永磁直线进给系统多柔性体机电耦合动力学特性分析

宁建荣 夏加宽 于 玲 李铁军

1.沈阳化工大学，沈阳，110142 2.沈阳工业大学，沈阳，110178

0 引言

超高速切削、超精密加工等先进制造技术的发展，对机床进给系统的伺服性能提出了更高的要求：驱动能力强、加工效率高、定位精度高。目前，传统的驱动形式已经不能满足超精密机床定位精度和加工精度的需求。直线进给系统取消了中间机械传动环节，简化了机械结构，具有优越的加速度、减速度特性，并提高了系统刚度与可靠性，同时具有行程无限制、维护简单等优点，适合高精度、高分辨率、高速度的场合［1］。

直线进给系统是机电一体化系统，系统在工作过程中存在多物理场耦合效应，通过多元多维运动来实现多种形式的能量传递与转换。目前，高精度数控机床已经发展到纳米级阶段，多场耦合效应是不可忽略的因素。高精密机床直线进给系统内除了存在多场耦合的现象外，还存在刚体运动与柔性体变形运动之间的相互耦合。由于直线进给系统的工作台在空间经历大范围刚体运动的同时，自身也存在变形，其刚体运动与自身变形相互影响，强烈耦合，故直线进给系统是一个多输出、多维、时变、非线性的复杂系统。

在精密机床的动态特性的研究领域，很多学者对 精 密 机 床 的 热－结 构 耦 合［1－4］、流 体－结 构 耦合［5］等特性进行了深入的研究。余显忠等［6］建立了基于气－固耦合特性的双层气浮直线电动机的有限元模型，并且分析了其动态响应特性。为准确地预测和研究精密机床的动态特性，文献［7－11］提出了机床及其零部件的多柔性体耦合建模方法，并将其应用于多体动力学建模。文献［12］采用能量法推导了数控工作台滚珠丝杠伺服系统机电耦合系统动力学微分方程组。以上文献并没有将强机电耦合的直接驱动进给系统作为研究对象。

本文针对精密机床直接驱动直线进给系统机电耦合的特点，建立系统多柔体机电耦合模型，并利用多种仿真软件进行联合仿真，研究系统的动力学特性。

1 系统建模

永磁直线进给系统模型如图1所示。直线电机动子直接与工作台刚性连接，由直线滚动导轨支承；定子固定在机床床身上；工作台、动子在电磁力驱动下沿导轨做往复直线运动，实现进给功能。

图1 永磁直线进给系统模型

进给系统工作台的动态性能是影响机床定位精度和加工精度的因素之一，工作台一方面有大的平动，另一方面又具有弹性变形，有必要将其柔性化，建立多柔性体动力学摸型。将直线伺服进给系统的工作台简化为矩形板，进行多柔性体耦合动力学分析。工作台有限元模型如图2所示。

图2 工作台有限元模型

拉格朗日－麦克斯韦方程用统一的能量的观点建立机电耦合系统动力学方程。电磁系统的拉格朗日方程可表示为

式中，Wm为磁场能；We为电场能；ek为电荷；ik为电流；Fe为耗散函数；Uk为电压；t为时间；n为完整约束方程个数。

引入机电系统的拉格朗日函数L和耗散函数Γ：

其中，qi（i＝1，2，…，n）为广义坐标；Γm、Γe分别为机械场和电场的耗散函数。系统的动能T、势能U分别为

式中，M为质量矩阵；K为刚度矩阵。

对式（2）求偏导数，由于电荷对时间的导数为电流，故机电耦合系统的拉格朗日 －麦克斯韦方程为

系统的拉格朗日函数为

式中，id、iq分别为d轴和q轴电流；Ld、Lq分别为d轴和q轴电感；ψd、ψq分别为d轴和q轴磁链；W 为电机气隙磁能。

系统的耗散函数包括电磁系统的耗散函数和机械系统的耗散函数，即

式中，Rs为电机绕组电阻；G为阻尼矩阵。

将式（4）、式（5）代入拉格朗日 －麦克斯韦方程组，可得直线进给系统机电耦合动力学微分方程组：

其中，Q为广义力矩阵；质量矩阵M、阻尼矩阵G、刚度矩阵K可由有限元方法获得。可采用Newton－Raphson法结合Newmark法对式（6）进行迭代求解。

2 直线进给系统机电刚柔耦合动力学特性

利用多体动力学分析软件ADAMS联合MATLAB／Simulink建立直线进给系统多柔性体耦合动力学模型。在联合仿真过程中，用ADAMS求解器求解机械系统方程，用MATLAB求解控制方程，通过数据交换共同完成整个系统控制过程的计算。首先在ADAMS中建立直线进给系统多体动力学模型，然后在有限元分析软件ANSYS中对直线进给系统进行模态分析，最后生成含有系统材料、节点、单元信息和模态信息的模态中性文件。在ADAMS中直接读取模态中性文件替换原有的直线进给系统刚体模型，得到直线进给系统多柔体耦合动力学模型并进行仿真。在 MATLAB／Simulink建立系统的控制部分，利用ADAMS／Controls将两者连接起来，指定输入、输出变量，导出控制参数。然后，打开MATLAB建立好数据交换接口，实现在MATLAB／Simulink软件环境下机电耦合系统的联合仿真。多柔体机电耦合建模流程图如图3所示。

图3 多柔体机电耦合建模流程

建模所选用的永磁直线伺服电机的参数见表1。

表1 永磁直线伺服电机主要参数

机床的动态特性关系到机床的加工精度、加工效率等方面，因此，对动态特性的分析已成为机床设计过程中不可缺少的环节，机床的动态特性已成为评估机床性能的重要指标。进给系统中工作台与工件直接相连，其动态性能与工件的加工质量直接相关。利用所建模型，对比工作台为刚体和多柔性体时工作台的动力学特性。

