有助于学生理解所学的内容。

关键词：上？琢分位点；置信区间；假设检验

上？琢分位点的概念在概率论与数理统计中占有重要的位置，它是教学中的一个难点，通常学生理解起来总感觉困难。如何能更好地掌握它，直接影响着对数理统计知识的学习。下面以正态分布为例，从几个方面探讨利用概率密度的图象分析与上？琢分位点有关的问题。

1 结合图形理解定义

定义：设X～N（0，1），若u？琢满足条件P{X>u？琢}=？琢，0<？琢<1，则称点u？琢为标准正态分布的上？琢分位点。

图1 图2

对于这个定义，我们可以结合图1说明：根据定积分的几何意义，P{X>u？琢}=■？渍（x）dx表示从点u？琢到正无穷，直线x=u？琢、曲线？渍（x）和x轴所夹部分的面积，其值为？琢，与u的下标一致。而u？琢这点就称为上？琢分位点，它的具体数值可以通过查标准正态分布表求得。例如：已知X～N（0，1），P{X>u0.05}=0.05，求u0.05的值。由于P{X>u0.05}=1-P{X？燮u0.05}，所以P{X？燮u0.05}=？椎（u0.05）=1-0.05=0.95。查表得？椎（1.65）≈0.95，所以上？琢分位点u0.05的值就是1.65。通过画图解释定义，学生可以形象地理解它的含义，符号和数值之间的关系也一目了然；另一方面，对抽样分布涉及的？字2分布、 t分布和F分布的上？琢分位点的概念，学生会以此类推，很容易掌握，大大化解了教学中的难点。

2 结合图形求置信区间

首先给出置信区间的定义：设总体X的分布函数F（x；？兹）含有一个未知参数？兹。对于给定值？琢（0<？琢<1），若由样本X1，X2，...，Xn，确定的两个统计量■=■（X1，X2，…，Xn）和■=■（X1，X2，…，Xn）满足P{■（X1，X2，…，Xn）<？兹<■（X1，X2，…，Xn}=1-？琢，则称随机区间（■，■）是？兹的置信度为1-？琢的置信区间。

例：设总体X～N（？滋，？滓2），？滓2已知，？滋未知，设X1，X2，…，Xn是来自X的样本，求？滋的置信度为1-？琢的置信区间。

解：因为■～N（0，1），由标准正态分布的上？琢分位点的定义和其概率密度图象的轴对称性，有P{■

如图2，即在点-z？琢/2和z？琢/2的两侧，曲线和x轴所夹的面积都是■，所以直线x=-z？琢/2、x=z？琢/2、曲线f（x）和x轴所围成的面积就是1-？琢，符合置信度为1-？琢的置信区间的定义。（1）式去掉绝对值变形为P{■-■z？琢/2<？滋<■+■z？琢/2}=1-？琢，于是得到？滋的置信度为1-？琢的置信区间

（■-■z？琢/2，■+■z？琢/2）

这里通过上？琢分位点的定义，很容易得到（1）式，且符合置信区间的定义。同样，若？滓2未知，求？滋的置信度为1-？琢的置信区间，以及求？滓2的置信区间，都可以用图象进行分析。

3 结合图形求假设检验中的拒绝域

以u检验中的双侧检验为例。

设总体X服从正态分布X～N（？滋，？滓2），X1，X2，…，Xn为一个取自总体X的样本，样本均值X=■■Xi，显著性水平为？琢。当？滓2为已知时，检验假设H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0。

因为■～N（？滋，■），则U=■～N（0，1）。由P{|U|>u？琢/2}=？琢查标准正态分布表得临界值u■，于是求得H0的拒绝域为（-∞，-u■）∪（u■，+∞）。这里临界值u？琢/2的确定需要通过标准正态分布的概率密度图象，借助上？琢分位点的定义。由图2可以看出，当x>u？琢/2时（这里的u？琢/2相当于z？琢/2），曲线与x轴所夹的面积是■，即P{U>u？琢/2}=■，因此当x≤u？琢/2时，曲线与x轴所夹的面积为1-■，即？椎（u？琢/2）=P{U≤u？琢/2}=1-■，这样就可以查标准正态分布表求u？琢/2的值了。

例如：已知显著性水平？琢=0.05，则在？滓2已知，检验假设H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0的条件下，由上面的公式可以得到？椎（u？琢/2）=？椎（u0.025）=1-■=1-0.025=0.975，查表得？椎（1.96）=0.975，所以u0.025=1.96，故H0的拒绝域为（-∞，-1.96）∪，（1.96，+∞）。

类似地，对于t检验法和？字2检验法都可以借助相应分布的概率密度图象，分析各种检验假设的拒绝域问题。

教学实践表明，结合图形分析有关上？琢分位点的问题，有助于学生更好地理解公式的由来，便于他们记忆和掌握所学的知识，从而进一步提高了教学效果。

参考文献

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1989，8.