将图2模型中的四个滑块定义为竖直方向的弹簧阻尼单元，弹簧刚度和阻尼系数见表1，对工作台模型进行模态分析。分析得到工作台固有频率，见表2。工作台前4阶模态如图4所示。

表2 工作台固有频率

由图4可见，在1、2、3阶固有频率时，工作台呈现出微小的局部模态，当固有频率超过1kHz后，工作台出现了整体的摆动模态。

图4 工作台前4阶模态

直线电机空载启动，在0.1s处突加载荷，则工作台的水平方向和法向振动加速度的时域响应曲线和频域曲线分别如图5和图6所示。

图5 工作台振动加速度的时域响应曲线

由图5a可见，空载时，将工作台离散成多柔性体，工作台水平方向振动加速度变化幅值大于工作台视为刚体时的加速度值；突加载荷时，柔性体比刚体的变化量大，载荷平稳后两种情况的加速度幅值相差较少。由图5b可见，柔性体工作台法向加速度幅值大于刚体工作台的法向加速度幅值，加载后较明显。由负载变化时加速度的响应可见，刚体系统的伺服刚度要比柔性体系统的伺服刚度大，如果仅将工作台定义成刚体则不能真实反映系统的动态性能。

图6 工作台振动加速度的频域响应曲线

由图6可见，柔性体工作台和刚体工作台在0～5kHz频率范围内加速度曲线变化规律大致相同；图6a中柔性工作台水平方向的加速度在频率大于1kHz后，当工作台作为刚体时，频率响应出现明显的波动，而柔性工作台频率响应出现了波动现象，但幅值相对较小；图6b中，柔性工作台法向加速度比刚性工作台加速度幅值大，而且对应加速度峰值处的频率比刚性体时的频率高。结合图4中的工作台模态，可见对于高精度机床，在工作台运动时，零部件本身的变形及高阶模态不可忽视，为提高系统精度，有必要将零部件的柔性效应引入系统的动态特性分析中。

直线进给系统为直接驱动机电耦合系统，由于无机械阻尼作用，控制参数以及外部扰动对系统特性的影响较为显著。利用已建立的直线进给系统多柔性体机电耦合模型对系统进行振动特性分析。

伺服系统速度环采用PI控制器。空载运行，控制参数KI＝100，KP＝5，直线进给系统的工作台的速度曲线和法向加速度响应如图7所示。控制参数KI＝100，KP＝3时，直线进给系统的工作台的速度曲线和法向加速度响应如图8所示。

图7 KP＝5时直线电机速度曲线和工作台法向加速度曲线

图8 KP＝3时直线电机速度曲线和工作台法向加速度曲线

由图7、图8可见，在两种控制参数作用下直线电机的运行速度无明显变化，但是工作台法向加速度明显不同，图8b中法向振动加速度出现了大的波动。单独研究直线电机，两种控制参数都是满足要求的，但将进给系统的机械系统和电气系统耦合为一个系统时，控制参数发生改变，耦合系统的刚度发生变化，导致工作台振动加大。

当扰动频率和机械结构的固有频率接近或相等时，造成了系统振荡，将严重影响机床的运行及加工精度。对工作台施加频率为319Hz（与工作台一阶固有频率相同）的扰动时，工作台的加速度响应如图9所示。

由图9可见，由于扰动频率与直线进给系统的固有频率相同，引起了系统共振，出现了拍振现象，这是数控机床在设计和使用过程中应该避免的。

图9 工作台加速度曲线

3 实验

永磁直线同步电机系统测量设备包括：四个LC0101型压电加速度传感器，BVM－300－4M 四通道振动测试与模态分析仪及LC1301型力锤。装置如图10所示。该系统主要由三部分组成：激励部分，响应测量部分，数据分析处理部分。其中各部件动刚度测试时激励用力锤进行瞬态激振法添加，并用速度传感器测取各拾振点响应，将加速度传感器呈三角形布置在工作台台面上，力锤竖直敲击工作台面。其中力锤与振动测试仪的通道1相连，三个加速度传感器分别与通道2、3、4相连。

图10 永磁直线同步伺服电机测试工作台

将时域信号经FFT变换得到各个传感器响应的频率，分析频率设置为5kHz，采样点数为2048。每个测点进行5次激振和拾振，然后将得到的频率做平均处理以消除干扰，由于锤击的能量有限，仅能激发工作台的低阶频率，高阶频率没有激发出来。工作台固有频率与实验测量值对比见表3。

表3 工作台仿真固有频率与实验测量值对比

实验测得的工作台固有频率与仿真得到的工作台固有频率有偏差，由于仿真模型中工作台施加的约束和支承为理想状态，所以其固有频率相对较高，但仿真与实验结果的误差在允许的范围内。

4 结论

（1）由于在直线进给系统的多柔性体机电耦合数学模型中，不同物理场的参数间存在复杂的、非线性的耦合关系，不易进行解析求解，故建立了直线进给系统多柔性体机电耦合仿真模型。通过分析、对比系统的动态性能，能够有针对地对系统机械结构进行优化设计，对提高精密机床加工精度具有非常重要的意义。

（2）刚性工作台与柔性工作台振动加速度对比结果表明：把工作台处理成柔性体，不仅振动加速度最大值比刚性工作台最大值有所增大，而且对工作台的变形也产生了严重影响。

（3）控制系统参数、谐波扰动对系统的振动特性有显著的影响。

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