摘 要：上？琢分位点的概念在区间估计和假设检验的公式推导中都有应用，如果利用各分布的概率密度图象分析有关问题，将有助于学生理解所学的内容。

关键词：上？琢分位点；置信区间；假设检验

上？琢分位点的概念在概率论与数理统计中占有重要的位置，它是教学中的一个难点，通常学生理解起来总感觉困难。如何能更好地掌握它，直接影响着对数理统计知识的学习。下面以正态分布为例，从几个方面探讨利用概率密度的图象分析与上？琢分位点有关的问题。

1 结合图形理解定义

定义：设X～N（0，1），若u？琢满足条件P{X>u？琢}=？琢，0<？琢<1，则称点u？琢为标准正态分布的上？琢分位点。

图1 图2

对于这个定义，我们可以结合图1说明：根据定积分的几何意义，P{X>u？琢}=■？渍（x）dx表示从点u？琢到正无穷，直线x=u？琢、曲线？渍（x）和x轴所夹部分的面积，其值为？琢，与u的下标一致。而u？琢这点就称为上？琢分位点，它的具体数值可以通过查标准正态分布表求得。例如：已知X～N（0，1），P{X>u0.05}=0.05，求u0.05的值。由于P{X>u0.05}=1-P{X？燮u0.05}，所以P{X？燮u0.05}=？椎（u0.05）=1-0.05=0.95。查表得？椎（1.65）≈0.95，所以上？琢分位点u0.05的值就是1.65。通过画图解释定义，学生可以形象地理解它的含义，符号和数值之间的关系也一目了然；另一方面，对抽样分布涉及的？字2分布、 t分布和F分布的上？琢分位点的概念，学生会以此类推，很容易掌握，大大化解了教学中的难点。

2 结合图形求置信区间

首先给出置信区间的定义：设总体X的分布函数F（x；？兹）含有一个未知参数？兹。对于给定值？琢（0<？琢<1），若由样本X1，X2，...，Xn，确定的两个统计量■=■（X1，X2，…，Xn）和■=■（X1，X2，…，Xn）满足P{■（X1，X2，…，Xn）<？兹<■（X1，X2，…，Xn}=1-？琢，则称随机区间（■，■）是？兹的置信度为1-？琢的置信区间。

例：设总体X～N（？滋，？滓2），？滓2已知，？滋未知，设X1，X2，…，Xn是来自X的样本，求？滋的置信度为1-？琢的置信区间。

解：因为■～N（0，1），由标准正态分布的上？琢分位点的定义和其概率密度图象的轴对称性，有P{■

如图2，即在点-z？琢/2和z？琢/2的两侧，曲线和x轴所夹的面积都是■，所以直线x=-z？琢/2、x=z？琢/2、曲线f（x）和x轴所围成的面积就是1-？琢，符合置信度为1-？琢的置信区间的定义。（1）式去掉绝对值变形为P{■-■z？琢/2<？滋<■+■z？琢/2}=1-？琢，于是得到？滋的置信度为1-？琢的置信区间

（■-■z？琢/2，■+■z？琢/2）

这里通过上？琢分位点的定义，很容易得到（1）式，且符合置信区间的定义。同样，若？滓2未知，求？滋的置信度为1-？琢的置信区间，以及求？滓2的置信区间，都可以用图象进行分析。

3 结合图形求假设检验中的拒绝域

以u检验中的双侧检验为例。

设总体X服从正态分布X～N（？滋，？滓2），X1，X2，…，Xn为一个取自总体X的样本，样本均值X=■■Xi，显著性水平为？琢。当？滓2为已知时，检验假设H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0。

因为■～N（？滋，■），则U=■～N（0，1）。由P{|U|>u？琢/2}=？琢查标准正态分布表得临界值u■，于是求得H0的拒绝域为（-∞，-u■）∪（u■，+∞）。这里临界值u？琢/2的确定需要通过标准正态分布的概率密度图象，借助上？琢分位点的定义。由图2可以看出，当x>u？琢/2时（这里的u？琢/2相当于z？琢/2），曲线与x轴所夹的面积是■，即P{U>u？琢/2}=■，因此当x≤u？琢/2时，曲线与x轴所夹的面积为1-■，即？椎（u？琢/2）=P{U≤u？琢/2}=1-■，这样就可以查标准正态分布表求u？琢/2的值了。

例如：已知显著性水平？琢=0.05，则在？滓2已知，检验假设H0：？滋=？滋0，H1：？滋≠？滋0的条件下，由上面的公式可以得到？椎（u？琢/2）=？椎（u0.025）=1-■=1-0.025=0.975，查表得？椎（1.96）=0.975，所以u0.025=1.96，故H0的拒绝域为（-∞，-1.96）∪，（1.96，+∞）。

类似地，对于t检验法和？字2检验法都可以借助相应分布的概率密度图象，分析各种检验假设的拒绝域问题。

教学实践表明，结合图形分析有关上？琢分位点的问题，有助于学生更好地理解公式的由来，便于他们记忆和掌握所学的知识，从而进一步提高了教学效果。

参考文献

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1989，8.